山东省烟台市2023-2024学年高三上学期期中学业水平诊断数学试题及参考答案

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一、选择题：
1.B 2. A 3. D 4.A 5.D 6.A 7.C 8.C
二、选择题
9.ACD 10.AB 11.BC 12.BCD
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）由题知，，所以，，所以，.2分
所以，. 3分
所以，，即，4分
故的单调递增区间为.5分
（2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得，再向右平移个单位长度，得.6分
所以
，8分
因为，，所以，时，取得最大值为.10分
18.解：（1）当时，，则或，
因为，所以；2分
当时，，两式相减得，，
即，因为，所以，即，4分
故数列是以为首项，为公差的等差数列.5分
（2）由（1）知，，
所以，7分



10分
所以，.12分
19.解：（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；3分
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.6分
（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，8分
令，则上式化为，
即，9分
解得，即，所以，，
即，所以.11分
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.12分
20.解：若选①：（1）由正弦定理得，,1分
因为,所以，
即，又因为，，3分
所以.4分
（2）在中，，则，
.6分
因为是锐角三角形，所以，即,即，
所以，
所以，7分
所以.8分
设，则，
令，，则，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，10分
所以，即的取值范围为.12分
若选②：（1）因为，所以，
所以，1分
所以，
所以.3分
又，解得或（舍），
所以.4分
（2）在中，，则，
，6分
因为是锐角三角形，所以，即，即，
所以，
所以，7分
所以.8分
设，则，
令，，则，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，10分
所以，即的取值范围为.12分
若选 = 3 \* GB3 ③：（1）由正弦定理得，，1分
因为，所以，
所以，
所以. 3分
又因为，，所以，
又，解得.4分
（2）在中，，则，
，6分
因为是锐角三角形，所以，即，即，
所以，
所以，7分
所以.8分
设，则，
令，，则，
令，则，
则在上单调递减，在上单调递增，10分
所以，即的取值范围为.12分
21.解：（1）由题知，，1分
所以，当时，恒成立，所以，令，解得.
所以，当时，， 在上单调递减；
当时，， 在上单调递增；3分
当时，令，解得或，
所以，当，即时，时，， 在上单调递减，当时，， 在和上单调递增；4分
当，即时，时，， 在上单调递减，当时，， 在和上单调递增；5分
当时，在上恒成立，
所以，在上单调递增.6分
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在和上
单调递增，且当时，，当时，，所以，若方程始终有三个不相等的实根，则，即在上恒成立.8分
当时，显然.9分
令，则，因为，所以，，所以，恒成立，所以，在上单调递减，所以，.11分
综上，若方程始终有三个不相等的实根，
的取值范围为.12分
22.解：（1）由题得，，1分
令，则函数有两个极值点，即方程有两个正实数根.2分
因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，且当时，，时，.4分
所以，方程有两个正实数根，只需，
解得，5分
即函数有两个极值点时，的范围为.6分
（2）若且，则令，由（1）知，，
即，则，
即，解得，，所以，.8分
所以，，9分
令，则，10分
令，则
所以函数在上单调递增，且，所以，，11分
所以，当时，，所以，在上单调递增，
所以，当时，.
即的最大值为.12分