适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练14圆锥曲线中的定点定值探索性问题（附解析）

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练14圆锥曲线中的定点定值探索性问题（附解析），共5页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知椭圆C，已知抛物线C，已知曲线C等内容，欢迎下载使用。

(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点F作直线l交双曲线C的右支于P,Q两点,点M满足,求证:存在两个定点E1,E2,使得|ME1|-|ME2|为定值,并求出这个定值.
2.(2023全国乙,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
3.(2023山东日照一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,E为C上的动点,EQ垂直于动直线y=t(t<0),垂足为Q,当△EQF为等边三角形时,其面积为4.
(1)求C的方程.
(2)设O为坐标原点,过点E的直线l与C相切,且与椭圆=1交于A,B两点,直线OQ与AB交于点M,试问:是否存在t,使得|AM|=|BM|?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
4.(2023湖南张家界二模)已知曲线C:=1(x>0),倾斜角为α的直线l过点F2(3,0),且与曲线C相交于A,B两点.
(1)当α=90°时,求三角形ABO的面积.
(2)在x轴上是否存在定点M,使直线l在与曲线C有两个交点A,B的情况下,总有∠OMA=∠OMB?如果存在,求出定点M;如果不存在,请说明理由.
考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
1.(1)解 由题意可得,即b2=3a2.又右焦点为F(2,0),所以c=2,即a2+b2=4,可得a2=1,b2=3.因此双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明 设点M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1,x2>1,
设直线l的方程为x=my+2,与双曲线C的方程x2-=1联立,整理得(3m2-1)y2+12my+9=0,
则3m2-1≠0,Δ=(12m)2-36(3m2-1)=36(m2+1)>0,
整理得m2≠.
由根与系数的关系得y1+y2=-,于是x1+x2=m(y1+y2)+4=,
注意到x1+x2>2,于是>2,解得m2<.
又点M满足,即
整理得
消去m得=1(x>0).
因此点M的轨迹是以(-4,0),(4,0)为焦点,实轴长为4的双曲线的右支,由双曲线的定义可知,存在两个定点E1(-4,0),E2(4,0),使得|ME1|-|ME2|=4.
2.(1)解 由题意,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(-2,0),
∴解得
∴椭圆的方程为=1.
(2)证明 根据题意,直线PQ的斜率存在,设MN的中点为T,直线PQ的方程为y=k(x+2)+3(k<0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
则(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,
∴
∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0),
∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,设直线AQ的方程为y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,
∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).
又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,
∴k1=,k2=,∴k1+k2==2k+3()
=2k+3=2k+3[]=2k+(-2k+3)=3,∴T(0,3).
综上,线段MN的中点为定点(0,3).
3.解 (1)∵当△EQF为等边三角形时,其面积为4,
∴×|EQ|2sin=4,解得|EQ|=4.
根据|EF|=|EQ|和抛物线的定义可知,点Q落在抛物线C的准线上,即y=t=-.
设准线和y轴交点为H,如图,易证∠HFQ=,
于是|FQ|cs=2=|FH|=p,∴C的方程为x2=4y.
(2)存在t=-1满足题意.
假设存在t,使得|AM|=|BM|,则M为线段AB的中点.
设E(x0,),当x0=0时,任意t均满足|AM|=|BM|;当x0≠0时,依题意得Q(x0,t),则kOQ=,
由y=可得y'=,所以切线l的斜率为kl=x0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(),由可得=0,
所以=0,
整理可得=-,即kl·kOM=-.所以x0·kOM=-,可得kOM=-.
又因为kOQ=kOM=,所以当t=-1时,kOQ=kOM=-,此时O,M,Q三点共线,满足M为AB的中点.
综上,存在t=-1,使得|AM|=|BM|.
4.解 (1)由=1(x>0)可知曲线C是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点,实轴长为4的双曲线的右支,如图.
过焦点F2(3,0)、倾斜角为90°的直线l的方程为x=3,当x=3时,y=±,所以S△AOB=×3×5=.
(2)存在定点M(,0)满足题意.
当α≠90°时,设直线l的方程为y=k(x-3),联立
整理得(5-4k2)x2+24k2x-36k2-20=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
解得k<-或k>.
假设在x轴上存在定点M(m,0),m≠x1,x2,则由∠OMA=∠OMB得x轴平分∠AMB,所以kAM+kBM=0.
kAM=,kBM=,
kAM+kBM==0,
即y1(x2-m)+y2(x1-m)=0,
展开可得x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0.
y1=k(x1-3),y2=k(x2-3),
则x2y1+x1y2=2kx1x2-3k(x1+x2),y1+y2=k(x1+x2-6).则2kx1x2-3k(x1+x2)-mk(x1+x2-6)=0.
因为斜率k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞),
所以2x1x2-(m+3)(x1+x2)+6m=0,即+6m=0,
整理可得72k2+40-24k2(m+3)+6m(4k2-5)=0,
即30m=40,得m=.
当α=90°时,由曲线的对称性可知m=满足题意.
综上,x轴上存在定点M(,0),使直线l在与曲线C有两个交点A,B的情况下,总有∠OMA=∠OMB.