2023-2024学年辽宁省大连市瓦房店市九年级上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市瓦房店市九年级上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共13页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是，对于抛物线下列说法等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
2．本试卷共八大题，25小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．已知一元二次方程有一个根为1，k的值为（）
A．－2B．2C．－4D．4
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向上B．当x＝2时，y有最小值是3
C．对称轴是直线x＝2D．顶点坐标是（－2，3）
3．如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝40°，则∠AOB等于（）
第3题
A．40°B．50°C．80°D．100°
4．将二次函数的图象向下平移一个单位，则平移后的二次函数解析式为（）
A．B．C．D．
5．电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
6．一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不等实数根D．无法确定
7．如图，在同一平面内，将△ABC绕A点旋转到△AED的位置，若AE⊥BC，∠ADC＝65°，则∠ABC的度数为（）
第7题
A．30°B．40°C．50°D．60°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是（）
A．10B．5C．4D．3
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝（）
第9题
A．B．5C．D．
10．对于抛物线下列说法：
①对称轴为x＝2；
②抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）；
③顶点坐标为（2，－a）；
④若，当时，函数y随x的增大而增大．其中正确的结论有（）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．平面直角坐标系中，点P（－2，3）关于原点旋转180°后得到的对应点的坐标为______．
12．二次函数的顶点坐标为______．
13．若m、n是方程的两根，则3m＋3n－2mn＝______．
14．如图是二次函数图象的一部分，图象过A（－3，0）抛物线的对称轴为直线x＝－1，若、、，均为函数图象上的点，则、、大小关系为______．
第14题
15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为______．
第15题
16．如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为______．
第16题
三、解答题（17、18、19每题8分，共24分）
17．选择适当方法解方程：．
18．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．”请你解答这个问题．
19．如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A（1，－1）、B（3，1），将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD（点A与C对应，点B与D对应）．
（1）请在图中画出线段CD；
（2）请直接写出点A、B的对应点的坐标C（______，______）、D（______，______）；
（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出P点坐标为（______，______）．
四、解答题（20、21每题8分，共16分）
20．已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于（3，0），对称轴为直线x＝1．
解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程的解为______；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
21．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
五、解答题（本题8分）
22．有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示1m）．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面的高度为4.5m，求照明灯与点B的距离．
六、解答题（本题10分）
23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点D在BC上，且OD∥AC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：OD＝AE；
（2）若⊙O的半径R＝3，AC＝9，求OD的长．
七、解答题（本题12分）
24．综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，AC＝BC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝90°，连接BD，AE，如图1．
独立思考：（1）如图1，求证：BD＝AE；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把△CDE旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
（2）如图2，在△ABC绕着点C旋转到某一位置时恰好有CD∥AB，BD＝BA．
①求∠BCE的度数；
②线段AE与线段BD交于点F，求的值；
③若，求CE的值．
八、（本题12分）
25．已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为－4．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点G，求△ABG的面积；
（3）在对称轴上找一点Q，使BQ＋GQ的值最小，求满足条件的点Q坐标；
（4）在抛物线上是否存在一点P，使得△AGP是以AG为直角边的直角三角形？存在，求出点P坐标；不存在，说出理由．
25题图
参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．D2．D3．C 4．A 5．C 6．C 7．B 8．B9 ．B 10．C
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2，－3）． 12．(1，－4) 13．－8 14．y1＜y3＜y215．516．．
三、解答题（每题8分，共20分）
17．解：2x2－x－3＝0，
分解因式得：（x＋1）（2x－3）＝0，……………………………3分
可得x＋1＝0或2x－3＝0，…………………………………………6分
解得：x1＝－1，．……………………………………………8分
18．解：如图，连接OC，……………………………………………1分
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，……………………………2分
又∵CD＝10寸，
∴寸，…………………………………3分
设OC＝OB＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x－1）寸，………4分
由勾股定理得：OE2＋CE2＝OC2，
即（x－1）2＋52＝x2，……………………………6分
解得x＝13，
∴AB＝26寸，……………………………8分
答：直径AB的长为26寸．
19．（1）正确作图……………………………………………2分
（2）C(1，1)、D(－1，3)；……………………………4分
