九年级数学第三次月考（上海专用）（沪教版第24~26章）-2023-2024学年初中上学期第三次月考

这是一份九年级数学第三次月考（上海专用）（沪教版第24~26章）-2023-2024学年初中上学期第三次月考，文件包含第三次月考01卷全解全析docx、第三次月考01卷参考答案docx、第三次月考01卷考试版测试范围第2426章A4版docx、第三次月考01卷答题卡A4版docx、第三次月考01卷考试版测试范围第2426章A3版docx、第三次月考01卷答题卡A3版docx等6份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（2023秋•普陀区期中）下列y关于x的函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x﹣1D．y＝2x2﹣2x+1
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，不是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
2．（2023秋•静安区校级期中）如果a：b＝4：7，那么下列四个选项中一定正确的是（ ）
A．7a＝4bB．（b﹣a）：a＝3：7
C．4a＝7bD．b﹣a＝3
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a：b＝4：7，
∴7a＝4b，
故A符合题意；
B、∵a：b＝4：7，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝，
故B不符合题意；
C、∵a：b＝4：7，
∴7a＝4b，
故C不符合题意；
D、∵a：b＝4：7，
∴设a＝4k，b＝7k，
∴b﹣a＝3k，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2023秋•闵行区期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（ ）
A．||B．＝1C．D．＝
【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向．
一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
【解答】解：A、||＝，原计算错误，不符合题意；
B、＝，原计算错误，不符合题意；
C、||＝，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．
4．（2023秋•普陀区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＞0，b＞0，c＞0D．a＜0，b＞0，c＜0
【分析】根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象，可得
函数开口向上，则a＞0，
顶点在y轴左侧，则b＞0，
图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确a、b、c的符号根据图象如何判断．
5．（2023秋•杨浦区期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．有一个内角是30°的两个等腰三角形
B．有一个内角是60°的两个等腰三角形
C．有一个内角是90°的两个等腰三角形
D．有一个内角是120°的两个等腰三角形
【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、有一个内角是30°的两个等腰三角形，因为30°是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意；
B、有一个内角是60°的两个等腰三角形都是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；
C、有一个内角为90°的两个等腰三角形，一定相似，故此选项不合题意；
D、有一个内角是120°的两个等腰三角形，一定相似，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定，相似三角形的最常用的方法判断方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（2023秋•杨浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由锐角的三角函数定义，即可解决问题．
【解答】解：∵sinB＝＝，
∴令AC＝3x，AB＝5x，
∵∠C＝90°，
∴BC＝＝4x，
∴sinA＝＝＝，csA＝＝＝，tanA＝＝＝，ctA＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（2023秋•黄浦区期中）如果x：y＝5：3，那么＝ ．
【分析】先把化成﹣1，再代值计算即可．
【解答】解：∵x：y＝5：3，
∴＝﹣1＝﹣1＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，是一道基础题．
8．（2023秋•黄浦区期中）如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是 16 千米．
【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
【解答】解：根据题意，1.6÷＝1600000厘米＝16千米．
即实际距离是16千米．
故答案为：16．
【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．
9．（2023秋•静安区校级期中）已知点B在线段AC上，且，设AC＝2cm，则AB的长为 （﹣1） cm．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点B在线段AC上，且，
∴点B是AC的黄金分割点，
∴＝，
∵AC＝2cm，
∴AB＝AC＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10．（2023秋•普陀区期中）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，如果BC＝12，△ABC的面积是36，那么DG的长为 4 ．
【分析】由三角形的面积公式可求AH的长，通过证明△ADG∽△ABC，可得，即可求解．
【解答】解：如图：过点A作AH⊥BC于H，交DG于N，
∵△ABC的面积是36，BC＝12，
∴×BC•AH＝36，
∴AH＝6，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∴，
∴DG＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
11．（2023秋•闵行区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝，如果AB＝14，那么AC＝ 4 ．
【分析】根据csB＝，AB＝14，得csB＝＝＝，求出BC＝10，再根据勾股定理可得AC的长．
【解答】解：∵csB＝，AB＝14，
∴csB＝＝＝，
∴BC＝10，
∴AC＝＝＝4．
故答案为：．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
12．（2023秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cs∠ACD的值是 ．
