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适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练17基本初等函数函数的应用理（附解析）
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这是一份适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练17基本初等函数函数的应用理（附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.(2022浙江,7)已知2a=5,lg83=b,则4a-3b=( )
A.25B.5C.D.
2.(2023山东济南一模)自然数22 023的位数为( )(参考数据:lg 2≈0.301 0)
A.607B.608C.609D.610
3.(2023陕西西安一模)设a>b>0,a+b=1且x=-()b,y=la,z=lab,则x,y,z的大小关系是( )
A.xC.y4.(2020全国Ⅲ,理4)Lgistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Lgistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)( )
A.60B.63C.66D.69
5.函数f(x)=的大致图象为( )
6.(2023陕西宝鸡二模)已知函数f(x)=lg x+lg(2-x),则( )
A.f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数
B.f(x)在(0,2)上是减函数
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)有最小值,但无最大值
7.(2023贵州遵义模拟)“函数f(x)=m(3|x|+2)-3|x|存在零点”的一个必要不充分条件为( )
A.m>B.≤m<1
C.m>2D.8.(2023山西运城二模)昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质,是昆虫之间起化学通讯作用的化合物,是昆虫交流的化学分子语言,包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用,尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用.研究发现,某昆虫释放信息素t秒后,在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足ln y=-ln t-x2+a,其中k,a为非零常数.已知释放信息素1秒后,在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m;若释放信息素4秒后,距释放处b米的位置,信息素浓度为,则b=( )
A.3B.4
C.5D.6
9.已知函数f(x)=ax2-4ax+2(a<0),则关于x的不等式f(x)>lg2x的解集是( )
A.(-∞,4)B.(0,1)
C.(0,4)D.(4,+∞)
10.(2023广西玉林二模)若函数f(x)=x2ex-ln x的最小值为m,则函数g(x)=x2eex+2-ln x的最小值为( )
A.m-1B.em+1
C.m+1D.em-1
11.(2022山西太原一模)已知实数x,y满足x·2x=7,y(lg2y-2)=28,则xy=( )
A.112B.28
C.7D.4
12.(2023宁夏银川一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+m=(m+)f(x)恰有5个不同的实根,则m的取值范围为( )
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.[1,2)D.[2,+∞)
13.已知偶函数f(x)的定义域为区间(-∞,0)∪(0,+∞),且当x∈(0,+∞)时,f(x)=则方程f(x)+x2=2的根的个数为( )
A.3B.6
C.5D.4
14.(2023陕西汉中二模)设x1,x2分别是函数f(x)=x-a-x和g(x)=xlgax-1的零点(其中a>1),则x1+4x2的取值范围为( )
A.(4,+∞)B.[4,+∞)
C.(5,+∞)D.[5,+∞)
二、填空题
15.(2023山东济宁二模)已知a∈R,函数f(x)=f(f())=2,则a= .
16.函数f(x)=9x+31-2x的最小值是 .
17.(2023山东日照一模)对任意正实数a,记函数f(x)=|lg x|在[a,+∞)上的最小值为ma,函数g(x)=sin在[0,a]上的最大值为Ma,若Ma-ma=,则a的所有可能值为 .
18.已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2x3的取值范围是 .
19.(2023山东泰安一模)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的增函数,且关于x的方程|f(x)|=x+3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 .
20.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则函数g(x)=f(x)-的所有零点之和为 .
考点突破练17 基本初等函数、函数的应用
1.C 解析 由lg83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=,所以4a-3b=,故选C.
2.C 解析 因为lg22023=2023lg2≈2023×0.3010=608.923,
所以22023≈10608.923,即22023的位数为608+1=609.故选C.
3.A 解析 由a>b>0,a+b=1,可得0∴lgba-lgbb=-1,∵x=-()b<-1,∴x4.C 解析 由=0.95K,得,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.
