2023-2024学年江苏省宿迁市泗洪县八年级（上）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市泗洪县八年级（上）期中数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.全等图形是指两个图形
( )
A. 面积相等B. 形状一样C. 能完全重合D. 周长相同
3.正方形是轴对称图形，它有对称轴的条数
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.等腰三角形的两边长分别为13cm、6cm，那么第三边长为
( )
A. 7cmB. 13cmC. 6cmD. 8cm
5.已知：如图，AB=AD，AC平分∠BAD，判定ΔABC≅ΔADC的依据是
( )
A. ASAB. SASC. SSSD. HL
6.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8km，则M、C两点间的距离为
( )
A. 2.4kmB. 3.6kmC. 4.2kmD. 4.8km
7.为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案．
下列说法正确的是
( )
A. Ⅰ，Ⅱ都不可行B. Ⅰ，Ⅱ都可行C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行
8.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.请你任意写出一组勾股数_ _.
10.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 ．
11.由三个一样的圆组成图形如图所示，它有 条对称轴．
12.等腰三角形中有一个角等于110∘，则它的一个底角的度数是 ∘．
13.如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为_ _厘米．
14.如图ΔABC中，∠C=90∘，AM平分∠BAC，CM=4cm，AB=7cm，则ΔABM的面积是 cm2．
15.如图，点C，A，D在同一条直线上，∠C=∠D=90∘，ΔABC≅ΔEAD，AC=4，BC=3.阴影部分的面积为 ．
16.如图，在ΔABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF=AC，CD=3，BD=8，则线段AF的长度为 ．
17.如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使ΔABC是以AB为腰的等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个.
18.如图，在ΔABC中，∠B=90∘，AB=4，BC=3，E为AC边上一动点(不与点A重合)，ΔAEF为等边三角形，过点E作EF的垂线，D为垂线上任意一点，连接DF，G为DF的中点，连接CG，则CG的最小值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，AC=BD，AE=DF，AE//DF．
求证：ΔABE≅ΔDCF．
20.(本小题8.0分)
已知如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C．
21.(本小题8.0分)
如图，AD是ΔABC的中线，AB=20，BC=24，AD=16.求AC的长．
22.(本小题8.0分)
如图，ΔABC中，∠C=90∘，DE垂直平分AB，若∠B=25∘，求∠CAE的度数．
23.(本小题8.0分)
《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
24.(本小题8.0分)
如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形ABC成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴．
25.(本小题8.0分)
如图，在ΔABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F．
(1)证明：BA=BC；
(2)求证：ΔAFC为等腰三角形．
26.(本小题8.0分)
1)如图1，直线l是线段AB的垂直平分线，在l上取一点P，连接BP、AP并延长AP到点C，判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由．
(2)尺规作图：如图2，点A、B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺和圆规在直线MN上求作一点P，使得∠APM=∠BPN.(保留作图痕迹，不写作法)
27.(本小题8.0分)
数学教师在黑板上呈现一道试题：“已知AD是等腰三角形ABC的腰BC上的高，且∠DAB=60∘.”要求学生画出符合条件的图形，并求出ΔABC各角的度数．
小明同学画出如下图形，并在图中标出ΔABC 各角的度数．请你画出所有符合条件且不同于小明同学的图形，并标出ΔABC各角的度数．
28.(本小题8.0分)
数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法．
【操作】
操作①：对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图1)．
操作②：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，连接AN(如图2)．
【思考】
(1)A、B关于直线EF对称，AN与BN的大小关系是__；A、N关于BM对称，则AB与BN的大小关系是__．
【探究】
(2)若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定ΔBMP的形状，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】利用全等图形的定义可得答案．
【解答】解：全等图形是指两个图形能完全重合，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：正方形是轴对称图形，它有对称轴的条数4．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长分别为13cm、6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当6cm是腰时，因6+6<13，不能组成三角形，应舍去；
当13cm是腰时，6cm、13cm、13cm能够组成三角形．
则第三边应是13cm．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，由此即可判断．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在ΔABC和ΔADC中，
AC=AC∠BAC=∠DACAB=AD,
∴ΔABC≅ΔADC(SAS)．
∴判定ΔABC≅ΔADC的依据是“SAS”.
