福建省莆田第九中学2023届高三上学期第一次教学质量检测数学模拟试题(含答案)

这是一份福建省莆田第九中学2023届高三上学期第一次教学质量检测数学模拟试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2、已知z为复数，，则等于( )
A.0B.1C.D.2
3、某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是( )
A.B.C.D.
4、展开式中的系数为( )
A.B.C.80D.160
5、如图，一个三棱柱的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的，现将其侧面放置于水平地面，水面恰好经过底边AC上的点D，则的值为( )
A.B.C.D.
6、已知直线与抛物线交于A，B两点.若点满足，则( )
A.B.1C.2D.3
7、经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：)()的数据如下表：
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，(单位：).为使百公里耗油量W(单位：L)最小，该型号汽车行驶的车道与速度为( )
A.在外侧车道以行驶B.在中间车道以行驶
C.在中间车道以行驶D.在内侧车道以行驶
8、若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知向量，，，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是( )
A.，B.，C.，D.，
10、对于给定的异面直线m、n，以下判断正确的是( )
A.存在平面，使得，
B.存在直线l，使得l同时与m、n垂直且相交
C.存在平面、，使得，，且
D.对于任意点A，总存在过A且与m、n都相交的直线
11、已知数列的前n项和是，则下列结论正确的是( )
A.若数列为等差数列，则数列为等差数列
B.若数列为等差数列，则数列为等差数列
C.若数列和均为等差数列，则
D.若数列和均为等差数列，则数列是常数数列
12、瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线l与y轴及双曲线(，)的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若l的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、已知，是两个单位向量，且满足，那么向量与的夹角为_________.
14、2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有_________种.(用数字作答)
15、已知正项等比数列的前n项和为，，则_________.
16、若函数有零点，则m的取值范围是_________.
四、解答题
17、已知的周长为，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求边长c的值；
(2)若的面积，求角C.
18、已知数列的前n项和为，满足，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
19、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(biena)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中，.
(1)求证：四棱锥为阳马；
(2)若，当鳖膈体积最大时，求锐二面角的余弦值.
20、学校准备购买三台打印机，型号分别为A，B，C，已知这三台打印机均使用同一种易耗品.提供打印机的商家规定：在购买打印机的同时购买易耗品，每件易耗品的价格为100元，在打印机使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买打印机时，应同时购买易耗品的件数，学校调查了这三种型号的打印机各60台，调查每台打印机在一个月中使用易耗品的件数，并得到统计表(如下所示)：
将调查的每种型号的打印机在一个月中使用易耗品的频率视为概率，各台打印机在易耗品的使用上相互独立.
(1)求一个月中A，B，C三台打印机使用的易耗品总数超过21件的概率；
(2)以学校一个月购买易耗品所需总费用的数学期望为决策依据，问学校在购买打印机时应同时购买20件还是21件易耗品？
21、已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.
(1)求a，b的值；
(2)若直线l过点交曲线于点A，B，求面积的最大值.
22、已知函数在处的切线经过点
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由图可得，图中阴影部分表示的集合为，
或，
.
故选：C.
2、答案：C
解析：由，得，
所以，
故选：C.
3、答案：C
解析：解：设原来低收入市民人口为a，则高收入市民人口为2a，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，
则由题意可得，
解得，
故选：C
4、答案：A
解析：解：因为展开式中x的次数均为偶次，
所以展开式中的系数为展开式中系数的2倍，
展开式的通项公式为，令，得，
所以展开式中的系数为，
故选：A
5、答案：D
解析：因为水的体积是三棱柱体积的，又阴影部分为四棱柱，
所以四棱柱的底面积是三棱柱的底面积的，所以无水部分三棱柱的底面积是大三棱柱底面积的，
根据两个三角形相似可得，所以，所以.
故选：D
6、答案：C
解析：直线与抛物线联立得：，
设，，所以，，
点满足，所以有：
，
，，
所以，解得，
故选：C
7、答案：A
解析：由题意，符合的函数模型需要满足在，v都可取，且由表可知，Q随v的增大而增大，则该函数模型应为增函数，
不符合，
若选择，则，，，与实际数据相差较大，所以不符合，
若选择，则，，，，，最符合实际，
，
当时，W取得最小值为9.
故选：A
8、答案：D
解析：设曲线上的点，，；
曲线上的点，，；
，
，，
.
故选：D.
9、答案：AD
解析：A：假设，则有，显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意；
B：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意；
C：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意；
D：，，假设是共线向量，则有显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意，
故选：AD
10、答案：BC
解析：对于A选项，若存在平面，使得，，则，与题设条件矛盾，假设不成立，A选项错误；
对于B选项，作直线a，使得且，则直线a、m确定平面，如图所示：
过点A作直线b，使得.
①若b与n相交，则直线b即为所求作的直线l，
，，所以，，，，所以，，
即直线l同时与m、n垂直且相交；
②若直线b与n异面，过直线n作平面，使得，
设直线b与m确定的平面为，且，由线面平行的性质定理可得，
，则，，，，，同理可知，，
由图可知，，，，则，同理可知，直线l与n也相交.