5.B 解析∵f(x)=,∴f(-x)==-f(x),
∴函数为奇函数,排除C;06.C 解析 由f(x)=lgx+lg(2-x)的定义域为(0,2),则f(x)=lgx+lg(2-x)=lg(-x2+2x),∵y=-x2+2x在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,且y=lgx在(0,+∞)上是增函数,故f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,A,B错误;由f(2-x)=lg(2-x)+lgx=f(x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确;因为y=-x2+2x在x=1时取得最大值,且y=lgx在(0,+∞)上是增函数,故f(x)有最大值,但无最小值,D错误,故选C.
7.A 解析 令f(x)=0,化简可得m=1-,令g(x)=1-,易得函数g(x)为偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=,且g(x)<1,故m=g(x)有零点,则m<1,所求范围要比此大,选项中仅A符合.故选A.
8.B 解析 由题意lnm=-4k+a,ln=-ln4-b2+a,所以lnm-ln=-4k+a-(-ln4-b2+a),即-4k+b2=0.又k≠0,所以b2=16.因为b>0,所以b=4.故选B.
9.C 解析 由题设,f(x)的图象的对称轴为直线x=2且开口向下,则f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由f(x)=ax2-4ax+2=ax(x-4)+2,得f(x)的图象恒过(4,2)且f(0)=2,所以在(0,4)上f(x)>2,在(4,+∞)上f(x)<2.y=lg2x在(0,+∞)上单调递增,且在(0,4)上y<2,在(4,+∞)上y>2,所以f(x)>lg2x的解集为(0,4).故选C.
10.C 解析 由题意x∈(0,+∞),则ex∈(0,+∞),∵f(ex)=(ex)2eex-ln(ex)=x2eex+2-lnx-1,∴g(x)=x2eex+2-lnx=f(ex)+1,∵f(x)的最小值为m,∴f(ex)的最小值也为m,∴g(x)min=f(ex)min=m+1.故选C.
11.B 解析 由题可知x,y>0.由y(lg2y-2)=28,得lg2=7.又,则lg2=7,显然lg2>0.令f(x)=x·2x,x>0,则f'(x)=2x+x·2xln2=2x(1+xln2)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵x·2x=lg2=7,
即f(x)=f=7,∴x=lg2
又lg2,∴x=,即xy=28.
12.D 解析∵f2(x)+m=(m+)f(x),f2(x)-(m+)f(x)+m=0,(f(x)-)(f(x)-m)=0,
∴f(x)=或f(x)=m.作出函数f(x)的图象如图所示,由图知f(x)的图象与y=有两个交点,若方程f2(x)+m=(m+)f(x)恰有5个不同的实根,则f(x)的图象与y=m有三个公共点,所以m的取值范围是[2,+∞).故选D.
13.B 解析 方程f(x)+x2=2根的个数⇔函数y=f(x)与函数y=-x2+2的图象的交点个数.当0又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象如右,由图象可知两函数图象有6个交点.故选B.
14.C 解析 令f(x)=0,得x1=,即,所以x1是y=和y=ax(a>1)的图象的交点,且显然01)的图象的交点,因为y=ax与y=lgax的图象关于直线y=x对称,所以两交点也关于直线y=x对称,所以有x1=lgax2=,所以x1+4x2=x1+,y=x+在(0,1)上是减函数,所以x1+4x2>1+=5.故选C.
15.-1 解析 因为>2,所以f()=lg2(5-3)=1≤2,所以f(f())=f(1)=3+a=2,解得a=-1.
16.2 解析f(x)=9x+31-2x=9x+2=2,当且仅当9x=,即x=时等号成立,所以最小值为2
17 解析f(x)和g(x)的图象如图:当018.(2,3) 解析 函数f(x)的图象如图所示.
不妨设x1∴-lg2x1=lg2x2,即x1x2=1.又x3∈(2,3),∴x1x2x3的取值范围是(2,3).
