高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案及答案

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1. 直线与圆，圆心到直线的距离
（1）；
（2）；
（3）；弦长|AB|=2
2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：
（1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；
2. 两圆的位置关系
1.设两圆与圆，
圆心距
；
；
；
；
；
外离 外切 相交 内切 内含
3.切线问题
1. 过一点作圆的切线的方程：
(1) 过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即：
例1. 经过点P(1，-2)点作圆(x+1)2+(y-2)2=4的切线，则切线方程为 或
(2) 过圆上一点的切线方程：
圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，设切线方程上某点坐标为，
则过此点的切线方程为：
， 则过此点的切线方程也可为：
特别地，过圆上一点的切线方程为.
例2.经过点P(-4，-8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为
2.切点弦
过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
3.切线长：
若圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长为 d=
4.圆心的三个重要几何性质：
圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
圆心在某一条弦的中垂线上；
两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
3.两圆公共弦所在直线方程
圆：，
圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
①若与相切，则表示其中一条公切线方程；
②若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
4.圆系问题
1．过直线与圆的交点的圆系方程是：
（）
2．以为圆心的同心圆系方程是：；
3．与圆同心的圆系方程是；
4．过同一定点的圆系方程是．
补充：
①上述圆系不包括；
②当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
③过直线与圆交点的
圆系方程为
类型一：直线与圆的位置关系
例1．已知P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，试判断直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系．
例2．已知直线与曲线.
（1）求证：不论为何值，直线和曲线恒有两个交点；
（2）求当直线被曲线所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.
举一反三：
【变式1】若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知直线：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4，圆C：(x―1)2+(y―2)2=25，
则m为任意实数时，与C是否必相交？
类型二：切线问题
例3．过点A（4，―3）作圆C：(x―3)2+(y―1)2=1的切线，求此切线方程．
举一反三：
【变式1】已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=4，直线l1过定点A（1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
类型三：弦长问题
例4．直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程．
举一反三：
【变式1】已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．
类型四：圆与圆的位置关系
例5．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？
举一反三：
【变式1】当a为何值时，圆C1：x2+y2―2ax+4y+(a2―5)=0和圆C2：x2+y2+2x―2ay+(a2―3)=0相交．
【变式2】已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
类型五：最值问题
例6．已知实数x、y满足方程x2+y2―4x+1=0，求：（1）的最大值；（2）y―x的最小值．
举一反三：
【变式1】已知实数x，y满足，求(1)x2+y2的最大值；(2)x+y的最小值．
【变式2】直线与圆相交于A、B两点（其中a、b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
类型六：圆系问题
例7．求过两圆x2+y2+6x―4=0和x2+y2+6y―28=0的交点，且圆心在直线x―y―4=0上的圆的方程．
举一反三：
【变式1】已知圆M经过圆与圆的交点，
（Ⅰ）若圆心在直线x―2y―3=0上，求圆M的方程
（Ⅱ）若圆的面积最小，求圆M的方程．
【巩固练习】
1．已知圆C：x2+(y―2)2=5，直线l：mx―y+1=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
2．已知两圆，．
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
3．已知圆C：x2+(y―1)2=5，直线：mx―y+1―m=0，
（1）求证：对任意m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点．
（2）设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程；
直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
1. 直线与圆，圆心到直线的距离
（1）；
（2）；
（3）；弦长|AB|=2
2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：
（1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；
2. 两圆的位置关系
1.设两圆与圆，
圆心距
；
；
；
；
；
外离 外切 相交 内切 内含
3.切线问题
1. 过一点作圆的切线的方程：
(1) 过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即：
例1. 经过点P(1，-2)点作圆(x+1)2+(y-2)2=4的切线，则切线方程为 或
(2) 过圆上一点的切线方程：
圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，设切线方程上某点坐标为，
则过此点的切线方程为：
， 则过此点的切线方程也可为：
特别地，过圆上一点的切线方程为.
例2.经过点P(-4，-8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为
2.切点弦
过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
3.切线长：
若圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长为 d=
4.圆心的三个重要几何性质：
圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
圆心在某一条弦的中垂线上；
两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
3.两圆公共弦所在直线方程
圆：，
圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
①若与相切，则表示其中一条公切线方程；
②若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
4.圆系问题
1．过直线与圆的交点的圆系方程是：
（）
2．以为圆心的同心圆系方程是：；
3．与圆同心的圆系方程是；
4．过同一定点的圆系方程是．
补充：
①上述圆系不包括；
②当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
③过直线与圆交点的
圆系方程为
类型一：直线与圆的位置关系
例1．已知P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，试判断直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系．
【解析】 ∵点P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，∴．
又圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离为：，且，
∴，∴，即d＞R．∴直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2相离．
例2．已知直线与曲线.
