2.3.6 拓展：直线系方程-人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（含答案））

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直线系方程1.平行直线系 以斜率为（常数）的直线系：（为参数）；平行于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)2.垂直直线系垂直于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)3.定点直线系1.过定点（，）的直线系方程：① ，不能表示；② （A，B不同时为0）2.过两条直线，交点的直线系方程为：① (是参数但不包括)② (为参数，且不同时为0)；考点一：定点问题1. 若直线l1：y=k（x-4）与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点（ 图 3） A．（0，2） B．（0，4） C．（－2，4） D．（4，－2）2.已知 满足，则直线必过定点（ ）A． B． C． D．3.求过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线方程．4.证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.5. 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.6.已知3a+2b=1，求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点，并求该定点坐标.7.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．8.已知直线与关于直线对称，直线⊥，则的斜率是______.直线系方程1.平行直线系 以斜率为（常数）的直线系：（为参数）；平行于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)2.垂直直线系垂直于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数)3.定点直线系1.过定点（，）的直线系方程：① ，不能表示；② （A，B不同时为0）2.过两条直线，交点的直线系方程为：① (是参数但不包括)② (为参数，且不同时为0)；考点一：定点问题1. 若直线l1：y=k（x-4）与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点（ 图 3） A．（0，2） B．（0，4） C．（－2，4） D．（4，－2）1. A 直线l1：y=k（x-4）恒过定点（4，0），点（4，0）关于点（2，1）对称的点的坐标为（0，2）2.已知 满足，则直线必过定点（ ）A． B． C． D．2.将a=1-2b代入直线方程，得（1-2b）x+3y+b=0，将x=，y=-代入满足方程，故选C.3.求过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线方程．解法一：解方程组得交点P（0，2）∵k3＝ ， ∴kl＝－ ， 由点斜式得l：y－2＝－x ，即4x＋3y－6＝0．解法二：设所求直线l：4x＋3y＋C＝0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C＝－6 ，∴l：4x＋3y－6＝0．解法三：设所求直线l：(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0整理得(λ＋1)x＋(λ－2)y－2λ＋4＝0∵l⊥l3 ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0∴λ＝11 ，∴l的方程为：(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0即4x＋3y－6＝0．4.证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.4.（恒等式法）直线方程化为:,∵∈R， ∴，解得，，，∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.5. 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.5.设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.6.已知3a+2b=1，求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点，并求该定点坐标.6.由3a+2b=1 得：b= EQ \f( 1 , 2 )(1-3a)代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x –-1)+a(x -)=0由， 得交点(1，  EQ \F(2,3) ) ∴直线过定点(1，  EQ \F(2,3) ).7.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．7.解：(1)经过已知两直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以eq \f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝eq \f(1,2)或λ＝2.所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝|PA|＝eq \r(（5－2）2＋（0－1）2)＝eq \r(10).8.已知直线与关于直线对称，直线⊥，则的斜率是______.