第4章 图形的相似 北师大版数学九年级上册基础过关测试(含答案)

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第四章图形的相似 单元测试（基础过关）一、单选题1．如果，则下列正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【解析】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是会熟练的把乘积式变成比例式．2．数2和8的比例中项是（　　）A．16 B．8 C．±4 D．4【答案】C【分析】根据比例中项的概念：比例中项的平方等于两个数的乘积．设2和8的比例中项是x，直接列方程求解．【解析】解：设2和8的比例中项是x，则：x2＝2×8，解得x＝±4，故选：C．【点睛】考查了比例中项的概念：如果一个比例式中的两个内项相同，则是比例中项．注意一个正数的平方根有两个．3．如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（　　）A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣1）【答案】A【分析】根据题意延长A′A、B′B交于点P，结合坐标系即可求得的坐标．【解析】如图，延长A′A、B′B交于点P，则点P（1，﹣1）为位似中心，故选：A．【点睛】本题考查了求位似中心，理解位似中心是每组对应点的连线交于一点是解题的关键．4．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（    ）m． A．3.04 B．4.45 C．4.75 D．3.8【答案】B【解析】试题解析：∵留在墙壁上的树影高为1.2m，∴这段影子在地面上的长为：1.2×0.8=0.96m，∴这棵树全落在地面上时的影子的长为：2.6+0.96=3.56m，∴这棵树的高度为：3.56÷0.8=4.45m.故选B．5．如图，把一个矩形分割成三个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）A．2：1 B．3：1 C． D．【答案】D【分析】设原矩形ABCD的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．【解析】解：设原矩形ABCD的长为，宽为，∴小矩形的长为，宽为，∵小矩形与原矩形相似，∴∴；故选：D．【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．6．如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【解析】A、当时，无法得出，符合题意；B、，，能判定相似，不符合题意；C、，，能判定相似，不符合题意；D、，，能判定相似，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为30，则△ACD的面积为（　　）A．10 B．12 C．15 D．30【答案】A【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得，则，由此即可得到．【解析】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴，即，∴∴．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．8．如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可．【解析】解：∵∥，∴，∵，，，∴，解得：，∵∥，∴，故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键．9．如图，在中，，分别是边，上的点，且，，．则下列说法不正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质解答即可．【解析】解：∵，，，∴，故选项A正确；∴，又，∴，故选项B正确；∴，即，，故选项C正确，选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为CD、BC的中点，把△ADE沿AE翻折得到△AD'E，延长AD'交BC于点G，连接EG，M是AB边上一点，连接FM，把△BMF沿MF翻折，点B的对应点B'恰好落在AG上，则B'D'的长度为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作于，由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求解．【解析】解：如图，过点作于，点、分别为、的中点，，，把沿翻折得到△，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，把沿翻折，，，，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，先利用折叠性质和勾股定理求出，在利用相似三角形求出，的长是本题的关键．二、填空题11．若，则___．【答案】-5【分析】根据比例的基本性质，用一个未知量将a、b表示出，代入原式即可得解．【解析】解：设a=2k，b=3k，则=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查了比例的性质和分式的加减法．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．12．若点C是线段的一个黄金分割点，，且，则_______（结果保留根号）．【答案】4-4【分析】根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为”结合题意AC>BC，且AB=8，即可列出关于线段AC长的等式，解出AC即可．【解析】∵点C是线段AB的一个黄金分割点，且AC>BC∴，∴， ∴．故答案为：．【点睛】本题考查黄金分割．熟记黄金分割比例是“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，且其比值为”是解答本题的关键．13．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．【答案】3 4.5 4 6 【分析】根据相似多边形的性质，得到比例式，计算即可．【解析】解：∵两个五边形相似，∴，，，，解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边成比例是解题的关键．14．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为________，可证明△AOB∽△DOC．【答案】∠AOB＝∠DOC【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．【解析】解：∵，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：∠AOB＝∠DOC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”是解题的关键．15．如图，在平直角坐标系中，的顶点都在坐标轴上，．若是以原点为位似中心，的位似图形（为点 的对应点），且与相似比为，则点的坐标为______．【答案】或【分析】根据位似图形的性质，可得到，从而得到 ，即可求出点的坐标．【解析】解： ∵是以原点为位似中心，的位似图形（为点 的对应点），∴点 在 轴上，∵与相似比为，∴ ，∵，∴ ，∴点的坐标为 或．故答案为： 或．【点睛】本题主要考查了位似图形与坐标，熟练掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k是解题的关键．16．如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是__________．【答案】10【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解析】解：∵，，∴，即，解得，，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理．17．我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.