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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计，共22页。学案主要包含了直线的交点，过两条直线交点的直线系方程，距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离，两平行直线间的距离等内容，欢迎下载使用。
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点二、过两条直线交点的直线系方程
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
要点三、距离公式
两点间的距离公式为：.
要点四、点到直线的距离公式
点到直线的距离为：.
要点五、两平行线间的距离
两平行线间的距离为：.
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1．是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．
举一反三：
【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围．
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．
举一反三：
【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
类型三、对称问题
例3．已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．
举一反三：
【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（ ）
A．―2，2 B．2，―2 C． D．
例4．在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
举一反三：
【变式1】已知点M（3，5），在直线：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
类型四、两点间的距离
例5．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．
举一反三：
【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，
求A、B两点的距离．
例6．已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值．
举一反三：
【变式1】试求的最小值．
类型五、点到直线的距离
例7．已知直线：和直线：相交于点P（m∈R）．
（1）用m表示直线与的交点P的坐标；
（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．
举一反三：
【变式1】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．
【变式2】已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．
（1）求动点P到直线距离的最小值；
（2）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为，求满足条件的实数a的取值．
【解析】（1）由点到直线的距离公式可得：，
当且仅当时距离取得最小值．
（2）设点，则，
设，则，
设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），对称轴为t=a
分两种情况：
（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值
∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．
（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，
∴t=a时，f（t）取最小值，
∴，∴（舍）．
综上所述，a=―1或．
类型六、两平行直线间的距离
例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．
举一反三：
【变式1】已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是．
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到3的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．
直线的交点坐标与距离公式
要点一、直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点二、过两条直线交点的直线系方程
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
要点三、距离公式
两点间的距离公式为：.
要点四、点到直线的距离公式
点到直线的距离为：.
要点五、两平行线间的距离
两平行线间的距离为：.
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1．是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．
【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．
（1）当时，，即a=±1．
（2）当时，―a=―1，即a=1．
（3）当时，，即a=1．
（4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．
故当a≠1且a≠－1且a≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．
举一反三：
【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围．
【解析】解得，所以，解得．
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．
【解析】设所求的直线为，由方程组得．
∵直线和直线3x+y―1=0平行，∴直线的斜率k=―3．
∴根据点斜式有，
即所求直线方程为15x+5y+16=0．
举一反三：
【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．
解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．
将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．
证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0．
由于m取值的任意性，有，解得．
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．
类型三、对称问题
例3．已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．
【解析】 解法一：由，得直线1与的交点为P（3，―2），显然P也在直线2上．
在直线1上取一点A（2，0），又设点A关于直线的对称点为B（x0，y0），则，解得．故由两点式可求得直线2的方程为2x+11y+16=0．
解法二：设直线2上一动点M（x，y）关于直线的对称点为，则：
，解得．
显然在1上，故，
即2x+11y+16=0，这便是所求的直线2的方程．
举一反三：
【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（ ）
A．―2，2 B．2，―2 C． D．
【答案】B【解析】点P（―1，1），关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），
∴PQ的中点为（1，0），．
∴，解得：a=2，b=－2．
例4．在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
【解析】（1）如图1所示，设点B关于的对称点B＇的坐标为（a，b），
，即，
∴a+3b－12=0． ①
又由于BB＇的中点坐标为，且在直线上，
∴，即3a―b―6=0． ②
解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）．
于是直线AB＇的方程为，即2x+y－9=0．
解由的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即与AB＇的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）．
（2）如图2所示，设C关于的对称点为C＇，求出C＇的坐标为．
∴AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0．
AC＇和交点坐标为．
故P点坐标为．
举一反三：
【变式1】已知点M（3，5），在直线：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
【解析】由点及直线，可求得点关于的对称点．
同样容易求得点关于轴的对称点．
据及两点可得到直线的方程为，
解方程组，得交点，令，得到与轴的交点．
类型四、两点间的距离
例5．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．
【解析】 设直线与直线1、2分别交于点A（x1，y1）、B（x2、y2），
则，两方程相减，得(x1―x2)+(y1―y2)=5， ①
由已知及两点间距离公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25， ②
由①②解得或，又点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线上，