（1）求证：不论为何值，直线和曲线恒有两个交点；
（2）求当直线被曲线所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.
【证明】（1）证法一：将直线与曲线C的方程联立得：，
消去y得(1+k2)x2―2(4k2+k+3)x+2(8k2+4k+3)=0． ③
∵Δ=4(4k2+k+3)2―8(1―k2)(8k+4k+3)=12k2―8k+12=，
∴方程③有两相异实根，从而，由①②组成的方程组有两组解，即直线与曲线C恒有两个交点．
证法二：将曲线C的方程配方得(x―3)2+(y―4)2=4，它表示以C（3，4）为圆心，2为半径的圆．
设圆心C到直线的距离为d，则：，
即，∴直线与曲线C恒有两个交点．
证法三：注意到直线：kx―y―4k+3=0可化为y―3=k(x―4)，
可知直线恒过定点A（4，3）．
∵曲线C是以C（3，4）为圆心，2为半径的圆，（见“证法二”）
又42+32－6×4－8×3+21＜0，即点A在圆C内，∴直线与曲线C恒有两个交点．
（2）设直线被曲线C所截的线段为AB，当PQAB时，最小，直线PQ的斜率，
所以直线AB的斜率，其方程为：
举一反三：
【变式1】若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】曲线方程可化简为，
即表示圆心为（2,3），半径为2的半圆，依据数形结合，
当直线与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线距离等于2，
解得或，因为是下半圆，故可得（舍），
当直线过（0,3）时，解得，故
【变式2】已知直线：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4，圆C：(x―1)2+(y―2)2=25，
则m为任意实数时，与C是否必相交？
【答案】相交
类型二：切线问题
例3．过点A（4，―3）作圆C：(x―3)2+(y―1)2=1的切线，求此切线方程．
【解析】∵(4―3)2+(―3―1)2=17＞1，∴点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y+3=k(x―4)．
因为圆心C（3，1）到切线的距离等于半径1，所以，解得．
所以切线方程为，即15x+8y―36=0．
②若切线斜率不存在，圆心C（3，1）到直线x=4的距离也为1，这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是x=4，
综上，所求切线方程为15x+8y―36=0或x=4．
举一反三：
【变式1】已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=4，直线l1过定点A（1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
【解析】（1）①若直线l1的斜率不存，则直线l1：x=1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x―1)，即kx―y―k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，
即：，解之得．
所求直线l1的方程是x=1或3x―4y―3=0．
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx―y―k=0，
则圆心到直线l1的距离
又∵三角形CPQ面积
∴当时，S取得最大值2．
∴，k=1或k=7．
∴直线方程为y=x―1，或y=7x―7．
类型三：弦长问题
例4．直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程．
【解析】根据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为y―5=k(x―5)
圆心（0，0）到直线的距离，在由弦长的一半、半径和距离构成的直角三角形中，
，解得或k=2
故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．
举一反三：
【变式1】已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．
【解析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，0），依题意，有，
即，解得a=2，
所以圆C的方程为．
（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=1符合题意．
设直线l方程为y―2=k(x―1)，
即kx―y―k+2=0，则，解得，
所以直线l的方程为，即3x+4y―11=0．
综上，直线l的方程为x―1=0或3x+4y－11=0．
类型四：圆与圆的位置关系
例5．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？
【解析】 对于圆C1，圆C2的方程，配方得
C1：(x―m)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+(y―m)2=4．
（1）如果圆C1与圆C2相外切，则有，即
(m+1)2+(m+2)2=25，m2+3m―10=0，
解得m=―5或m=2．
（2）如果圆C1与圆C2内含，则有，即
(m+1)2+(m+2)2＜1，m2+3m+2＜0，解得―2＜m＜―1．
故（1）当m=―5或m=2时，圆C1与圆C2相外切；（2）当―2＜m＜―1时，圆C1与圆C2内含．
举一反三：