19.[]∪{} 解析∵f(x)是R上的增函数,∴y=1+lga|x-1|在(-∞,0]上是增函数,可得0作出y=|f(x)|和y=x+3的图象如图所示.由图象可知|f(x)|=x+3在(0,+∞)上有且只有一解,可得4a≤3,或x2+4a=x+3,即有Δ=1-4(4a-3)=0,即有a或a=由图象可知当x≤0时|f(x)|=x+3有且只有一解,则a的取值范围是[]∪{}.
20.18 解析 由f(x)是R上的奇函数,得f(x)的图象关于原点对称.
由f(x)=f(2-x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)的周期T=4×(1-0)=4.又f(2+x)=f(2+x-4)=f(x-2)=-f(2-x),∴f(x)的图象关于点(2,0)对称.∵函数y=的图象关于原点对称,y=的图象可由y=的图象向右平移2个单位长度得到,∴y=的图象关于点(2,0)对称.画出y=f(x),y=的图象如下图所示.
由图可知,y=f(x),y=的图象有9个公共点,
∴g(x)所有零点之和为9×2=18.
1.(2022浙江,7)已知2a=5,lg83=b,则4a-3b=( )
A.25B.5C.D.
2.(2023山东济南一模)自然数22 023的位数为( )(参考数据:lg 2≈0.301 0)
A.607B.608C.609D.610
3.(2023陕西西安一模)设a>b>0,a+b=1且x=-()b,y=la,z=lab,则x,y,z的大小关系是( )
A.x
A.60B.63C.66D.69
5.函数f(x)=的大致图象为( )
6.(2023陕西宝鸡二模)已知函数f(x)=lg x+lg(2-x),则( )
A.f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数
B.f(x)在(0,2)上是减函数
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)有最小值,但无最大值
7.(2023贵州遵义模拟)“函数f(x)=m(3|x|+2)-3|x|存在零点”的一个必要不充分条件为( )
A.m>B.≤m<1
C.m>2D.
A.3B.4
C.5D.6
9.已知函数f(x)=ax2-4ax+2(a<0),则关于x的不等式f(x)>lg2x的解集是( )
A.(-∞,4)B.(0,1)
C.(0,4)D.(4,+∞)
10.(2023广西玉林二模)若函数f(x)=x2ex-ln x的最小值为m,则函数g(x)=x2eex+2-ln x的最小值为( )
A.m-1B.em+1
C.m+1D.em-1
11.(2022山西太原一模)已知实数x,y满足x·2x=7,y(lg2y-2)=28,则xy=( )
A.112B.28
C.7D.4
12.(2023宁夏银川一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+m=(m+)f(x)恰有5个不同的实根,则m的取值范围为( )
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.[1,2)D.[2,+∞)
13.已知偶函数f(x)的定义域为区间(-∞,0)∪(0,+∞),且当x∈(0,+∞)时,f(x)=则方程f(x)+x2=2的根的个数为( )
A.3B.6
C.5D.4
14.(2023陕西汉中二模)设x1,x2分别是函数f(x)=x-a-x和g(x)=xlgax-1的零点(其中a>1),则x1+4x2的取值范围为( )
A.(4,+∞)B.[4,+∞)
C.(5,+∞)D.[5,+∞)
二、填空题
15.(2023山东济宁二模)已知a∈R,函数f(x)=f(f())=2,则a= .
16.函数f(x)=9x+31-2x的最小值是 .
17.(2023山东日照一模)对任意正实数a,记函数f(x)=|lg x|在[a,+∞)上的最小值为ma,函数g(x)=sin在[0,a]上的最大值为Ma,若Ma-ma=,则a的所有可能值为 .
18.已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2x3的取值范围是 .
19.(2023山东泰安一模)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的增函数,且关于x的方程|f(x)|=x+3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 .
20.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则函数g(x)=f(x)-的所有零点之和为 .
考点突破练17 基本初等函数、函数的应用
1.C 解析 由lg83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=,所以4a-3b=,故选C.
