福建省厦门市集美区蔡林学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份福建省厦门市集美区蔡林学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可判断．
【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟记轴对称图形以及中心对称图形的定义是解题的关键．若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形．
【详解】解：A． 图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
B． 图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C． 图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
3. 若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2更多免费优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【答案】B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
4. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （，7）B. （，）C. （2，）D. （2，7）
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，7），
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由抛物线的顶点式，可以写出顶点坐标．
5. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象平移，掌握平移规律是解题的关键．
6. 某商品原价121元，连续两次降价后售价为100元，下列所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转角的概念找到∠是旋转角，由图即可求出度数．
【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠是旋转角，
由图知，∠=90°，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．
8. 如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为( )

A. 5B. 10C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】如图，连接OA，

∵,
∴，
由垂径定理可得，，
中，，
解得：
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线解题关键．
9. 如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接、，根据圆周角定理可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据等弧所对的圆周角相等和圆周角定理可得，求得，根据等边对等角即可求解．
【详解】解：连接、，如图：

则，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，等弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
二、填空题
11. 若一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为x1，x2，则两根的和x1＋x2＝_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， ，代入求值即可．
【详解】 的两根分别为x1，x2，，
故答案为：6
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系， 牢记，理解用字母表示一元二次方程未知数系数的意义是解题关键．
12. 点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13. 抛物线经过点，，则与的大小是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵抛物线经过点，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案．
【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15. 如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
【答案】1
【解析】
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
16. 如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，若，则的最小值为______．

【答案】1
【解析】
【分析】在上截取，作于，如图，先计算出，，，则，再在中计算出，，接着证明≌得到，然后利用勾股定理得到，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：在上截取，作于，如图，

，，
，，，
，
在中，，，
线段绕点顺时针旋转至，
，，
，
在和中
，
≌，
，
在中，，
当时，有最小值，
的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．构建与全等是解决此题的关键．
三、解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
，
∴，；
【小问2详解】
解：
，
∴，．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
18. 已知抛物线经过点A(－2，－8).
（1）求的值,
（2）若点P(，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.
【答案】（1）;(2)
【解析】
【详解】试题分析：（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2即可求出a的值；
（2）将P（m，﹣6）代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得到点P的坐标．
试题解析：解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2，可得4a=﹣8，即a=﹣2；
（2）∵a=﹣2，∴y=﹣2x2，将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2，得﹣6=﹣2m2，解得m=± ，则点P的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式．
19. 如图，方格纸中每个小正方形边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的△．
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，点的坐标为（-4，-2）．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的△；
（2）根据中心对称的性质即可画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，进而可以写出点的坐标．
【小问1详解】
解：如图，△即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，△即为所求；
点的坐标为（-4，-2）．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
20. 如图，四边形内接于，为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明；
（2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可；
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，
证明过程如下：
为的直径，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形，
，
，
中，，，则，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
21. 某服装店的销售中发现：进货价为每件50元．销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降低1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
（2）求降价多少元利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）20 （2）15， 1250
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系正确列出一元二次方程即可求解．
（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润乘以销售量等于总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后化成顶点式即可求解．
【小问1详解】
解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件．
依题意得：
=1200，
整理得：，
解得：，，
∵要顾客得到较多的实惠，
∴．
则每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又使顾客得到较多的实惠．
【小问2详解】
设每天盈利为元，每件降价元，则，
整理得：，
化为顶点式为：，
∵，抛物线开口向下，
∴当时y有最大值1250．
故每件降价15元时，取的最大利润1250元．
22. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
【答案】（1）
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案.
【小问1详解】
解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线：
把代入抛物线的解析式得：

解得：
所以抛物线为：
【小问2详解】
解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，
而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键.
23. 如图，O是等边ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将BAO绕点B顺时针旋转后得到BCD，连接OD．
（1）求线段OD的长；
（2）求∠BDC的度数．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得，从而有， 进而证明是等边三角形即可得；
（2）先由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，再由是等边三角形得，即可求得 ．
【小问1详解】
解： 将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
，
，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
．
【小问2详解】
解：，，，
，
，
是直角三角形，，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转图形的性质、等边三角形的判定及性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
24. 如图，四边形是⊙O的内接四边形，且对角线经过⊙O的圆心O，过点A作，与的延长线交于点E，且平分．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再根据角平分线的定义得到，然后利用等角的余角相等得到结论；
（2）过O点作于H点，连接，如图，根据垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，接着证明四边形OAEH为矩形得到，，所以，然后利用勾股定理可计算出的长．
【小问1详解】
证明：为直径，
，
，
，
，
平分，
，
，
即；
【小问2详解】
解：过O点作于H点，连接，如图，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补及圆周角定理是解题的关键．
25. 综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】（1）①3；②
（2），
（3）①4；②
【解析】
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【小问1详解】
解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
【小问3详解】
解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．