第4章 图形的相似 北师大版数学九年级上册检测试题(含答案)
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北师大版九年级上册数学第四章检测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（ ）. A. 900cm B. 1000cm C. 1100cm D. 1200cm2.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ） A. = B. = C. = D. = 3.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（ ） A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 204.将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是( ) A. B. C. D. 5.应中共中央总书记胡锦涛的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚渝先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2 ， 若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于（ ）A. 一个篮球场的面积； B. 一张乒乓球台台面的面积； C. 《重庆时报》的一个版面的面积； D. 数学课本封面的面积。6.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，BD长0.5m，且△ADE∽△ABC ， 则梯子的长为（ ） A. 3.5m B. 3.85m C. 4m D. 4.2m7.下列叙述正确的是（ ）A. 所有的矩形都相似 B. 有一个锐角相等的直角三角形相似 C. 边数相同的多边形一定相似 D. 所有的等腰三角形相似8.如图，当小颖从路灯AB的底部A点走到C点时，发现自己在路灯B下的影子顶部落在正前方E处．若AC=4m，影子CE=2m，小颖身高为1.6m，则路灯AB的高为（ ） A. 4.8米 B. 4米 C. 3.2米 D. 2.4米9.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1 ， AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（ ） A. 10 B. 12 C. D. 10.如图2，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ ） A. S△AFD=2S△EFB B. BF=DF C. 四边形AECD是等腰梯形 D. ∠AEB=∠ADC11.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）A. 30厘米、45厘米； B. 40厘米、80厘米； C. 80厘米、120厘米； D. 90厘米、120厘米12.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点 ， ， ．下列说法正确的是（ ） A. △ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0） B. △ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0） C. △ 与△ABC是相似图形，但不是位似图形 D. △ 与△ABC不是相似图形 二、填空题（共6题；共12分）13.如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C.若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为________. 14.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为________．15.若两个相似多边形的周长的比是1：2，则它们的面积比为________ 16.如图，已知点A在反比例函数y= （x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=________． 17.如图，线段AC与BD相交于点O， ，若OA∶OC＝4∶3， 的面积是2，则 的面积等于________．18.如图，点A(2，2 ),N(1，0), ∠AON=60°,点M为平面直角坐标系内一点,且MO=MA,则MN的最小值为________. 三、解答题（共3题；共15分）19.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由． 20.“两个三角形相似，对应点连线经过同一点，那么这两个图形位似”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例． 21.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）． 求证： ． 四、作图题（共1题；共10分）22.如图，△ABC与△A´B´C´是位似图形，且相似比为 . （1）在图中画出位似中心； （2）若 ，求 的长. 五、综合题（共4题；共59分）23.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F． （1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长； （2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．24.小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m． （1）小明距离路灯多远？ （2）求路灯高度． 25.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长． 26.在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将 线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是________．（直接给出结论无须证明） 答 案一、单选题1. D 2. D 3. C 4. B 5. C 6. A 7. B 8. A 9. C 10. A 11.C 12. B 二、填空题13. 2 14.15.1：4 16.16 17.18.三、解答题19. 解答：△ABD∽△CBE ， △ABC∽△DBE ． ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE ， ∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE ， ∴△ABC∽△DBE20.解：命题为真命题． 因为两个三角形相似，对应点连线经过同一点，则利用相似三角形的性质可证明对应边平行或共线，所以那么这两个三角形位似． 21.解：证明． 证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， = ，∴ × × = × × =1 四、作图题22. （1）解：如解图，连接 ， 交于点 ，则点 即为位似中心； （2）解：∵ 与 是位似图形，且相似比为 ， ， ∴ 五、综合题23. （1）解：①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，∴DD′=CD=3．②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF= ∠DCD′=30°，在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF= ，∴D′F= ，∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣ ． （2）解：如图②中，在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，∴A′C2=A′D′2+CD′2 ， ∴A′C=5，A′D=2，∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，∴△A′DF∽△A′D′C，∴ = ，∴ = ，∴DF= ，同理可得△CDE∽△CB′A′，∴ = ，∴ = ，∴ED= ，∴EF=ED+DF= ． （3）解：如图③中，作FG⊥CB′于G．∵四边形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=3，∵S△CEF= •EF•DC= •CE•FG，∴CE=EF，∵AE=EF，∴AE=EF=CE，∴∠ACF=90°，∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴ = ，∴AC2=AD•AF，∴AF= ，∵S△ACF= •AC•CF= •AF•CD，∴AC•CF=AF•CD= ．24. （1）解：设DB=xm，∵AB∥CD ，∴∠QBA=∠QDC ， ∠QAB=∠QCD ，∴△QAB∽△QCD∴ 同理可得 ∵CD=EF∴ ∴ ∴x=12即小明距离路灯12m （2）解：由 得 ∴CD=6即路灯高6m25. （1）证明： 连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线 （2）解：由（1）知：∠BEC=90°， ∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴ = ，∴BC2=BE•BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x= ，即AE= 26. （1）30°（2）① ②思路1：如图2（a），连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAD=60°，∴∠EAB=∠CAD，在△AEB△与ADC中， ，∴△AEB≌△ADC，∴CD=BE；思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=60°，∵DF∥AB，∴∠DFC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DAF=∠EDB，在△ADF与△DEB中， ，∴△ADF≌△DEB，∴DF=BE=CD；思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=60°，∵CD=BG，∴DG=AC，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DAF=∠EDB，在△ADC与△DEG中， ，∴△ADC≌△DEG，∴CD=EG=BG=60°，∴BE=BG=CD； （3）k（BE+BD）=AC