2.C 解析 因为lg22023=2023lg2≈2023×0.3010=608.923,
所以22023≈10608.923,即22023的位数为608+1=609.故选C.
3.A 解析 由a>b>0,a+b=1,可得0
5.B 解析∵f(x)=,∴f(-x)==-f(x),
∴函数为奇函数,排除C;0
7.A 解析 令f(x)=0,化简可得m=1-,令g(x)=1-,易得函数g(x)为偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=,且g(x)<1,故m=g(x)有零点,则m<1,所求范围要比此大,选项中仅A符合.故选A.
8.B 解析 由题意lnm=-4k+a,ln=-ln4-b2+a,所以lnm-ln=-4k+a-(-ln4-b2+a),即-4k+b2=0.又k≠0,所以b2=16.因为b>0,所以b=4.故选B.
9.C 解析 由题设,f(x)的图象的对称轴为直线x=2且开口向下,则f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由f(x)=ax2-4ax+2=ax(x-4)+2,得f(x)的图象恒过(4,2)且f(0)=2,所以在(0,4)上f(x)>2,在(4,+∞)上f(x)<2.y=lg2x在(0,+∞)上单调递增,且在(0,4)上y<2,在(4,+∞)上y>2,所以f(x)>lg2x的解集为(0,4).故选C.
10.C 解析 由题意x∈(0,+∞),则ex∈(0,+∞),∵f(ex)=(ex)2eex-ln(ex)=x2eex+2-lnx-1,∴g(x)=x2eex+2-lnx=f(ex)+1,∵f(x)的最小值为m,∴f(ex)的最小值也为m,∴g(x)min=f(ex)min=m+1.故选C.
11.B 解析 由题可知x,y>0.由y(lg2y-2)=28,得lg2=7.又,则lg2=7,显然lg2>0.令f(x)=x·2x,x>0,则f'(x)=2x+x·2xln2=2x(1+xln2)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵x·2x=lg2=7,
即f(x)=f=7,∴x=lg2
又lg2,∴x=,即xy=28.
12.D 解析∵f2(x)+m=(m+)f(x),f2(x)-(m+)f(x)+m=0,(f(x)-)(f(x)-m)=0,
∴f(x)=或f(x)=m.作出函数f(x)的图象如图所示,由图知f(x)的图象与y=有两个交点,若方程f2(x)+m=(m+)f(x)恰有5个不同的实根,则f(x)的图象与y=m有三个公共点,所以m的取值范围是[2,+∞).故选D.
13.B 解析 方程f(x)+x2=2根的个数⇔函数y=f(x)与函数y=-x2+2的图象的交点个数.当0
14.C 解析 令f(x)=0,得x1=,即,所以x1是y=和y=ax(a>1)的图象的交点,且显然0
15.-1 解析 因为>2,所以f()=lg2(5-3)=1≤2,所以f(f())=f(1)=3+a=2,解得a=-1.
16.2 解析f(x)=9x+31-2x=9x+2=2,当且仅当9x=,即x=时等号成立,所以最小值为2
17 解析f(x)和g(x)的图象如图:当0
不妨设x1
19.[]∪{} 解析∵f(x)是R上的增函数,∴y=1+lga|x-1|在(-∞,0]上是增函数,可得0
20.18 解析 由f(x)是R上的奇函数,得f(x)的图象关于原点对称.
由f(x)=f(2-x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)的周期T=4×(1-0)=4.又f(2+x)=f(2+x-4)=f(x-2)=-f(2-x),∴f(x)的图象关于点(2,0)对称.∵函数y=的图象关于原点对称,y=的图象可由y=的图象向右平移2个单位长度得到,∴y=的图象关于点(2,0)对称.画出y=f(x),y=的图象如下图所示.
由图可知,y=f(x),y=的图象有9个公共点,
∴g(x)所有零点之和为9×2=18.
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