黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合，，则( )
2、命题“，”是真命题的充要条件是( )
A.B.C.D.
3、已知方程在复数范围内有一根为，其中i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点在( ).
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4、已知随机变量X，Y分别满足，，且期望，又，则( )
A.B.C.D.
5、密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如密位写成“”，578密位写成“”.若，则角可取的值用密位制表示正确的是( )
A.B.C.D.
6、定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知，满足，则p可以是( )
A.23B.31C.32D.19
7、已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线C交于P，Q两点，且，，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为( )
A.3B.C.2D.
8、已知a，，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知圆C：的圆心坐标为，则( )
A.，
B.圆C的半径为2
C.圆C上的点到直线距离的最小值为
D.圆C上的点到直线距离的最小值为
10、下列说法正确的是( )
A.若事件M，N互斥，，，则
B.若事件M，N相互独立，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
11、已知函数，且，的最小正周期为T，，则( )
A.B.
C.为奇函数D.关于对称
12、数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是( )
A.勒洛四面体最大的截面是正三角形
B.若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值大于4
C.勒洛四面体ABCD的体积是
D.勒洛四面体ABCD内切球的半径是
三、填空题
13、在等比数列中，，，则_________.
14、设平面向量，的夹角为，且，则在上的投影向量是__________.
15、一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的第75百分位数是 .
16、“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）.
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C.现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段的中点，则的最小值为_________.
四、解答题
17、的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C；
(2)若，D为BC中点，，求AD的长.
18、已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立.
19、为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：
经计算得：，，，.
(1)利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程；
(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.
（i）求这两条直线的公共点坐标.
（ii）比较与的斜率大小，并证明.
附：y关于x的线性回归方程中.，，
20、已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)证明：函数在上有且仅有一个零点.
21、在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点P，Q分别在线段，上，二面角的大小为.

(1)若，，，证明：平面；
(2)若，点P为上的动点，点Q为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值.
22、已知椭圆，设过点的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线于点P，点E为直线上不同于点A的任意一点.
(1)若，求b的取值范围；
(2)若，记直线EM，EN，EP的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，(其中)，使得，，成等差数列或等比数列?若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
参考答案
1、答案：D
解析：因为，
由可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
2、答案：B
解析：命题“，”为真命题，则在上恒成立，
，，则.
故选∶B.
3、答案：B
解析：因为方程在复数范围内有一根为，
所以，整理得，
所以，，
则复数在复平面上对应的点在第二象限.
故选：B.
4、答案：C
解析：由题意知，，，
故，
由，知，故，
，
故选：C
5、答案：B
解析：因为，
可得，
所以，，
所以，或，
则或，
所以，密位或密位，其中，
所以，角可取的值用密位制表示为.
故选：B.
6、答案：A
解析：因为
也即，
故n除以7的余数为除以7的余数2，
又23除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意.
故选：A.
7、答案：D
解析：不妨设P位于第一象限，双曲线C的右焦点为，连接，，
为中点，四边形为平行四边形，，；
设，，则，
由得：，解得：；
在中，，
，
（当且仅当时取等号），
当取得最小值时，双曲线C的离心率.
故选：D.
8、答案：A
解析：由，两边取对数，可得
(因为，)，
所以，所以.
因为，所以.
取，即，即，代入得
，得，，
，，满足题意.
此时D成立，C不成立，故排除C；
取，，即，
代入得与解得，
满足，，满足题意.
满足题意.此时C成立，D不成立，故排除D；
当，时，
，
由等价于，由，可知成立，
所以故A成立，B不成立，故排除B.
故选：A.
9、答案：AC
解析：由圆C：的圆心坐标为得，，
所以，，故A正确，
圆的半径，故B错误，
圆心到直线的距离为，
故圆C上的点到直线距离的最小值为，
故C正确，D错误，
故选：AC
10、答案：ABC
解析：对于A：，正确；
对于B：，正确；
对于C：，，，，
所以，解得，C正确；
对于D：由C得，D错误，
故选：ABC.
