2020-2021年吉林长春高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年吉林长春高一数学下学期期中试卷及答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．+D．+
选：C．
2．复数，则z的虚部是（ ）
A．iB．1C．﹣2D．﹣1
选：B．
3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2﹣c2+ac，则角B的大小是（ ）
A．45°B．60C．90°D．135°
选：A．
4．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
选：A．
5．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（ ）
A．B．1C．D．
选：D．
6．已知向量，，则△ABC的面积为（ ）
A．5B．10C．25D．50
选：A．
7．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
选：D．
8．正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（ ）
A．B．C．D．
选：A．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）
A．＝，B．
C．D．
选：BD．
10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积与球的表面积相等
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为π
C．圆柱的表面积为4πR2
D．圆柱的体积等球与圆锥的体积之和
选：AD．
11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．sin（B+C）＝sinA
B．cs（A+B）＝csC
C．若A＞B，则sinA＞sinB
D．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形
选：AC．
12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（ ）
A．B．
C．D．
选：AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应的横线上）
13．已知向量＝（1，csθ），且，则＝ ．
答案为：．
14．已知复数z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，复数z满足，则|z|＝ ．
答案为：．
15．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，那么△ABC的外接圆的直径等于 5 ．
答案为5
16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面四边形ABCD为正方形，四条侧棱PA＝PB＝PC＝PD，点E和F分别为棱BC和PD的中点．若过A、E、F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为，且异面直线AB与PD的成角余弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为 48π ．
故答案为：48π．
四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（18分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z对应的点在第二象限．
解得：﹣3＜m＜﹣1．
18．已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（1，3），B（2，1），C（4，m）．
（1）若，求实数m的值；
（2）若A，B，C三点共线，求实数m的值．
解得实数m＝；
（2）＝（1，﹣2），＝（3，m﹣3），
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴，
解得实数m＝﹣3．
19．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距200m的C、D两点，并测得∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，求A、B两点之间的距离．
解：在△ACD中，CD＝200，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，∠DAC＝45°，
∴根据正弦定理得：，解得，
在△BCD中，CD＝200，∠BCD＝120°，∠BDC＝15°，∠DBC＝45°，
∴根据正弦定理得：，解得，
∵∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，
∴∠ADB＝90°，
∴＝．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求C；
（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．
解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC（acsB+bcsA）＝c．
所以2csC（sinAcsB+sinBcsA）＝sinC．
整理得：2csCsin（A+B）＝2csCsinC＝sinC，
故：csC＝．
由于0＜C＜π，故
C＝．
（2）由于，解得ab＝6，
由于c2＝a2+b2﹣2abcsC，
所以7＝（b+a）2﹣2ab﹣ab，
整理得：a+b＝5．
则：．
21．（18分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．
（1）证明：CD⊥平面PAC；
（2）若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
（3）若直线PC与平面ABCD成角为45°，求三棱锥A﹣PCD的体积．
解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，
又由CD⊥PC，而PA∩PC＝A，
则CD⊥平面PAC；
（2）取PD的中点F，连接EF，
E是PA的中点，F是PD的中点，则EF∥AD且EF＝AD，
又由AB⊥BC，AB＝BC，则∠BAC＝45°，则有∠CAD＝45°，
又由CD⊥平面PAC，则CD⊥AC，则△ACD为等腰直角三角形，
又由AB＝BC＝1，则AC＝，AD＝AC＝2，
必有EF＝AD＝1，而AD∥BC且BC＝1，
则EF∥BC且EF＝BC，
故四边形EFCB是平行四边形，必有BE∥CF，
又由BE不在平面PCD上，但CF在平面PCD内，
则有BE∥平面PCD；
（3）根据题意，若直线PC与平面ABCD成角为45°，即∠PCA＝45°，则有PA＝AC＝，
VA﹣PCD＝VD﹣PAC＝×DC×S△PAC＝××（××）＝．