【分析】过A作AH⊥CD于H，设BD＝m，可得AC＝AD＝3m，AB＝4m，由△DCB∽△CAB，得＝＝，故BC＝2m，CD＝m，从而CH＝CD＝m，可得cs∠ACH＝＝＝，即cs∠ACD＝．
【解答】解：过A作AH⊥CD于H，如图：
设BD＝m，
∵AC＝AD＝3BD，
∴AC＝AD＝3m，AB＝4m，
∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得BC＝2m，CD＝m，
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CH＝CD＝m，
在Rt△ACH中，cs∠ACH＝＝＝，
∴cs∠ACD＝；
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形和相似三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和掌握三角函数的定义，相似三角形的判定代入．
13．（2023秋•普陀区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是DE的中点，CM的延长线交边AB于点N，那么的值为 ．
【分析】由三角形中位线定理可得DE∥BC，DE＝BC，通过证明△DNM∽△BNC，可得＝（）2＝，即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵M是DE的中点，
∴DM＝DE＝BC，
∵DE∥BC，
∴△DNM∽△BNC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14．（2023秋•普陀区期中）已知点A（3，n）在二次函数y＝2x2﹣5x﹣3的图象上，那么n的值为 0 ．
【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y＝2x2﹣5x﹣3，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：∵点A（3，n）在二次函数y＝2x2﹣5x﹣3的图象上，
∴n＝2×9﹣5×3﹣3＝0，即n＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所经过的点，均能满足该函数的解析式．
15．（2023秋•徐汇区月考）将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为 y＝x2﹣1 ．
【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减”进行求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为y＝x2+2﹣3，即y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
16．（2023秋•黄浦区期中）已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的长为 2 ．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．
【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，
∴CD＝BC＝3，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AG＝×＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
17．（2023秋•黄浦区期中）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 15 ．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴＝，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴＝，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴＝，
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH
＝（1+4）×6
＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
18．（2022秋•静安区校级期末）若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角线”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 a＞0，c＜0 ．
【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn＜0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c的对称轴是y轴，
∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，
∴mn＜0，
又∵mnc＞0，
∴c＜0，即抛物线与y轴的负半轴相交，
又∵抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），
∴函数开口向上，
∴a＞0．
故答案为：a＞0，c＜0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，19-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，满分78分）
19．（2023秋•黄浦区期中）计算：|ct30°﹣1|．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝+|﹣1|
＝+﹣1
＝+﹣1
＝+1+﹣1
＝+．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（2023秋•黄浦区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cs∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值．
【分析】（1）先根据三角函数值求AD的长，由勾股定理得BD的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CG＝3x，FG＝5x，分别表示BF和FC的长，代入可得结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cs∠BAC＝，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝＝＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的正切＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴＝，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴．
【点评】本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
21．（2023秋•普陀区期中）已知抛物线y＝ax2﹣4x与x轴交于点A（4，0），其顶点记作点P．