11、答案：BD
解析：对于A：因为，所以为的一个极值点，
所以，所以，
即，所以，
又因为，所以，因为，所以，
所以，故选项A错误；
对于B：，故选项B正确；
对于C：，
，即不是奇函数，故选项C错误；
对于D：，即关于对称，故选项D正确；
故选：BD.
12、答案：BD
解析：由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图1所示，故A不正确；
设曲面BAC与曲面ACD的交线为弧，
则棱BD的中点E到该交线的距离为，
同理可得棱AC的中点F到曲面ABD与曲面BCD的交线的距离也为，
且，
所以若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ可取，故B正确；
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BO，并延长交勒洛四面体的曲面于点E，则OE就是勒洛四面体内切球的半径.如图3，在正四面体ABCD中，M为的中心，O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BM，BO，AM，由正四面体的性质可知O在AM上.
因为，所以，则.
因为，即
解得，则正四面体ABCD外接球的体积是.
因为勒洛四面体的体积小于正四面体ABCD外接球的体积，则C错误.
因为，所以，则D正确.
故选：BD.
13、答案：8
解析：由题，则，且，所以，
故答案为：8
14、答案：
解析：由题意知，平面向量，的夹角为，且，
则，所以则在上的投影向量为.
故答案为：
15、答案：157
解析：这组数据共12个，，则这组数据的第75百分位数是.
故答案为：157
16、答案：
解析：设点F关于折痕的对称点为点A，由对称性可知，且A、M、E三点共线，
如图，以所在直线为x轴，的中点O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，
所以，，
所以，曲线C是以F、E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，
则，可得，，则，
所以，曲线C的方程为，
设点，则，所以，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
，
， ，
由正弦定理得，
，
，解得；
（2），，
，
由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
解得.
18、答案：(1)数列是一个首项为，公比为的等比数列
(2)m的最小值为
解析：(1)因为.
又，所以数列是一个首项为，公比为的等比数列；
(2)由(1)知，当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
故
，
由于单调递增且时，，
所以m的最小值为.
19、答案：（1）
（2）（i）
（ii），理由见解析
解析：（1）由题意可知，；
，，
故回归方程为；
（2）设，的斜率分别为，，
x关于y的线性回归方程为， ，
，，
（i）根据回归直线的求解过程可知两条直线都过，且，
故公共点只有一个；
（ii），
，，，，
若，则，
即恒成立，
代入表格一组数据得：
，矛盾，故.
20、答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）因为，且，，
所以切线方程为，
即所求切线方程为.
（2）.
因为，所以，，，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以在上是减函数，且，
所以在上仅有一个零点.
21、答案：（1）证明见详解
（2），
解析：（1）如图所示，过Q作交AC于E，
连接PE，过作，交AC于F，
，结合圆台的特征知，
又，解三角形得，
故，即，
，由题意易知四边形为直角梯形，
，，故，
面，面，面，
同理面，
又面PQE，面面，
面，平面，得证；
（2）如图，结合圆台的特征，
当时，此时、、两两垂直，
故以A为中心，以AB、AC、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
则，
设，，则，，
易知x轴面，不妨取作为面的一个法向量，
设与平面所成角为，，
则，
即当时，取得最大值，此时为最大角，
，
设此时面APQ的一个法向量为，
易得，，
则，
令，则，，即，
由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为，
故，
故与平面所成最大角的正切值为，
此时二面角的余弦值为.
22、答案：(1)b的取值范围是
(2)，，或，，成等差数列
解析：(1)设点，其中，，且，
则
，
由，得.
，，，.
，.
只需.又，.
b的取值范围是.
(2)，，或，，成等差数列.证明如下：
若，则.设点，.
①若直线l斜率为0，则点，不妨令点，，
则，，，此时，，的任意排列
，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列.
②若直线l斜率不为0，设直线，，，易知点.
由得，
，.
因为，，，
所以
，
，，或，，成等差数列.
综上，，，或，，成等差数列.
x
…
2.7
3.6
3.2
…
y
…
57.8
64.7
62.6
…