【变式1】当a为何值时，圆C1：x2+y2―2ax+4y+(a2―5)=0和圆C2：x2+y2+2x―2ay+(a2―3)=0相交．
【答案】当―5＜a＜―2或―1＜a＜2时，圆C1与圆C2相交
【变式2】已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
【解析】设两圆交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），
则A、B两点坐标是方程组的解，①―②得3x―4y+6=0．
∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x―4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心为（―1，3），半径r=3．
又C1到直线AB的距离为．
∴，即两圆的公共弦长为．
类型五：最值问题
例6．已知实数x、y满足方程x2+y2―4x+1=0，求：（1）的最大值；（2）y―x的最小值．
【解析】（1）设，即是圆上的点P与原点O连线的斜率．
由图知，直线y=kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值．
此时有OP⊥PM，，|OM|=2，∴∠POM=60°
此时，∴的最大值为．
（2）设y―x=b，则y=x+b，b是直线y=x+b在y轴上截距．
由图知，当直线y=x+b和圆M在第四象限相切时，b（b＜0）取最小值，
此时有，解得，∴y―x的最小值是．
举一反三：
【变式1】已知实数x，y满足，求(1)x2+y2的最大值；(2)x+y的最小值．
【答案】（1）16 （2）
【解析】
于是(x，y)可以看作是以为圆心，2为半径的圆上的点．
如图
（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，
由图显然最大为2r=4，所以x2+y2的最大值为16．
（2）解法同例6（2）．
【变式2】直线与圆相交于A、B两点（其中a、b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A 【解析】由题得，点O到直线的距离是，即，
∴，① 设点P(a，b)与点（0，1）的距离为d，则
由①知．所以．
类型六：圆系问题
例7．求过两圆x2+y2+6x―4=0和x2+y2+6y―28=0的交点，且圆心在直线x―y―4=0上的圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为：x2+y2+6x―4+(x2+y2+6y―28)=0，
即．
∵圆心为，且在直线x―y―4=0上，
∴．
故所求的圆的方程为x2+y2―x+7y―32=0．
举一反三：
【变式1】已知圆M经过圆与圆的交点，
（Ⅰ）若圆心在直线x―2y―3=0上，求圆M的方程
（Ⅱ）若圆的面积最小，求圆M的方程．
【解析】（Ⅰ）设所求圆
即，
其圆心为代入直线x―2y―3=0得λ=2，所以所求为
即为所求．
（2）∵圆的面积最小，∴圆M以已知两相交圆的公共弦为直径
相交弦的方程为x―y+4=0，将圆心为代入x―y+4=0
得，所以所求圆
即为．
【巩固练习】
1．已知圆C：x2+(y―2)2=5，直线l：mx―y+1=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
1.【解析】（1）证明：∵直线l：mx―y+1=0经过定点D（0，1），
点D到圆心（0，2）的距离等于1小于圆的半径，
故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）设中点M的坐标为（x，y），则由直线和圆相交的性质可得AB⊥CM．
由于定点D（0，1）、圆心C、点M构成直角三角形，由勾股定理得
CM2+DM2=CD2，∴x2+(y―2)2+x2+(y―1)2=(2―1)2，
2x2+2y2―6y+4=0，即．此圆在圆C：x2+(y―2)2=5的内部，
故点M的轨迹方程为：．
2．已知两圆，．
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
2．【解析】（1）由已知可得两个圆的方程分别为，，
两圆的圆心距，两圆的半径之和为，
由两圆的半径之和为，可得．
（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，
即，可得（舍去），
或，解得．
（3）当m=45时，两圆的方程分别为，，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y―23=0．
第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为
，可得弦长为．
3．已知圆C：x2+(y―1)2=5，直线：mx―y+1―m=0，
（1）求证：对任意m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点．
（2）设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程；
3.【解析】（1）由已知直线：y―1=m(x－1 )，知直线恒过定点P（1，1）．
∵12=1＜5，∴P点在圆C内．
则直线与圆C总有两个不同的交点．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则x1、x2为方程组的两个实根，
∵，∴，
∴m2=3，．∴的倾斜角或．
（3）∵C（0，1）、P（1，1），|CM|2+|PM|2=|CP|2，
设M（x，y），∴x2+(y―1)2+(x―1)2+(y―1)2=1．
整理得轨迹方程为：x2+y2―x―2y+1=0（x≠1）．