适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练6空间几何体的结构表面积与体积理（附解析）

这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练6空间几何体的结构表面积与体积理（附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.(2023广西梧州一模)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为( )
A.6B.8
C.10D.12
2.(2023辽宁名校联考二)已知某圆锥的高为2 cm,体积为 cm3,则该圆锥的侧面积为( )
A. cm2B.3π cm2
C.6π cm2D.12π cm2
3.如图所示是某几何体的三视图,则这个几何体的侧面积等于( )
A.10+2B.6+2()
C.6+2()D.10+2()
4.(2023河南郑州二模)设一个正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°,则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为( )
A.B.C.D.
5.(2023四川广安二模)一个四棱台的三视图如图所示,其中正视图和侧视图均为上底长为2,下底长为4,腰长为2的等腰梯形,则该四棱台的体积为( )
A.B.
C.28D.56
6.(2022新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)( )
A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3
7.(2023河南郑州二模)如图,网格纸上绘制的是一个几何体的三视图,网格上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为( )
A.B.
C.D.4
8.设半径为R的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,设△ABC,△ACD,△ABD的面积分别是S△ABC,S△ACD,S△ABD,若S△ABC+S△ACD+S△ABD=8,则球半径R的最小值是( )
A.2B.
C.2D.4
9.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为2,高为6,则球O的表面积为( )
A.32πB.48π
C.64πD.80π
10.(2023贵州统考模拟)在正三棱锥P-ABC中,侧棱PA=PB=PC=1,在等边三角形ABC中,AB=,该三棱锥的外接球球心O到侧面的距离为h1,到底面的距离为h2,则=( )
A.B.
C.D.
11.(2023全国甲,理11)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为( )
A.2B.3
C.4D.6
12.在三棱锥P-ABC中,△PAC是等边三角形,平面PAC⊥平面ABC,AB=,AC=2,∠CAB=60°,则三棱锥P-ABC的外接球体积为( )
A.B.
C.D.
13.(2023四川成都二模)若正三棱锥P-ABC的高PD为2,点D是点P在平面ABC上的射影,底面正三角形的边长AB=2,其各顶点都在同一球面上,则该球的半径为( )
A.B.
C.2D.3
二、填空题
14.(2023山东济南一模)已知圆锥侧面展开图的周长为4+2π,面积为2π,则该圆锥的体积为 .
15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
16.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为 .
17.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为 .
18.一个圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形,在该圆锥内放置一个棱长为m的正四面体,并且正四面体可以在该圆锥内任意转动,则实数m的最大值为 .
19.(2023全国甲,理15)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
考点突破练6 空间几何体的结构、表面积与体积
1.C 解析 由三视图知该几何体是底面为梯形的直棱柱,其体积为2×2=10.故选C.
2.B 解析 设该圆锥的底面半径与母线长分别为r,l,由2,得r=1,所以l==3,从而该圆锥的侧面积S=πrl=3π.故选B.
3.C 解析 由三视图可知,这个几何体是底面为直角梯形的棱锥(如图所示),因为PB=2,BC=2,PC=2,所以PC⊥BC,所以其侧面积为(2×2+2×2+22+4×2)=6+2+2故选C.
4.D 解析 设底面正方形边长为2a(a>0).因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°,所以侧面为等边三角形,则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为故选D.
5.A 解析 由三视图可知该四棱台为正四棱台,且侧面的高为2,则该棱台的高为,所以四棱台的体积V=(4+16+)故选A.
6.C 解析 由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故该棱台的体积V棱台=h(S1+S2+)=9×(1.4×108+1.8×108+)≈1.4×109(m3),
即增加的水量约为1.4×109m3.故选C.
7.B 解析 如图所示,题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥C-ABD,其体积V=2×2×2=故选B.
8.A 解析 设AB=a,AC=b,AD=c.∵AB,AC,AD两两垂直,∴a2+b2+c2=4R2.∴S△ABC+S△ACD+S△ABD=(ab+ac+bc)(a2+b2+c2)=2R2,当且仅当a=b=c时,等号成立,即8≤2R2,∴R≥2.故选A.