此时，存在直线l，使得l同时与m、n垂直且相交.
综上所述，存在直线l，使得l同时与m、n垂直且相交，B选项正确；
对于C选项，作直线，使得直线与n相交且，直线与n确定平面，
作直线，使得直线与m相交且，直线m与确定平面，
，，，所以，，同理可得，
因为直线m与相交，且直线m与确定平面，所以，，
因此，存在平面、，使得，，且，C选项正确；
对于D选项，若点A既不在直线m上，也不在直线n上，则点A与直线m可确定平面，
当时，无法找到过点A的直线同时与m、n相交，D选项错误.
故选：BC.
11、答案：BCD
解析：对于A中，若数列为等差数列，可得，，
因为首项不确定，所以数列为不一定是等差数列，所以A不正确；
对于B中，若数列为等差数列，设公差为d，
则，可得，
当时，；
当时，，
则，
由，，则，
所以，，所以数列为等差数列，所以B正确；
对于C中，由数列为等差数列，可得，
则，可得，
则
常数，所以，即，
所以，所以，且，所以，所以C正确；
对于D中，由数列为等差数列，可得，
则，
可得，
因为为等差数列，所以为常数，所以，
所以，所以数列是常数数列，所以D正确.
故选：BCD.
12、答案：ABD
解析：设，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若A为重心、B为外心、P为垂心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若A为重心、B为垂心、P为外心，则，
所以，化简得不成立；
若B为重心、A为垂心、P为外心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若B为重心，P为垂心、A为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若P为重心、A为垂心、B为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若P为重心，B为垂心、A为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.
故选：ABD
13、答案：
解析：由，得，
，是两个单位向量，所以，
所以向量与的夹角的余弦为：，
所以向量与的夹角为.
故答案为：.
14、答案：36
解析：将4名同学按2，1，1分成3组有种方法.
再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种
则所有分配方案共有种
故答案为：36
15、答案：
解析：设正项等比数列的公比为，，
因为，所以，
因此，
而，所以，
故答案为：
16、答案：
解析：令，所以，
令，，则函数有零点，
即为，有交点.
当时，，
当且仅当时，即时取等号，
所以当时，，
当时，，当且仅当时，即时取等号，
所以当时，，
所以要使与有交点，则需或，
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)由正弦定理，
得，，，
将上式代入，
化简得，①
又，②
由①②得.
(2)，
，，
由(1)知，，
由余弦定理得，
，.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)是与的等差中项，，
所以当时，，两式相减可得，即
又因为当时，，
因此满足上式，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，
(2)，，
.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)底面ABC，面ABC
又，
面，
又四边形为矩形
四棱锥为阳马.
(2)，，
又底面ABC，
当且仅当时，取最大值
，底面ABC
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系
，，
，，
设面的一个法向量
由得
同理得
二面角的余弦值为.
20、答案：(1)
(2)学校在购买打印机时应该购买21件易耗品
解析：(1)由题中的表格可知
A型号的打印机一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为，
B型号的打印机一个月使用易耗品的件数为6，7，8的频率分别为
，，，
C型号的打印机一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为，，
设一个月中A，B，C三台设备使用易耗品的件数分别为x，y，z，
则，
，，，
，，
设三台打印机一个月中使用易耗品的件数总数为X，
则，
而
，
，
故，
即一个月中A，B，C三台打印机使用的易耗品总数超过21件的概率为.
(2)由题意知，X所有可能的取值为19，20，21，22，23，
，
，
，
由(1)知，，，
若学校在购买打印机的同时购买了20件易耗品，
设学校一个月中购买易耗品所需的总费用为元，
则的所有可能取值为2000，2200，2400，2600，
，
，
，
，
，
若学校在购买打印机的同时购买了21件易耗品，
设学校一个月中购买易耗品所需的总费用为元，
则的所有可能取值为2100，2300，2500，
，
，
，
.
故，所以学校在购买打印机时应该购买21件易耗品.
21、答案：(1)
(2)最大值为
解析：(1)由题意：，，
，解得即
(2)由(1)知，曲线，点，
设直线l的方程为：，
联立得：，
，又，，
设，，
，，
，
面积，
令，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
22、答案：(1)在单调递减
(2)
解析：(1)由题意得，，
，
在处的切线方程为
即，
点在该切线上，，
函数在单调递减；
(2)由题意知且，
原不等式等价于，
设，
由(1)得在单调递减，且，
当时，，；当时，，；
，
假设存在正数b，使得，
若，当时，；
若，当时，；
不存在这样的正数b，使得，的值域为
m的取值范围为.
v
40
60
90
100
120
Q
5.2
6
8.325
10
15.6
每台打印机一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8
频数
型号A
30
30
0
型号B
20
30
10
型号C
0
45
15