【答案】20【解析】【分析】由题意知△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对边的比与对应高的比相等列式求解即可.【解析】解：∵40cm=0.4m，8cm=0.08m∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．∴△ABC∽△ADE，∴BC：DE=AG：AF，∴0.08：DE=0.4：100，∴DE=20m．故答案为：20．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求解即可．此题是实际应用题，解题时首先要理解题意，将实际问题转化为三角形相似问题求解；相似三角形的对应边成比例．18．如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________.【答案】或【分析】根据题意得： ，设 ，则 ， ，然后分两种情况：当，即 时；当，即 时，即可求解．【解析】解：根据题意得： ，∵，可设 ，则 ， ，当，即 时，∵，，∴ ，解得： ；当，即 时，∵，，解得： ，∴当与相似时，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．三、解答题19．（1）已知，求的值．（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据比例的基本性质求解即可；（2）根据比例中项的定义得到结果，注意负值舍去．【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵线段，∴，∴线段a，b的比例中项为（负值舍去） ．【点睛】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；（2）以点A为位似中心将放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．【答案】（1）见解析，；（2）见解析，【分析】根据平移的定义“把一个图形整体沿某一直线方向移动， 会得到一个新的图形，新图形与原图形的大小和形状完全相同”即可得；根据位似图形的定义“一般得，如果一个图形上的点，，…，和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足①直线，，…，都经过同一点O；②”即可得．【解析】（1）根据题意可得：∴；（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；分别在射线上取，，使，连接，，，即可得；∴．【点睛】本题考查了作图—平移变换，作图—位似变换，解题的关键是掌握平移作图方法和图形位似的作图方法．21．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．【分析】过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出，，即可得出答案．【解析】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，可得HO∥BN，则△AOH∽△ABN，故，∵AB长为3米，BN长为1.5米，∴，∴同理可得：△BOH∽△BAM，则，∵AB长为3米，AM长为1米，∴，即∴OH＝0.6，答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．22．如图，已知，，求、的长．【答案】,．【分析】由可得，可求,可得，设，可得，解方程即可．【解析】解：∵∴，∴， ∴,∴，，设，∴，解得．∴．【点睛】本题考查平行线截线段成比例性质，利用比例构建方程，掌握平行线截线段成比例性质，利用比例构建方程是解题关键．23．如图，中，D为的中点，E为上一点，且．F为上一点，且，交于点P．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根据，得到，，分别作，平行于且与分别交于、两点，则，，，即可得到，；（2）由，可以得到，设，，，，再根据，，则，即，，由此求解即可．【解析】解：（1）∵，∴，，如图，分别作，平行于且与分别交于、两点，则，，，又∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，设，，，，∵，，∴，，即，解得，，∴．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．24．如图，在平行四边形中，E是上的一点，且交于点F，求：（1）的值；（2）与的周长比、面积比．【答案】（1）；（2），【分析】（1）由△BEF∽△ADF，推出，又可得，即可解决问题； （2）利用相似三角形的性质即可解决问题.【解析】解：（1）在平行四边形中，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质．25．如图，D为内的一点，E为外的一点，且．求证：（1）；（2）．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【分析】（1）观察图形，由已知的，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得；（2）根据已知的，利用等式的性质，在∠1，∠2的两侧都加上，即可得到，同时再利用第一问已证的，根据相似三角形的对应边成比例得到：，最后利用两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似，即可证得．【解析】证明：（1）∵（已知），∴△ABD∽△CBE（两角对应相等，两三角形相似）；（2）∵，∴，即，由（1）可得：（相似三角形的对应边成比例），∴（两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似）．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，其中判定三角形相似的方法有：①如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．相似三角形的性质主要有：两三角形相似，对应角相等，对应边成比例．解决本题时，一定要善于利用第一问已证的结论，运用已证的结论得到有关的知识为第二问的证明做准备．26．如图，四边形中，平分，E为的中点，连接．（1）求证：；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质解答；（2）根据直角三角形的性质求得，再证明，根据相似三角形的性质计算即可得解．【解析】（1）证明：平分，，又，∴，，；（2），为的中点，，，，，，又∵，∴，，∵，，．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．27．（阅读理解）小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．（解决问题）请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．【答案】；=．【分析】阅读理解：作平行线，证明△FEH∽△FDC和△AEH∽△ABC，列比例式并根据DE=EF、BD=DC，可得结论；解决问题：如图2，作平行线，证明△CDM∽△CHG，得，设DH=CQ=x，则DQ=mx，再证明△AEP≌△ADM，得EP=DM，代入可得结论．【解析】解：【阅读理解】如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，∴△FEH∽△FDC，∴，∵DE=EF，∴，∵BD=DC，∴，同理得：△AEH∽△ABC，∴，∵AB=5，∴AE=；【解决问题】猜想：，理由是：如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，∴△CDM∽△CHG，∴，设DH=CQ=x，则DQ=mx，∴=，∵AD平分∠BAC，∴∠EAP=∠DAM，∵∠EFG+∠EAD=180°，∴∠AEP+∠ANF=180°，∵GH∥DM，∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，∴∠ADM=∠AFP，∵AE=AD，∴△AEP≌△ADM，∴EP=DM，∴．【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．