9.C 解析 当球心在圆锥外部时,设球的半径为R,则(R-6)2+(2)2=R2,解得R=4,不符合题意.故球心在圆锥的内部且在高上,设球心到圆锥底面的距离为d,则有(6-d)2-d2=,解得d=2,则球的半径R=6-d=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.故选C.
10.C 解析 由题意,PA2+PB2=AB2,所以PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PB⊥PC,即PA,PB,PC两两垂直,可把该三棱锥补成一个正方体,则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心O为正方体的体对角线的中点,直径2R=,所以球心O到侧面的距离为h1=OP=R=,球心O到底面的距离为h2=,所以故选C.
11.C 解析 在四棱锥P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.设CD的中点为E,AB的中点为F,由几何知识得,△CDP关于PE对称,点P在平面PEF内,且PA=PB.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,由勾股定理得,AC==4在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cs∠PCA,解得PA=,∴PB=PA=在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cs∠BCP,解得cs∠BCP=,∴sin∠BCP=S△PBC=BC·PC·sin∠BCP=4故选C.
12.C 解析 在△ABC中,BC==3,所以AC2=AB2+BC2,则∠ABC=90°,设点D是AC的中点,则点D是△ABC的外心,又△PAC是等边三角形,所以PD⊥AC,而平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PD⊂平面PAC,所以PD⊥平面ABC,设△PAC的外心是点O,则点O到点P,A,C的距离都是2=2,连接OB,则OB==2,所以△PAC的外心O为三棱锥P-ABC外接球的球心,所以球的半径R=2,球的体积V=R3=故选C.
13.D 解析 依题意,设三棱锥P-ABC的外接球的球心为O.
若球心O在正三棱锥P-ABC内部,如图所示.其中点P在底面ABC的射影为点D,所以高为PD=2.延长AD交BC于点E,由题意知,△ABC为正三角形,点D为△ABC的重心,AE为△ABC的高,所以AE=AB=2=3,AD=AE=3=2设外接球的半径为R,则OP=OA=R.在△ADO中,AO2=OD2+AD2,即R2=(2-R)2+,解得R=3.
若球心O在正三棱锥P-ABC外部,如图所示.当球心O在PD的延长线上时,在△ADO中,AO2=OD2+AD2,即R2=(R-2)2+(2)2,解得R=3.故选D.
14 解析 设圆锥的母线长为l,底面圆半径为r,由题意得消去l,得2πr2-(4+2π)r+4=0,解得r=1或r=设圆锥的高为h,则当r=1时,l=2,圆锥的体积为r2h=;当r=时,l=π,圆锥的体积为r2h=r2
15.30 解析 该几何体为一个被切去一个角的三棱柱,体积为V=3×46-3×43=30.
16.3π 解析 由图知,球与△ABC和△A1B1C1没有交线;与四边形AA1B1B和四边形AA1C1C的交线分别是以点A为圆心、2为半径的圆弧,长度分别为π;与四边形BB1C1C的交线是以BC长为直径的半圆,故长为π.因此,交线的长度之和为3π.
17. 解析(方法一 直接法)如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.
在正四棱台中,∵AC=2,A1C1=,∴AG=
在Rt△A1AG中,A1G=
则棱台体积V=+S四边形ABCD)·A1G=(1+2+4)
(方法二 补形法)如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,解得OA1=,A1H=,AG=,OA=2
在Rt△A1OH中,OH=,在Rt△AOG中,OG=
则棱台体积V=V四棱锥O-ABCD-(S四边形ABCD·OG-OH)=(4-1)=
18.2 解析 如图所示,设点O为该圆锥的底面圆心,顶点是S,则其高为SO==3则该圆锥的内切球的圆心在圆锥的高SO上,设为点O1,设内切球的半径为r,设该圆锥的内切球与圆锥的母线SA相切于点H,连接HO1,则在Rt△SHO1中,∠O1SH=30°,则sin∠O1SH=,解得r=由题意知,当m最大时,正四面体为该球的内接正四面体,将正四面体补成正方体,设正方体的棱长为a,则a=2r=2,得a=2,则该正四面体的棱长为正方体的面对角线长,为2
19.12 解析 设EF的中点为O,则球O的直径为EF.因为O点也是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O点到各棱的距离均等于OE,故以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点.