（3）在图中找到点P……………………………………6分
写出点P坐标(0．5，0)……………………………8分
20．解：（1）观察图象可看对称轴为x＝1，则抛物线与x轴交于x＝－1和x＝3两点，
∴方程的解为x1＝－1，x2＝3，
故x1＝－1，x2＝3；………………………………………………………3分
（2）∵x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（－1，0）和（3，0），
∴设抛物线解析式为y＝－（x＋1）（x－3），
抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；…………………………………………………6分
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值，即k＞4．…………8分
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°．
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°．
又∵CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE．…………………………………………………3分
（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：…………4分
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE＝AE′．
∵CE＝CG，
∴CG＝AE′．………………………………………………………5分
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB＝CD．……………………………………………6分
∴AB－AE′＝CD－CG．
即BE′＝DG．………………………………………………………7分
∴四边形E′BGD是平行四边形．…………………………………8分
22．解：（1）由图象可知抛物线的顶点是（0，0），
设抛物线所对应的函数关系为y＝ax2，…………………………………………1分
∵点A（－4，－6）或B（4，－6）在抛物线上，
∴－6＝a•（－4）2，………………………………………………………………2分
解得，
∴抛物线的函数关系式为；…………………………………………3分
（2）∵要在隧道壁上点P处安装一盖照明灯离地面的高度为4.5m，
∴P的纵坐标是－6＋4.5＝－1.5，………………………………………………4分
在中，令y＝－1.5得：
，……………………………………………………………………5分
解得x＝2或x＝－2，……………………………………………………………6分
∴P（－2，－1.5），……………………………………………………………7分
∴，
∴照明灯与点B的距离是7.5m．………………………………………………8分
23．（1）证明：如图连接OA，……………………………………………………1分
∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，………………………………………………2分
∵DE⊥AC
∴DE∥OA……………………………………………………………………………3分
∵OD∥AC
∴四边形AEDO是矩形，………………………………………………………4分
OD＝AE………………………………………………………………………………5分
（2）连接OB，则OB⊥BC………………………………………………………6分
∴∠OBD＝∠DEC＝90°，
∵OA＝DE，OA＝OB，OD∥AC
∴OB＝DE，∠ECD＝∠ODB，
∴△ODB≌△DCE，…………………………………………………………………8分
∴OD＝DC，
设OD＝x，则EC＝AC－AE＝9－x＝BD，
在Rt△ODB中，有x2＝32＋（9－x）2，……………………………………………9分
∴x＝5，即OD＝5．…………………………………………………………………10分
24．（1）证明：如图1，∵等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝90°．
∴∠BCA＋∠DCA＝∠DCE＋∠DCA，
∴∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝AE；……………………………………………………………………1分
（2）解：如图1，
①∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝45°．
∵∠ACB＝90°∴∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝90°＋45°＝135°
∵∠DCE＝90°
∴∠BCE＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－135°－90°
＝135°．………………………………………………………………………2分
②连接BE．如图2，……………………………………………………………………3分
由（1）可知：△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE．………………………………………………4分
∵∠ACB＝90°
∴∠AFB＝90°
∴∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝90°＋45°＝135°．
∴∠BCD＝∠BCE．…………………………………………………………5分
∵BC＝BC，CD＝CE，
在△BCD和△BCE中，，
∴△BCD≌△BCE（SAS）．………………………………………………6分
∴BD＝BE．∵AB＝BD＝AE，
∴BD＝BE＝AB＝AE．
∴△BAE为等边三角形．……………………………………………………7分
∴∠BAE＝60°，∵∠AFB＝90°
∴∠ABF＝90°－60°＝30°，
∴在Rt△AFB中，AB＝2AF
∴……………………………………………………………………8分
③如图3，过点B作CD的垂线，垂足为点F，则△BCF为等腰直角三角形，
…………………………………………………………………………………9分
∵
∴BF＝CF＝2，
………………………………………………………………10分
在Rt△BDF中，…………………………11分
∴…………………………………………………………12分
【注】③中，用其他方法，结果正确仍可得分，如图4．
图1 图2 图3图4
25．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，
又抛物线顶点在第三象限，且顶点纵坐标为－4，
将x＝a代入得：a2－2a2＋3a＝－4，
整理得：－a2＋3a＝－4，
解得：a＝－1或a＝4（舍去），
∴抛物线的函数表达式：，……………………………………2分
∵
∴顶点坐标为（－1，－4）；…………………………………………………3分
（2）令，
解得：x＝1或x＝－3，
∴点A（－3，0），B（1，0），
∴AB＝|1－（－3）|＝4，………………………………………………………4分
将x＝0代入，得：y1＝－3，
∴点G（0，－3），即OG＝|－3|＝3，
∴；……………………………………………6分
（3）∵点B关于对称轴对称的点为点A，则线段AG与对称轴的交点即为点Q
∵OA＝OG，△OAG是等腰直角三角形，
∴OA＝OQ＝3，
∴点Q坐标（－1，－2）．………………………………………………………8分
（4）当△AGP是以AG为直角边的直角三角形时，存在两种情况：
①以点A为直角顶点的直角三角形，
∵OA＝OG＝3，
∴∠GAO＝45°
∵∠GAP＝90°
∴△APF是等腰直角三角形，设OF＝m，则AF＝3＋m，
∵PF＝AF，∴P（m，3＋m），
∵点P在抛物线上，
∴将点P代入抛物线得，
，
解得，，，（不合题意，舍去）
∴点P（2，5）……………………………………………………………10分
第二种情况：设抛物线顶点C，连接GC，过点C作CH⊥y轴，垂足为点H，
∵G（0，－3），C（－1，－4），
∴∠AGO＝45°，∠GCH＝45°，
∴∠AGC＝180°－45°－45°＝90°，
∴点P即是点C，
∴点P（－1，－4）……………………………………………………12分
满足条件的点P坐标为（2，5）或（－1，－4）