2022-2023学年湖北省荆州市荆州区高三上学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年湖北省荆州市荆州区高三上学期期末数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出和，再求即可解题.
【详解】解：因为，所以，
因为，所以，
所以．
故选：C.
【点睛】本题考查求解一元二次不等式，集合的交集运算，是基础题.
2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.
【详解】，
则有，，解得，
则，，故．
故选：C
3. 已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（ ）
A. －B. －C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得出，结合数量积公式计算即可.
【详解】，即△ABC为等腰直角三角形，即
点O是△ABC的外心，点O是的中点
故选：C
4. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（ ）
A. 0.954B. 0.956C. 0.958D. 0.959
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出小明上学可以乘坐公共汽车和地铁准时到校的概率，然后求和可得答案.
【详解】小明上学可以乘坐公共汽车准时到校的概率为
小明上学可以乘坐地铁准时到校的概率为
所以小明准时到校的概率为
故选：B
5. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则，则由条件可得，由勾股定理可得，从而得出的最小值，得出答案.
【详解】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则
由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即
又，所以，解得
由，则
当，即时，最小值
则圆锥的侧面积为
故选：C
6. 已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.
【详解】设与的夹角为，因为，，所以．
故选：B
7. 已知正项等比数列的前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先可设，通过排除这种情况，再然后设，通过等比数列的求和公式即可得出、，最后根据、、即可得出结果.
【详解】因为等比数列是正项等比数列，所以，，
若，则，，，不满足题意；
若，则，，，
，
因为，，所以若，则，，，
故数列的公比的取值范围为，
故选：B.
8. 已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三棱锥外接球的表面积以及三棱锥的几何特点，求得的长，再根据线面角的定义，求得其正切值的表达式，求其最大值即可.
【详解】根据题意，将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，
且取底面的外心为，连接，且取其中点为，连接如下所示：
因为三棱锥外接球的表面积为，设外接球半径为，则，解得；
对直三棱柱，其外接球球心在的中点处，也即，
故在中，因为，设外接圆半径为，
则，解得；
在中，因为，且，故可得，即，
再由正弦定理可得，则，又为锐角，故；
则，即是以为顶角的等腰三角形；
因为平面，故与平面的夹角即为，则，
又的最小值即为边上的高线，设其长度为，则.
故当最大时，为，即直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为.
故选：B.
【点睛】本题综合考查棱锥外接球问题、解三角形问题以及线面角的求解，处理问题的关键是对每种问题都能熟练的掌握，从而可以灵活的转化，属综合困难题.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点中心对称
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据的周期性、对称性、单调性、值域等知识确定正确选项.
【详解】，所以A选项错误.
，，
，
所以的图象关于点中心对称，B选项正确.
，，所以C选项错误.
，
所以的值域为，D选项正确.
故选：BD
10. 三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正余弦定理逐一判断即可
【详解】A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；
B：由,得，则为钝角，故B能判断；
C：由正弦定理，得，则，，故C能判断；
D：由正弦定理，条件等价于=，
则，即，故，则，故D不能判断.
故选：BC
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为2
B. 若，且，则
C. 以线段，为直径的两个圆外切
D. 若点P在第二象限，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过求得，从而求得双曲线的离心率，由此判断A选项的正确性.结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性.通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性.结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.
【详解】对于A，设，则，因，，
所以，由，得，故A正确.
对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，
又因为，所以，整理得.
由，可得，
即，解得，故B错误，
对于C，设的中点为，O为原点.因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.
对于D，设，则，.因为，所以，，
则渐近线方程为，所以，.
又，，
所以
，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】求解双曲线离心率有关问题，可考虑直接法计算出，从而求得双曲线的离心率；也可以考虑建立或的关系式，通过整体求出或来求得双曲线的离心率.
12. 如图所示，在长方体中，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（ ）
A. 三棱锥的体积恒为定值
B. 存在唯一的点，使得截面的周长取得最小值
C. 不存在点，使得平面
D. 若点满足，则在棱上存在相应的点，使得平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项；将侧面翻折到与底面同一平面，利用、、三点共线可判断B选项；利用线面垂直的判定定理可判断C选项；利用线面平行的判定定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，平面，平面，则点到平面的距离为定值，
又底面的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，
由等体积法可判断三棱锥的体积为定值，则选项A正确；
对于B选项，将侧面翻折到与底面同一平面，得矩形，
连接，与交于点，即为周长最小时的点，则选项B正确；
对于C选项，连接，在底面内过点作，交于点，
又由长方体可知平面，平面，，
因为，平面，平面，，
连接，因为且，则四边形为菱形，
所以，，因，则平面，选项C错误；
对于D选项，当时，设平面交棱于点，连接、，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可证，
所以，四边形为平行四边形，则，
又因为，，所以，，
所以，，又因为，所以，，
过点在平面内作，交棱于点，
因为，，所以，四边形为平行四边形，所以，，
又过点在平面内作，交于点，连接，
再过点在平面内作，交于点，
因为，，所以，四边形也为平行四边形，
所以，且，则且，
连接，则四边形平行四边形，所以，.