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵公路AC、BC互相垂直，
∴∠ACB=90∘，
∵M为AB的中点，
∴CM=12AB，
∵AB=4.8km，
∴CM=2.4(km)，即M，C两点间的距离为2.4km，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可．
【解答】解：方案Ⅰ：∵CO=AO，DO=BO，∠AOB=∠COD，
∴ΔAOB≅ΔCOD(SAS)，
∴AB=CD，
∴Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵DC=DA，
∴ΔACD是等腰三角形，
∵BE⊥AB，
∴AB=BC，
∴Ⅱ可行，
综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】解：A、三角形的三边为 5，2 2，3，( 5)2+(2 2)2≠32，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为 5， 10， 17，( 5)2+( 10)2≠( 17)2，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为 10， 10，2 5，( 10)2+( 10)2=(2 5)2，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为 10， 10，2 2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
9.【答案】12，16，20
【解析】【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数．
【解答】解：∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，
∴一组勾股数可以是12，16，20．
故答案为12，16，20．
10.【答案】50∘
【解析】【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴α=50∘．
故答案为：50∘．
11.【答案】3
【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可得到答案．
【解答】解：由三个一样的圆组成图形如图所示，它有3条对称轴．
故答案为：3．
12.【答案】35
【解析】【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角=(180∘−110∘)÷2=35∘；
②当这个角是底角时，另一个底角为110∘，因为110∘+110∘=240∘，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故它的一个底角的度数是35∘．
故答案为：35．
13.【答案】2
【解析】【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 62+82=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 62+82=10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12−10=2cm，
故答案为2．
14.【答案】14
【解析】【分析】过点M作MD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得MC=MD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C=90∘，AM平分∠BAC，
∴MD=MC=4cm，
∴ΔABM的面积=12AB⋅MD=12×7×4=14(cm2)．
故答案为：14．
15.【答案】252
【解析】【分析】根据全等得出BA=AE=5，∠EAD=∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠BAC=90∘，可得∠BAE=90∘，即可求出答案．
【解答】解：∵ΔABC≅ΔEDB，
∴BA=AE，∠EAD=∠ABC，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=AE= AC2+BC2= 32+42=5，
∵∠C=∠D=90∘，
∴∠ABC+∠BAC=∠EAD+∠BAC=90∘，
∴∠BAE=90∘，
∴阴影部分的面积为12×5×5=252，
故答案为：252．
16.【答案】5
【解析】【分析】先证明ΔADC≅ΔBDF，再根据全等三角形的性质可得FD=CD=3，AD=BD=8，即可算出AF的长．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠BDF=∠AEB=90∘，
∴∠DAC+∠C=90∘，∠C+∠DBF=90∘，
∴∠DAC=∠DBF，
在ΔADC和ΔBDF中，
∠ADC=∠BDF∠DAC=∠DBFAC=BF,
∴ΔADC≅ΔBDF(AAS)，
∴CD=FD=3，AD=BD=8，
∵CD=3，BD=8，
∴AD=8，DF=3，
∴AF=AD−FD=8−3=5，
故答案为：5．
17.【答案】5
【解析】【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图，
∵AB= 12+22= 5，
∴①若AB=BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；
若AC=BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有5个．
故答案为：5．
18.【答案】2.5
【解析】【分析】先求出AC=5，再取EF的中点H，连接GH，AH，则GH为ΔDEF的中位线，进而得DE⊥EF，再根据等边三角形的性质得AH⊥EF，∠EAH=30∘，据此可证点G，H，A在同一条直线上，然后根据“垂线段最短”可得：当CG⊥AG时，CG为最小，最后在RtΔACG中根据直角三角形的性质求出CG的长即可．
【解答】解：在RtΔABC中，AB=4，BC=3，
由勾股定理得：AC= AB2+BC2=5，
取EF的中点H，连接GH，AH，如图所示：
∵点G为DF的中点，
∴GH为ΔDEF的中位线，
∴GH//DE，
∵DE⊥EF，
∴GH⊥EF，即∠GHE=90∘，
∵ΔAEF为等边三角形，且点H为EF的中点，
∴∠EAF=60∘，AH⊥EF，
∴∠AHE=90∘，∠EAH=12∠EAF=30∘，
∴∠GHE+∠AHE=180∘，
∴点G，H，A在同一条直线上，
依题意可知：点G在直线AG上运动，
根据“垂线段最短”可知：当CG⊥AG时，CG为最小，
在RtΔACG中，AC=5，∠CAG=30∘，
∴CG=12AC=2.5．
∴CG的最小值为2.5．
故答案为2.5．
19.【答案】证明：∵AC=BD，
∴AB+BC=DC+BC，
∴AB=DC，
∵AE//DF，
∴∠A=∠D，
在ΔABE和ΔDCF中，
AE=DF∠A=∠DAB=DC,
∴ΔABE≅ΔDCF(SAS)．

