广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高二上学期数学周测试卷2

这是一份广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高二上学期数学周测试卷2，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知空间直角坐标系中的点，，关于平面的对称点为，则的值为
A．B．4C．6D．
2．在空间直角坐标系中，若a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，则a+b=（ ）
A．5 B．7 C．11 D．13
3．已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ）
A．4B．-4C．5D．-5
4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置是（ ）
A． B． C．或 D．
5．如图，在平行六面体中，，，．点在上，且，则
A． B． C． D．
6．直四棱柱的棱长均为2，且，则
A． B．4 C． D．
7．如图，在正方体中，，若点在侧面（不含边界）内运动，，且点到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是
A． B． C． D．
8．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0
B．“a−b=a+b”是“a,b共线”的充要条件
C．若a,b共线，则a与b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
10．已知向量a=1,1,−1，b=2,−1,0，c=0,1,−2，则下列结论正确的是（ ）
A．a⋅b+c=4 B．a−b⋅b−c=−8
C．记a与b−c的夹角为θ，则csθ=13 D．若a+λb⊥c，则λ=3
11．对于任意非零向量，，以下说法错误的有
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则为单位向量
12．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= .
14．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________..
15．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则λ=___________.
16．设是单位向量，且，则的最小值为__________．
四、解答题
17如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试用表示，，
18．已知点A−2，0，2、B−1，1，2、C−3，0，4，a=AB，b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求c；
(2)求csa，b；
(3)若ka+b与ka−2b垂直，求k．
19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
求证：（1）共面；
（2）求证：．

20.已知空间内三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a与向量AB,AC都垂直,且|a|=3,求向量a的坐标.
21.如图，三棱锥中的三条棱，，两两互相垂直，，点满足．
（1）证明：平面．
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．
22．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题．
问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，0，，为棱上的动点，为棱上的动点，_____，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1． 2．B 3．D 4．A 5． 6． 7． 8．C
二、多选题
9．BCD 10．ABD. 11．BD. 12．ABD.
三、填空题
13．2. 14．—1 15． 16．
四、解答题
17.连接BO，
则＝＝(＋)＝(＋＋)＝＝；
＝＋＝＋＝＋(＋)＝；
＝＋＝＋＋(＋)＝；
18．（1）∵B−1，1，2、C−3，0，4，∴BC=−2，−1，2，∵c=3，且c//BC，
∴设c=−2λ，−λ，2λ，且(−2λ)2+(−λ)2+(2λ)2=9，
解得λ=±1，∴c=−2，−1，2或c=2，1，−2；
（2）∵A−2，0，2、B−1，1，2、C−3，0，4，a=AB，b=AC，
∴a=1，1，0，b=−1，0，2，
∴csa，b=a·ba·b=−12×5=−1010；
（3）∵ka+b=k−1，k，2，ka−2b=k+2，k，−4，
又ka+b与ka−2b垂直，
∴ka+b⋅ka−2b=k−1k+2+k2−8=0，
解得k=−52或k=2．
19．证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.
（2），

．
20.(1)∵AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),
∴cs∠BAC=AB·AC|AB||AC|=714×14=12,
∴∠BAC=60°,
∴S=|AB||AC|sin60°=73.
(2)设a=(x,y,z).由a⊥AB, 得-2x-y+3z=0, 由a⊥AC,得x-3y+2z=0,
由|a|=3,得x2+y2+z2=3, ∴x=y=z=1或x=y=z=-1.
∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
21.（1）证明：三棱锥中的三条棱，，两两互相垂直，
平面，平面，，
设，，点满足，，，
，
，，
，、平面， 平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，0，，，0，，，0，，
，，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则异面直线与所成角的余弦值为：
．
22．由题意，正方体的棱长为2，
则，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，
设，，，，2，，
则，，
则，，
若选择①：，
则，
所以，故，
若，则，解得，
故存在点，1，，，2，使得，
此时；
若选②：，则，解得，
若，则，解得，
故存在点，使得，
此时；
若选③：，则与不共线，
所以，即，
所以，
故不存在点，使得．