因平面，平面，所以，平面，选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题（共4题，总计16分）
13. 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可以得到，进而将式子化为基本量解出答案即可.
【详解】由题意，.
故答案为：4.
14. 定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲､乙､丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：
①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；
②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；
③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.
则数学成绩一定优秀的同学是___________.
【答案】乙
【解析】
【分析】根据中位数、均值、众数、极差等概念，找出满足条件的5个数，看最小的能否小于120即可判断．
【详解】在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，
可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀；
在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，
所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；
在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀.
综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙.
故答案：乙．
15. 设A1，A2，B1分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H．若H到x轴的距离为，则C的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】表示出直线A1D和直线A2H的方程，联立表示出，即可求出离心率.
【详解】直线A1D的方程为，直线A2H的方程为，
联立得．∵，
∴，∴，．
故答案为：.
16. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）
【答案】（，n为奇数）
【解析】
【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.
【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，
则，
故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，
（，n为奇数），
故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.
故答案为：（，n为奇数）.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.
四、解答题（共6题，总计74分）
17. 已知数列{an}满足，且．
（1）请你在①，②中选择一个证明：
①若，则{bn}是等比数列；
②若，则{bn}是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
【答案】（1）详见解析；
（2），.
【解析】
【分析】（1）选择①，利用条件可得，即证；选择②，利用条件可得，即证；
（2）由题可得，利用累加法可求，再利用由分组求和法即求.
小问1详解】
选择①，由，可得，
∴，又，
∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；
选择②，∵，，
∴，又
∴数列{bn}是等差数列.
【小问2详解】
由上可知，即，
∴
，
∴
.
18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．
【答案】（1）
（2）最大值为，此时
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得进而求得.
（2）求得平面四边形面积的表达式，结合三角函数最值的求法求得平面四边形面积的最大值及相应的值.
【小问1详解】
∵，
由正弦定理知，，
由余弦定理知，.
【小问2详解】
由（1）以及，得是等边三角形．
设，则．
余弦定理可得：，
则．
故四边形面积．
∵，∴，
∴当时，S取得最大值为，
故平面四边形面积的最大值为，此时．
19. 长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计，是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量随时间的增长满足指数模型：，其中表示初始时刻的鱼群数量，表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据整理如下：
（1）根据上表与参考数据，建立理相状态下鱼群的数量关于时间的回归方程；
（2）科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率与某个环境指标满足关系：（其中与每年禁渔的总时间（单位：月）有关，.）
（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标的取值范围？
（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.
参考数据
其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由，两边取自然对数得到，得出，结合公式求得的值，即可求解.
（2）（i）当实施禁渔令以后，要使得鱼群数量增加，得到，即可求解；
（ii）设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【小问1详解】
解：由，两边同时取自然对数得，
设，可得，
因为，
所以，
又由，解得，
即关于的回归方程为.
【小问2详解】
解：（i）当实施禁渔令以后，，要使得鱼群数量增加，
则，解得，
（ii）根据题意知，
设函数，则，
令，可得，
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值.
此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少，因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.
20. 在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求二面角P-AB-C的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）面面垂直得线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC；
【小问2详解】
在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，
∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
∵DH⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为，又，，设平面PAB的一个法向量为，
由，取，则，
∴，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，
∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；
21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点、是双曲线的两个实轴顶点，点是双曲线上异于、的任意一点，直线交于，直线交于，证明：直线的倾斜角为定值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设，求得，可设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：由题意得，解得，所以，椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
解：由（1）知，双曲线方程为．
设，则，则，
因、，所以．
设直线的方程为，
联立，消去得，
由韦达定理可得，则，
直线的方程为，
联立，消去可得，
由韦达定理可得，则，
所以，直线的倾斜角为.
22. 已知函数，．
（1）设函数，求的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数在定义域上的单调性，由此可求得函数的最大值；
（2）原不等式等价于，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，结合基本不等式可证得所求不等式成立.
【小问1详解】
解：因为，所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，从而．
【小问2详解】
证明：原不等式等价于，
则，令，则，
所以，在上单调递增．
令，则，，
所以，存在唯一使得，即，
当时，；当时，
此时在上单调递减，在上单调递增，
要证，即要证．
于是原问题转化为证明不等式组，
由，得，代入．
对两边取对数得，代入，得．
因为，当且仅当，时，等号成立，
所以．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
时间（单位：月）
1
2
3
4
5
6
7
鱼群数量（单位：千克）
8
10
14
24
41
76
93
38
1478