浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省七彩阳光新高考研究联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为全集，集合，则或，
又因为，则.
故选：A.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域要求求解定义域即可.
【详解】函数定义域需满足，解得且，即，
故选：C
3. 设或，或，则是的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要条件D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件的充分性必要性判断即可.
【详解】取，此时条件成立，条件不成立，所以，不是的充分条件；
对任意或者，都满足或者，所以，是的必要条件，
故是的必要不充分条件，
故选：B
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式性质进行分析求解.
【详解】由题干可知，对于选项A，两边同时乘，当时，所以.选项A错误.
由题干可知，对于选项B，两边同时乘，当时，所以.选项B错误.
由题干，选项C，两边同时乘，则可知成立，选项C正确.
由题干可知，当，，，则，选项D错误.
故选：C.
5. 若函数，无最值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性可得答案.
【详解】若函数在无最值，
只需即可.
故选：D.
6. 已知函数，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域.
【详解】令，则，
所以，
综上，.
故选：B
7. 若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案.
【详解】因为，所以由不等式得，
不等式在区间内有解，
只需，
因为在上单调递增，
所以的最大值为，可得，
解得.
故选：D.
8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先将函数表示成分段函数，作出其图像，判断函数奇偶性，利用函数的单调性求解抽象不等式即得.
【详解】
由函数= 作出函数图象，
故函数为偶函数，且在上为增函数，又由，
故可得：两边平方化简可得：解得：
故选：B.
二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9. 已知函数，则关于函数的结论正确的是（ ）
A. B. 若，则的值为
C. 的图象关于轴对称D. 的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】将代入可知A错误；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程求得B正误,根据定义域不关于原点对称判断奇偶性判断C选项，分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确；
【详解】对于A，因为，所以，所以A错误；
对于B，当时，由，得，解得，
当时，由，得，解得或（舍去），
综上，，所以B正确;
对于C，的定义域为定义域不关于原点对称函数没有奇偶性,的图象不关于轴对称, 所以C错误；
对于D，因为，
所以的定义域为，
当时，，当时，，
所以的值域为，所以D正确；
故选：BD.
10. 若为上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是偶函数D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性逐个判断即可.
【详解】因为为上的奇函数，所以，
对于A：所以，A正确；
对于B：，所以是奇函数，B错误；
对于C：，所以是偶函数，C正确；
对于D：令，则，又因为为上的奇函数，所以，所以，D正确，
故选：ACD
11. 已知是定义在上的函数，且对任意，有，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. 不等式的解为
B. 是的增区间
C. 方程有5个解
D. ，，都有
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知画出函数草图，数形结合判断各项正误即可.
【详解】由题设知：关于对称，
结合已知解析式可得图象如下：
由图知：的解集为，A错；
是的增区间，B对；
令，若，则，
当，对应有两个值，
当，对应有两个值，
当，对应有一个值，
所以共有5个，C对；
由，而，
所以，D错.
故选：BC
12. 已知正实数、满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；对于D选项，由已知可得出，可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可判断D选项.
【详解】因为正实数、满足.
对于A选项，当，时，，可得，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，A对；
对于B选项，若，，则，所以，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，B错；
对于C选项，若，，则，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，C对；
对于D选项，若，，则，可得，
即，则，
又因为，则，令，
所以，，
因为函数在上单调递减，则，即，D对.
故选：ACD.
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 命题“，”的否定是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为，.
故答案为：，
14. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
15. 若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由分段函数的单调性，结合一次函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，，则，可得.
故答案为：
16. 已知实数、、满足，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得出，可得出，结合二次函数的基本性质可得出的最大值.
【详解】因为，则，
由，可得，
所以，，
因为，
当且仅当时，即当或，等号成立，
因此，的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 设集合，集合，其中、为常数．
（1）用列举法表示集合；
（2）若，写出以的值组成的集合．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求出集合即可；
（2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据求出、的值，即可得出以的值组成的集合.
【小问1详解】
解：.
【小问2详解】
解：因为，则.
①当时，，则或，此时，或；
②当时，，则或，此时，.
综上所述，以的值组成的集合为.
18. 已知幂函数在区间单调递增．
（1）求实数的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可得出范围；
（2）代入得，平方即可求解.
【小问1详解】
因为是幂函数，则，解得或，
又因为在区间单调递增，则，故；
【小问2详解】
由（1）得，则，
则
19. 已知函数．
（1）若，，解关于的不等式；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先转化为关于的不等式，然后对进行分类讨论即可；
（2）先求出和，再应用待定系数法求出，最后应用不等式性质相加即可.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以，
所以，代入可得，
即，即
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
所以当时不等式的解集为，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为；
【小问2详解】
，
又因，令，解得，
而，两式相加可得，所以，
即.
20. 是定义在上的函数，满足以下性质：①、，都有，②当时，．
（1）判断的单调性并加以证明；
（2）不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）判断出在上为增函数，令，可得出，令，可得出，然后任取、且，可得出，利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）将已知不等式变形可得，利用（1）中的结论可得，整理可得对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数在上为增函数，证明如下：
令，可得，则，
令，可得，所以，，
任取、且，则，故，
所以，，即，
因此，函数在上为增函数.
【小问2详解】
由可得，
所以，，整理可得对任意的恒成立，
当时，即，则有，解得，不合乎题意；
当时，则有，解得.
因此，实数的取值范围是.
21. 用不等式知识解决下列问题：
（1）已知克糖水中有克糖，往糖水中加入克糖，（假设糖全部溶解）糖水更甜了，请将这个事实表示为一个不等式；
（2）某超市进货，，三种水果榶，进货价格分别为元/千克，元/千克，元/千克，然后把所有榶混合成什锦榶，进货方案有两种，方案一：每种榶进货1500元，方案二：每种榶进货100千克；问哪种方案混合成的什锦榶每千克的价格更低？
【答案】21.
22. 答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列出不等式即可；
（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后应用基本不等式比较大小，即可判断哪种方案经济.
小问1详解】
不等式为
【小问2详解】
若按第一种方案采购，每种糖用的钱数是，则购买3种糖的平均价格为，
若按第二种方案采购，每种糖购买量为，则购买3种糖的平均价格为，
又 ，
所以当时，两种方案一样；
当时，第一种方案比较经济.
22. 已知函数，，常数．
（1）若是奇函数，设、，实数满足，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求出的值，可得出函数的解析式，利用基本不等式求出函数的值域，根据以及函数的值域可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围；
（2）分、两种情况讨论，构造函数，计算后得到，在时得到对任意的恒成立，在时得到对任意的恒成立，结合一次函数的基本性质可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，且函数为奇函数，
则，所以，，可得，解得，
所以，，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，；
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
此时，，
又因为，所以，函数的值域为，
对、，有，
若、中至少有一个零时，则，此时，；
若、两个均不为零时，则、，则，
不妨设，，则，，则，
由不等式的性质可得，即，解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
解：当时，由可得，
即，
令
，
所以，对任意的恒成立，显然当时矛盾；
当时，由可得，
即，则，
所以，对任意的恒成立，
当时，则由，合乎题意，
当时，则有，解得，此时，，
当且时，，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键就是采取作差法，将式子进行化简，通过降次，转化为一次不等式恒成立问题，再结合一次函数的基本性质求解.