因此直线的斜率为0或不存在，又直线过点P（3，1），所以直线的方程为y=1或x=3．
举一反三：
【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，
求A、B两点的距离．
【答案】
例6．已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值．
【解析】 将函数表达式变形为：，可以看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小．
∵
．
它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，
可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．
∴的最小值为．
再由直线方程的两点式得的方程为3x―y―4=0．令y=0，得．
∴当时，的最小值为．
举一反三：
【变式1】试求的最小值．
【解析】，
它表示点P（x，0）到点A（―1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，
即在x轴上求一点P（x，0）与点A（―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．
可转化为求两点A＇（―1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．
∴的最小值为．
类型五、点到直线的距离
例7．已知直线：和直线：相交于点P（m∈R）．
（1）用m表示直线与的交点P的坐标；
（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．
【解析】（1）解方程组，得x=3m，，
∴直线与的交点P的坐标为．
（2）设点P到直线x+y+3=0的距离为d，
，
∴当m=―1时，即P点坐标为（―3，2）时，
点P到直线x+y+3=0的距离最短，最短距离为．
举一反三：
【变式1】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．
【答案】
【解析】法一：直线过AB的中点（1，1），所以的方程为．
直线，则设的方程为
则，所以的方程为：
法二：由题意知直线的斜率存在，设的方程为，
则A、B两点到直线的距离
解得：
所以的方程为：和
【变式2】已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．
（1）求动点P到直线距离的最小值；
（2）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为，求满足条件的实数a的取值．
【解析】（1）由点到直线的距离公式可得：，
当且仅当时距离取得最小值．
（2）设点，则，
设，则，
设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），对称轴为t=a
分两种情况：
（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值
∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．
（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，
∴t=a时，f（t）取最小值，
∴，∴（舍）．
综上所述，a=―1或．
类型六、两平行直线间的距离
例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．
【解析】（1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为1：y―2=k(x―6)，2：y+1=k(x+3)，
即1：kx―y―6k+2=0，2：kx―y+3k―1=0．
∴，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0．
∵k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即且d≠9．
综合①②可知，所求的d的变化范围为．
（2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而，
∴所求的直线的斜率为―3．
故所求的直线方程分别为y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0．
举一反三：
【变式1】已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是．
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到3的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．
【解析】（1）直线2即，1与2的距离，解得．
（2）能找到点P，使得P点同时满足三个条件．设点P，若P点满足条件②，
则P点在1、2平行的直线，
且，即或
或；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有：，
或
由P在第一象限，所以不可能．
联立方程，解得，应舍去．
由，解之得
即为同时满足三个条件的点．
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点二、过两条直线交点的直线系方程
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
要点三、距离公式
两点间的距离公式为：.
要点四、点到直线的距离公式
点到直线的距离为：.
要点五、两平行线间的距离
两平行线间的距离为：.
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1．是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．
举一反三：
【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围．
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．
举一反三：
【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
类型三、对称问题
例3．已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．
举一反三：
【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（ ）
A．―2，2 B．2，―2 C． D．
例4．在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
举一反三：
【变式1】已知点M（3，5），在直线：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
类型四、两点间的距离
例5．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．
举一反三：
【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，
求A、B两点的距离．
例6．已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值．
举一反三：
【变式1】试求的最小值．
类型五、点到直线的距离
例7．已知直线：和直线：相交于点P（m∈R）．
（1）用m表示直线与的交点P的坐标；
（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．
举一反三：
【变式1】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．
【变式2】已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．
（1）求动点P到直线距离的最小值；
（2）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为，求满足条件的实数a的取值．
【解析】（1）由点到直线的距离公式可得：，
当且仅当时距离取得最小值．
（2）设点，则，
设，则，
设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），对称轴为t=a
分两种情况：
（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值
∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．
（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，
∴t=a时，f（t）取最小值，
∴，∴（舍）．
综上所述，a=―1或．
类型六、两平行直线间的距离
例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．
举一反三：
【变式1】已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是．
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到3的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．
直线的交点坐标与距离公式
要点一、直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
要点二、过两条直线交点的直线系方程
过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
要点三、距离公式
两点间的距离公式为：.
要点四、点到直线的距离公式
点到直线的距离为：.
要点五、两平行线间的距离
两平行线间的距离为：.
