浙江省杭州市六县九校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市六县九校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，均有B. ，均有
C. ，有D. ，有
【答案】B
【解析】
【分析】依据命题的否定的书写即可
【详解】根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“，均有”，
故选：B
3. 若且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC，举反例排除即可；
对于D，利用不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，令，则，但，故A错误；
对于B，令，则，但，故B错误；
对于C，令，则，故C错误；
对于D，因为，则，即，
又，所以，故D正确.
故选：D.
4. 在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，得到，即可求出结果.
【详解】因为，
故，得到，解得，
所以解集为，
故选：B.
5. 设函数的定义域为，，若，则等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用赋值法分析求解.
【详解】因为，
令，则，即，可得；
令，则，即，可得；
令，可得.
故选：D.
6. 若，记，则函数的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用新定义，将写成分段函数，画出图象即可求出最小值.
【详解】
则的图象如下：
∴当或时，有最小值3.
故选：C.
7. 已知函数，且，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，令，代入运算求解.
【详解】因为，
则，即，解得.
故选：C.
8. 已知函数的最小值为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知函数在上单调递减，利用基本不等式求出在上的最小值，进而可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数的最小值为，则函数在上单调递减，则，且，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
由题意可得，解得.
综上，.
故选：A.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，取，，则，但，即“”不是“”的必要条件；
对于B选项，若，则，即“”是“”的必要条件；
对于C选项，若，则，即“”是“”的必要条件；
对于D选项，若，则，即“”是“”的必要条件.
故选：BCD.
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
11. 若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果.
【详解】在上为单调减函数，，解得：，
的值可以为或.
故选：CD.
12. 定义在上函数，对任意的，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 关于直线对称
B. 在上单调递增
C.
D. 若，则的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数的单调性可对称性可判断选项A,B，根据函数的单调性比较函数值的大小可判断选项C，利用函数单调性以及函数值的符号即可求解选项D.
【详解】因为对任意的，都有，
所以函数在上单调递增，
又因为函数为偶函数，所以函数关于直线对称，
所以函数关于直线对称，A正确；
根据函数在上单调递增，且关于直线对称，
可得函数在上单调递减，B错误；
因为函数在上单调递减，
所以，且，所以，C正确；
由可得，，
则结合函数的单调性和对称性可得，
时，，时，，时，，
所以由可得，或，
解得或，D正确；
故选:ACD.
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知集合，则它的真子集有______个
【答案】3
【解析】
【分析】
首先确定集合中的元素，然后由真子集的定义求解．
【详解】由题意，∴的真子集有3个：，，．
故答案为：3．
14. 已知函数，是偶函数，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据偶函数的定义和性质分析求解.
【详解】因为函数，是偶函数，
则，解得，可知，
且，即，
整理得，结合的任意性可得，即，
所以.
故答案为：4.
15. 已知函数的定义域为，求实数k的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的值域的概念以及一元二次不等式恒成立问题求解.
【详解】由题可得，对恒成立，
当时，不满足题意；
当时，要使对恒成立，
则有，解得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为: .
16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质确定，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.
【详解】因为幂函数的图象关于轴对称，
且在上是减函数，
，则，当时是奇函数，不满足题意，
，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意，
根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数，
可得在上是增函数，
由可知定义域为，
由，可得，
所以，
即，解得或，
故答案为:.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知集合，集合.
（1）若，求和
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：⑴把代入求出，，即可得到和
⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；
解析：（1）若，则．
，
（2）因为 ,
若，则，
若，则或，
综上，
18. （1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）已知，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据抽象函数的定义域求法，代入计算即可得到结果.
（2）令，根据换元法，即可求得函数的解析式.
【详解】（1）函数的定义域为，
可得， 则，
则中，，
解得 ，
可得的定义域为；
令，则，
则，
所以函数的解析式为．
19. （1）已知正数满足，求的最小值及相应的的值;
（2）已知正数满足，求的最小值.
【答案】（1）的最小值为9，此时；（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解；
（2）利用“1”的灵活运算结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因正数满足，
则，当且仅当时，等号成立，
令，则，即，解得或（舍去），
则，所以的最小值为9，此时；
（2）因为正数满足，
则，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值.
20. 已知定义在上的奇函数，且
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）解不等式
【答案】（1）
（2）在定义域内单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义和性质分析求解；
（2）根据单调性定义分析证明；
（3）根据函数的单调性和奇偶性分析求解.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，且，
则，解得，则，
且，即，
则为奇函数，可知符合题意，所以.
【小问2详解】
在定义域内单调递增，证明如下：
对任意，且，
则，
因，且，则，
可得，即，
所以在定义域内单调递增.
【小问3详解】
因为，且是定义在上的奇函数，
则，
又因为在定义域内单调递增，
则，解得，
所以不等式的解集为.
21. 中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，（万元）；当年产量不少于台时（万元）若每台设备的售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？
【答案】（1）
（2）当产量为台时，该企业在这一电子设备中所获利润最大
【解析】
【分析】（1）由题意可得：，分和两种情况分析求解；
（2）分和两种情况分析求解，结合二次函数以及基本不等式运算求解.
【小问1详解】
由题意可得：，
当时，；
当时，；
综上所述：.
【小问2详解】
当时，，
所以当时，取得最大值（万元）；
当时，则，
当且仅当，即时，取到最大值为（万元），
综上所述：当产量为台时，该企业在这一电子设备中所获利润最大，最大值为万元.
22. 已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围
（3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由不等式转化为，分，，讨论求解.
（2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解.
（3）根据对任意的，总存在，使成立，则的值域是的值域的子集求解.
【详解】（1）因为函数，
所以即为，
所以 ，
当时，解得 ，
当 时，解得，
当 时，解得 ，
综上：当时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
（2）因为对任意的，恒成立，
所以对任意的，恒成立，
当时，恒成立，
所以对任意的时，恒成立，
令，当且仅当 ，即 时取等号，
所以，
所以实数取值范围是.
（3）当时，，
因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，
则，解得
当时，，
则，解得，
当时，，不成立；
综上：实数的取值范围.
【点睛】方法点睛：双变量任意、存在恒成立问题：
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 的值域是的子集；