浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.
【详解】，
所以，
∴，∴，
∴，
又∵，
∴与的夹角为.
故选：B.
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程.
【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题.
3. 在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意将所求直线转化为为两圆的公切线，结合两圆位置关系分析求解.
【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
则所求直线即为两圆的公切线，
因为，且，
可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条.
故选：D
4. 圆和的位置关系是（ ）
A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】由圆与圆的位置关系判断，
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆可化为，圆心为，半径为4，
而两圆心的距离为，故两圆外切，
故选：D
5. 若，求的面积为（ ）
A. 28B. 14C. 56D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根据坐标求解出三角形边长和高，然后根据面积公式求解即可；
【详解】根据两点间的距离解得：
AB所在直线方程为：
则
所以
故选：A
6. 直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算代入空间中点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意，
因为直线的方向向量为，
所以取直线的一个单位方向向量为，
由，可得，
所以，
，
所以.
故选：B.
7. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】如图所示：

由，得，
则，
则圆的圆心是为椭圆的左焦点，
则右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故选：C
8. 如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为，换元后利用基本不等式可得答案.
【详解】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，
以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，

则，平面ABCD的其中一个法向量为= (0,0.1)，
由，设，则，
记直线与平面ABCD所成角为，
则
设，
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 圆，圆，则下列直线中为两圆公切线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用圆心到直线距离求圆的公切线，然后逐一判断即可.
【详解】由题知圆，圆心为，半径为，
圆，圆心为，半径为，
由两圆圆心和半径大小知，两圆公切线的斜率存在，
设公切线方程为l：，
则到l的距离
到l的距离
得，
，
解得或，
当时，，
解得或，即或，
当时，，
解得或，即或，
故选：BCD
10. 若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若C为椭圆，则，且B. 若C为双曲线，则或
C. 若，则曲线C表示圆D. 若C为双曲线，则焦距为定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案.
【详解】A：C为椭圆，则，可得，且，正确；
B：C为双曲线，则，可得或，正确；
C：时，方程为，即曲线C表示圆，正确；
D：若C为双曲线，则，显然焦距不为定值，错误.
故选：ABC
11. 如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为中点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到直线的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标，利用空间向量的方法逐项分析即可求解.
【详解】过作，垂足为，则，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．则，，，，．
因为，故选项正确；
因为，
所以直线与所成角的余弦值为，故选项错误；
设平面的法向量为，
则，令，得．
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，故选项正确；
设点到直线的距离为，则，
即点到直线的距离为，故选项正确，
故选：.
12. 曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线（）上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若曲线上某点处的曲率半径起大，则曲线在该点处的弯曲程度越小
B. 若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距）则该椭圆离心率为
C. 椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为
D. 若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据曲率半径可判断A；把代入，根据的范围可得的最小值，令其等于化简求出可判断B；由选项B可知可判断C；根据，得出求出可判断D.
【详解】对于A，曲线上某点处的曲率半径变大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，
因为，所以，，
若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为，可得，
解得，故B正确；
对于C，由选项B可知，，所以，
所以椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为，故C错误；
对于D，若椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，由选项B可得，所以，解得，
则椭圆方程为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．
13. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示).
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得在上的投影向量的坐标.
详解】已知空间向量和，
则在上的投影向量为
.
故答案为：.
14. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：或．
15. 如图，在三棱锥中，，、分别是的中点、则_____．
【答案】
【解析】
【分析】连结，取的中点，连结，则由可知异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形求得，设与的夹角为，由图可知与互补，从而得出，最后利用向量的数量积运算，即可求出的结果．
【详解】解：连结，取的中点，连结，
则，是异面直线，所成的角，
，
，，，
同理得：，
又，，
，
设与的夹角为，由图可知与互补，
则，
.
故答案为：.
16. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点B、C，若，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】根据题意，记，则，
其中为双曲线的半焦距，
进而由双曲线的焦半径公式和双曲线的定义，可得，
即，也即，
解得，
因此双曲线的离心率．
故答案为：.
非选择题部分
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设常数，已知直线：，：．
（1）若，求的值；
（2）若，求与之间的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．
【小问1详解】
根据题意，直线：，：，
若，则，解可得a
【小问2详解】
根据题意，若，则有，解可得或，
当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意，
当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离
18. 在三棱锥体中，，点为的中点，设.
（1）记，试用向量表示向量；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的运算的几何表示结合条件即得；
（2）根据空间向量的数量积的定义及运算律即得.
【小问1详解】
由题可知，，
所以，即，又，
所以，
所以，
又点为的中点，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以
.
19. 已知圆C：，直线l：.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【小问1详解】
由圆：，可得，
其圆心为，半径，
若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.
【小问2详解】
由（1）知：圆心到直线的距离，
因为，即，解得：，
所以，整理得：，解得：或，
则直线为或.
20. 若双曲线E：的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若，点C是双曲线上一点，且，求k，m的值．
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】
(1)联立直线与双曲线方程,根据直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点可求得韦达定理以及判别式满足的关系式即可.
(2)联立直线与双曲线方程,根据弦长公式求解可得或.再根据可求得的坐标表达式,再代入双曲线方程进行求解即可.
【详解】(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得 (1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于A,B两点,所以.
即,即,即k的取值范围是．
(2)由①得,
所以.
整理得,所以或,又,所以,
所以x1＋x2＝,y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3,y3),由得(x3,y3)＝m(x1＋x2,y1＋y2)＝,因为点C是双曲线上一点,所以80m2－64m2＝1,
得,故.
【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,重点是联立方程求解,根据条件得出二次方程韦达定理满足的关系式,同时需要掌握弦长等公式方法等.属于难题.
21. 如图，在直三棱柱中，，，三棱柱的侧面积为.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面平面；
（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
依题意，，
所以，所以，
根据直三棱柱的性质可知平面，
而平面，所以，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，设平面的法向量为，
则，故可得.
平面的一个法向量是，
由于，所以，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）得平面的法向量，
，
设直线与平面所成角为，
则.

22. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为2，动弦MN平行于x轴，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，3
【解析】
【分析】（1）由椭圆的对称性得，结合椭圆的定义可求出，即可求出答案；
（2）设，设直线AP的方程为：，与椭圆的方程联立，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在，使得成立.
【小问1详解】
因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得．
又因为，所以．则，．
所以椭圆E的方程为.
【小问2详解】
设，又，则，
故直线AP的方程为：，代入方程并整理得：．
由韦达定理：即，∴
同理可解得：，，∴
故直线CD的方程为，即，
化简可得：，
直线CD恒过定点．
∴，
因为，，
所以
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知等量关系，化简整理得到所求定点.