【典型例题】
类型一、判断两直线的位置关系
例1．是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．
【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．
（1）当时，，即a=±1．
（2）当时，―a=―1，即a=1．
（3）当时，，即a=1．
（4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．
故当a≠1且a≠－1且a≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．
举一反三：
【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围．
【解析】解得，所以，解得．
类型二、过两条直线交点的直线系方程
例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．
【解析】设所求的直线为，由方程组得．
∵直线和直线3x+y―1=0平行，∴直线的斜率k=―3．
∴根据点斜式有，
即所求直线方程为15x+5y+16=0．
举一反三：
【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．
解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．
将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．
证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0．
由于m取值的任意性，有，解得．
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．
类型三、对称问题
例3．已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．
【解析】 解法一：由，得直线1与的交点为P（3，―2），显然P也在直线2上．
在直线1上取一点A（2，0），又设点A关于直线的对称点为B（x0，y0），则，解得．故由两点式可求得直线2的方程为2x+11y+16=0．
解法二：设直线2上一动点M（x，y）关于直线的对称点为，则：
，解得．
显然在1上，故，
即2x+11y+16=0，这便是所求的直线2的方程．
举一反三：
【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（ ）
A．―2，2 B．2，―2 C． D．
【答案】B【解析】点P（―1，1），关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），
∴PQ的中点为（1，0），．
∴，解得：a=2，b=－2．
例4．在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
【解析】（1）如图1所示，设点B关于的对称点B＇的坐标为（a，b），
，即，
∴a+3b－12=0． ①
又由于BB＇的中点坐标为，且在直线上，
∴，即3a―b―6=0． ②
解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）．
于是直线AB＇的方程为，即2x+y－9=0．
解由的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即与AB＇的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）．
（2）如图2所示，设C关于的对称点为C＇，求出C＇的坐标为．
∴AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0．
AC＇和交点坐标为．
故P点坐标为．
举一反三：
【变式1】已知点M（3，5），在直线：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．
【解析】由点及直线，可求得点关于的对称点．
同样容易求得点关于轴的对称点．
据及两点可得到直线的方程为，
解方程组，得交点，令，得到与轴的交点．
类型四、两点间的距离
例5．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．
【解析】 设直线与直线1、2分别交于点A（x1，y1）、B（x2、y2），
则，两方程相减，得(x1―x2)+(y1―y2)=5， ①
由已知及两点间距离公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25， ②
由①②解得或，又点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线上，
因此直线的斜率为0或不存在，又直线过点P（3，1），所以直线的方程为y=1或x=3．
举一反三：
【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，
求A、B两点的距离．
【答案】
例6．已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值．
【解析】 将函数表达式变形为：，可以看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小．
∵
．
它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，
可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．
∴的最小值为．
再由直线方程的两点式得的方程为3x―y―4=0．令y=0，得．
∴当时，的最小值为．
举一反三：
【变式1】试求的最小值．
【解析】，
它表示点P（x，0）到点A（―1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，
即在x轴上求一点P（x，0）与点A（―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．
可转化为求两点A＇（―1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值．
∴的最小值为．
类型五、点到直线的距离
例7．已知直线：和直线：相交于点P（m∈R）．
（1）用m表示直线与的交点P的坐标；
（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．
【解析】（1）解方程组，得x=3m，，
∴直线与的交点P的坐标为．
（2）设点P到直线x+y+3=0的距离为d，
，
∴当m=―1时，即P点坐标为（―3，2）时，
点P到直线x+y+3=0的距离最短，最短距离为．
举一反三：
【变式1】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．
【答案】
【解析】法一：直线过AB的中点（1，1），所以的方程为．
直线，则设的方程为
则，所以的方程为：
法二：由题意知直线的斜率存在，设的方程为，
则A、B两点到直线的距离
解得：
所以的方程为：和
【变式2】已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．
（1）求动点P到直线距离的最小值；
（2）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为，求满足条件的实数a的取值．
【解析】（1）由点到直线的距离公式可得：，
当且仅当时距离取得最小值．
（2）设点，则，
设，则，
设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），对称轴为t=a
分两种情况：
（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值
∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．
（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，
∴t=a时，f（t）取最小值，
∴，∴（舍）．
综上所述，a=―1或．
类型六、两平行直线间的距离
例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．
【解析】（1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为1：y―2=k(x―6)，2：y+1=k(x+3)，
即1：kx―y―6k+2=0，2：kx―y+3k―1=0．
∴，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0．
∵k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即且d≠9．
综合①②可知，所求的d的变化范围为．
（2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而，
∴所求的直线的斜率为―3．
故所求的直线方程分别为y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0．
举一反三：
【变式1】已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是．
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到3的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．
【解析】（1）直线2即，1与2的距离，解得．
（2）能找到点P，使得P点同时满足三个条件．设点P，若P点满足条件②，
则P点在1、2平行的直线，
且，即或
或；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有：，
或
由P在第一象限，所以不可能．
联立方程，解得，应舍去．
由，解之得
即为同时满足三个条件的点．
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