【解析】【分析】根据AC=BD，AE//DF，可以得到AB=DC，∠A=∠D，从而可以证明ΔABE≅ΔDCF．
20.【答案】证明：∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．

【解析】【分析】由平行四边形的判定定理证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“平行四边形的对角相等”的性质证得结论．
21.【答案】解：∵AD是ΔABC的中线，BC=24，
∴BD=12BC=12×24=12，
∵AB=20，AD=16，
∴AD2+BD2=162+122=400，AB2=202=400，
∴AD2+BD2=AB2，
∴ΔABD是直角三角形，∠ADB=90∘，
∴AD⊥BC，
∵AD是ΔABC的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB=20．

【解析】【分析】由AD是ΔABC的中线可得BD=12BC=12，由勾股定理逆定理得出AD⊥BC，再由线段垂直平分线定理得出AC=AB，即可得出AC的长度．
22.【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∵∠B=25∘，
∴∠EAB=∠B=25∘，
∵∠C=90∘，
∴∠CAB=65∘，
∴∠CAE=65∘−25∘=40∘．

【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B=25∘，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
23.【答案】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为(10−x)尺，
根据题意得：x2+32=(10−x)2，
解得：x=4.55，
∴折断处离地面4.55尺．

【解析】【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
24.【答案】解：所求图形，如图所示．

【解析】【分析】根据轴对称图形的特点设计图形即可．
25.【答案】证明：(1)在ΔABD和ΔCBE中，
∠BAD=∠BCE∠B=∠BBD=BE,
∴ΔABD≅ΔCBE(AAS)，
∴BA=BC；
(2)∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAD=∠BCE，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴ΔAFC为等腰三角形．

【解析】【分析】(1)利用AAS证明ΔABD≅ΔCBE可证得答案；
(2)由(1)易得∠BAC=∠BCA，进而可求解∠FAC=∠FCA，即可证明结论．
26.【答案】解：(1)∠1=∠2．
理由如下：如图1，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，l⊥AB，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2；
(2)如图2，作A点关于MN的对称点A′，连接BA′交MN于P点，
则P点为所作．

【解析】【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，l⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到∠2=∠3，接着利用对顶角相等得到∠1=∠3，于是得到∠1=∠2；
(2)作A点关于MN的对称点A′，连接BA′交MN于P点，利用(1)中的结论可得∠APM=∠BPN．
27.【答案】解：由题意得，分三种情况：
(1)当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形内部，∠B=90∘−∠DAB=90∘−60∘=30∘，∠BAC=∠C=75∘；
(2)当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形外部，∠ABC=∠D+∠DAB=90∘+∠60∘=150∘，∠BAC=∠C=15∘；
(3)当点C为顶角的顶点时，∠B=90∘−∠DAB=90∘−60∘=30∘，
∴∠ACB=180∘−2∠B=180∘−2×30∘=120∘，∠BAC=∠B=30∘．

【解析】【分析】由于BC为腰，则点B可为顶角的顶点，也可为底角的顶点，高AD可在三角形内部也可在三角形外部，故应分三种情况分析计算．
28.【答案】解：(1)由折叠可知：AB=BN，EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
∴AN=AB=BN，
∴ΔABN为等边三角形，
故答案为：AN=BN，AB=BN；
(2)ΔBMP是等边三角形，证明如下：
由(1)知：ΔABN为等边三角形，
∴∠ABN=60∘，
∴∠PBN=30∘，
∵∠ABM=∠NBM=30∘，∠BNM=∠BAM=90∘，
∴∠BMP=60∘，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60∘，
∴ΔBMP是等边三角形．

【解析】【分析】(1)根据折叠的性质可得AB=BN，EF垂直平分AB，推得AN=AB=BN；
(2)根据等边三角形的判定和性质可得∠ABN=60∘，∠PBN=30∘，推得∠BMP=60∘，根据等边三角形的判定即可证明ΔBMP是等边三角形．
题号
一
二
三
总分
得分
方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，并使CO=AO，DO=BO，连接DC，最后测出DC的长即可；
方案Ⅱ：如图，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC=DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．