高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案，共16页。

，其中为圆心，为半径.
要点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
要点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.
要点诠释：
由方程得
(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.
要点四：几种特殊位置的圆的方程
要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.
(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
要点六：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
类型一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；
(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；
(3)经过点，圆心在点．
举一反三：
【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）
A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10
C．(x―4)2+(y+1)2=100 D．
例2．求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；
（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．
举一反三：
【变式1】（1）过点且圆心在直线上；
（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．
类型二：圆的一般方程
例3．已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求这个圆的圆心和半径；
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
举一反三：
【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；
（2）求经过点且与直线相切于点B（8，6）的圆的方程．
【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．
【变式3】方程表示圆，则a的取值范围是
A．或 B． C． D．
例4．（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程；
（2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．
举一反三：
【变式1】如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．
类型三：点与圆的位置关系
例5．点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________．
类型四：轨迹问题
例6．已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．
例7．已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．
圆的方程
要点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
要点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
要点三：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.
要点诠释：
由方程得
(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.
要点四：几种特殊位置的圆的方程
要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.
(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
要点六：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．
类型一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；
(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；
(3)经过点，圆心在点．
【解析】(1)
(2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，
所以半径为 ，所以圆的方程为.
(3)∵圆的半径，圆心在点
∴圆的方程是
举一反三：
【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）
A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10
C．(x―4)2+(y+1)2=100 D．
【答案】A
例2．求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；
（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．
【解析】（1）∵圆心在直线y=0上，∴设圆心坐标为C（a，0），
则|AC|=|BC|，即，即 ，
解得a=―1，即圆心为（―1，0），半径，
则圆的标准方程为：，
（2）设圆心坐标为（a，b），则
解得a=1，b=－2，∴，∴要求圆的方程为 ．
举一反三：
【变式1】（1）过点且圆心在直线上；
（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．
【解析】（1）设圆的方程为：，则
，解得：
所求圆的方程为：
（2）设圆的方程为：，则
解得：或
所求圆的方程为：或．
类型二：圆的一般方程
例3．已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求这个圆的圆心和半径；
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．
【解析】（1）已知方程表示一个圆D2+E2―4F＞0，即4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)＞0，
整理得7t2―6t―1＜0．
（2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t2)]2=1+6t―7t2．
∴它的圆心坐标为（t+3，4t2－1），半径为．
（3）由．
∴r的最大值为，此时圆的标准方程为：．
举一反三：
【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；
（2）求经过点且与直线相切于点B（8，6）的圆的方程．
【解析】（1）设圆的方程为：，则
，解得：
所以所求圆的方程为：，
即，所以圆心为（4，1），半径为．
（2）法一：设圆的方程为：，则
，解得：
所以圆的方程为．
法二：过点与直线垂直的直线是，
线段的中垂线为，
由得：圆心坐标为，由两点间距离公式得半径，
所以圆的方程为．
【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．
【答案】表示圆，圆心坐标，半径
【变式3】方程表示圆，则a的取值范围是
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为，所以若方程表示圆，则有，∴ ，∴ ．
例4．（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程；
（2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．
【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有
，解得．
故所求的圆的方程为x2+y2―4x―2y―20=0．
解法二：由题意可求得AC的中垂线的方程为x=2，BC的中垂线方程为x+y―3=0．
∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径，
∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即x2+y2―4x―2y―20=0．
（2）如图，由于圆C在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|=|FC|．设C（a，b），则|a|=|b|． ①
又圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），∴圆心在PQ的垂直平分线上，
即，即y=3x+4，∴b=3a+4． ②
由①知a=±b，代入②得或．
∴或5．
故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．
即x2+y2+2x―2y―3=0或x2+y2+4x+4y―17=0．
举一反三：
【变式1】如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．
【答案】，，
类型三：点与圆的位置关系
例5．点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________．
【答案】（－∞，1）【解析】∵点（a+1，a―1）在圆的内部（不包括边界），
∴ ，整理得：a＜1．故答案为：（－∞，1）．
类型四：轨迹问题
例6．已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．
【解析】（1）曲线C上的任意一点为Q（x，y），
由题意得
（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，―2），
故可设PB：y+2=k（x―1），由
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，
同理，，所以
故直线BC的斜率为定值．
例7．已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．
【解析】 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x＇，y＇），
则且，即x＇=2x―4，y＇=2y．
又P点在圆x2+y2=4上，∴x＇2+y＇2=4，
将x＇=2x―4且y＇=2y代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y2=1．
故所求的轨迹方程为(x―2)2+y2=1．条件
方程形式
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
与x轴相切
与y轴相切
条件
方程形式
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
与x轴相切
与y轴相切