（1）求此抛物线的顶点P的坐标．
（2）将抛物线y＝ax2﹣4x向左平移m（m＞0）个单位，使其顶点落在直线y＝x上，求平移后新抛物线的表达式．
【分析】（1）依据题意，将A（4，0）代入抛物线解析式可得a的值，再配方成顶点式可以得解；
（2）由（1）所求抛物线根据平移的性质，结合此时顶点特征可以得解．
【解答】解：（1）由题意，将A（4，0）代入抛物线y＝ax2﹣4x得，
∴16a﹣16＝0．
∴a＝1．
∴抛物线为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4．
∴此抛物线的顶点P（2，﹣4）．
（2）由题意，抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4向左平移m（m＞0）个单位，
∴新抛物线为y＝（x﹣2+m）2﹣4．
∴此时顶点为（2﹣m，﹣4）．
又顶点落在直线y＝x上，
∴2﹣m＝﹣4．
∴m＝6．
∴新抛物线的表达式为y＝（x﹣2+6）2﹣4＝（x+4）2﹣4，
即y＝（x+4）2﹣4．
【点评】本题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
22．（2023秋•闵行区期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，对角线BD分别交AM、AN于点E、F，且 DE：EF：BF＝1：2：1．
（1）求证：MN∥BD；
（2）设，，请直接写出和关于、的分解式：
＝ ； ＝ ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，以及DE：EF：BF＝1：2：1．推出 即可得出结论；
（2）根据三角形计算法则得出，由（1）的结论得出，即可得出结果．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．
∵DE：EF：BF＝1：2：1，
∴，
∵AB∥CD，
，
又∵AB＝CD，
∴，
同理可得 ，
∴，
∴MN∥BD；
（2）解：∵，，
∴，
∵MN∥BD，
∴，
∴BD＝，
∴．
故答案为：，．
【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，数据平面向量的三角形运算法则是解题的关键．
23．（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在△ABC中，点P是边BC上的一点，连接AP，S△ABP2＝S△ACP•S△ABC．
（1）求证：BP2＝CP•BC；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D，BD＝4DC，点E在边AB上，S△BDE＝S△ABP，求的值．
【分析】（1）由三角形的面积公式可得（×BP•AH）2＝×CP•AH××BC•AH，即可求解；
（2）由（1）的结论可求BP＝，通过证明△BEN∽△BAD，可得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABP2＝S△ACP•S△ABC，
∴（×BP•AH）2＝×CP•AH××BC•AH，
∴BP2＝CP•BC；
（2）解：∵S△BDE＝S△ABP，
∴×BD•EN＝×BP•AD，
∴＝，
∵BD＝4CD，
∴BC＝5CD，
∵BP2＝CP•BC，
∴BP2＝（BC﹣BP）•BC，
∴BP2+5CD•BP﹣25CD2＝0，
∴BP＝（负值舍去），
∵EN⊥BC，AD⊥BC，
∴EN∥AD，
∴△BEN∽△BAD，
∴＝，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
24．（2023秋•黄浦区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
求证：
（1）△ABE∽△ADF；
（2）CD•EF＝AC•AE．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得∠B＝∠D，再根据垂直的定义得到∠AEB＝∠AFD＝90°，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABE∽△ADF；
（2）先根据相似的性质得＝，而AD＝BC，根据比例性质得＝，然后利用AB∥CD得到∠BAF＝∠AFD＝90°，则可根据等角的余角相等得∠B＝∠EAF，则可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△AEF∽△ABC即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF；
（2）∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
而AD＝BC，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD＝90°，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
而∠B+∠BAE＝90°，
∴∠B＝∠EAF，
∴△AEF∽△BAC，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
即：CD•EF＝AC•AE．
【点评】本题考查了三角形相似的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
25．（2023秋•普陀区期中）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c过点A、B、C，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），连接AC，抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ACD的面积；
（3）如果点P是抛物线上的一点，当∠PCA＝15°时，求点P的横坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△ACD的面积＝S△PCH+S△PHA＝PH×AO，即可求解；
（3）当点P在AC上方时，设PC交x轴于点H，则∠OHC＝60°，则直线CP的表达式为：y＝x﹣3，即可求解；当点P在AC下方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x﹣3，
由抛物线的表达式知，点P（1，﹣4），
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则H（1，﹣2），
则△ACD的面积＝S△PCH+S△PHA＝PH×AO＝×3＝3；
（3）由点A、C的坐标知，∠OCA＝45°，
∵∠PCA＝15°时，
∴当点P在AC上方时，设PC交x轴于点H，
∠PCO＝30°，
则∠OHC＝60°，
则直线CP的表达式为：y＝x﹣3②，
联立①②得：x2﹣2x﹣3＝x﹣3，
解得：x＝0（舍去）或2+，
即点P的横坐标为：2+；
当点P在AC下方时，
设OP′交x轴于点N，
同理可得：∠ONC＝30°，
则直线CP′的表达式为：y＝x﹣3③，
联立①③得：x2﹣2x﹣3＝x﹣3，
解得：x＝2+；
即点P′的横坐标为：2+；
综上，点P的横坐标为：2+或2+．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到面积的计算、解直角三角形、待定系数法求函数表达式等，有一定的综合性，难度适中．