2020-2021年山西太原高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年山西太原高一数学下学期期中试卷及答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．若复数z＝2﹣3i，则z的共轭复数为（ ）
A．3+2iB．﹣2+3iC．2+3iD．﹣2﹣3i
2．下列结论正确的是（ ）
①正棱柱的侧面均为全等的矩形；
②棱台侧棱所在的直线必交于一点；
③矩形旋转一周一定形成一个圆柱；
④用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形．
A．①②B．①④C．③④D．①②③
3．是四边形ABCD为矩形的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下面是关于复数z＝1﹣i的三个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝﹣2i；p3：z的虚部为﹣1．其中的真命题为（ ）
A．p1，p2，p3B．p1，p2C．p1，p3D．p2，p3
5．已知四边形ABCD为平行四边形，点A，B，D的坐标分别是（1，2），（3，5），（0，4），则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，9）B．（3，8）C．（2，7）D．（﹣2，1）
6．已知||＝1，与非零向量同向的单位向量为，且＜，＞＝，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
7．若复数z满足1＜|z|≤2，则在复平面内，z对应的点组成图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
8．下列命题正确的是（ ）
A．若a与b是两条相交直线，且a与平面α平行，则b与平面α相交
B．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线
C．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
D．若a，b分别是长方体的两个相邻平面的对角线所在的直线，则a，b是异面直线
9．一平面截一球得到直径为4cm的圆面，球心到这个平面的距离为2cm，则该球的体积为（ ）
A．B．64πcm3C．D．
10．若非零向量满足，且，则△ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边与腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2，2acsC＝bcsC+ccsB，sinB＝2sinA，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知||＝2||＝2，•＝﹣3，若|﹣﹣|＝1，则||的取值范围是（ ）
A．（2，4）B．[2，4]C．[﹣1，+1]D．[2﹣1，2+1]
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案写在题中横线上）
13．已知i为虚数单位，则＝ ．
14．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，则该圆锥的高为 ；体积为 ．
15．已知等腰梯形ABCD中，若＝2，||＝||＝2，＝2，＝，则•＝ ．
16．已知△ABC中，，直线PC与QB交于点O，若，则λ+μ＝ ．
三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝2，c＝2．
（1）若csA＝，求a；
（2）若C＝，解这个三角形．
18．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）．
（1）若（2﹣）∥，求k；
（2）若k＝1，求2﹣与的夹角的余弦值．
19．如图，A，B两点都在河的对岸，且都不能到达，在A，B两点的对岸选取相距为9m的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B间的距离．
（本小题10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答。（A）
20．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，棱长为2，D在边BC上，BD＝2DC．
（1）求该三棱柱的体积与表面积；
（2）求三棱锥D﹣AB1C的体积．
选做题（B）
21．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点；
（1）求该三棱柱的体积与表面积；
（2）求三棱锥D﹣AB1C1的内切球半径．
（本小题10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答。（A）
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝（sinC﹣sinB，sinC+sinA），＝（c﹣a，b），且∥．
（1）求A；
（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
选做题（B）
23．锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，且．
（1）求C；
（2）若c＝2，求的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）
1．若复数z＝2﹣3i，则z的共轭复数为（ ）
A．3+2iB．﹣2+3iC．2+3iD．﹣2﹣3i
选：C．
2．下列结论正确的是（ ）
①正棱柱的侧面均为全等的矩形；
②棱台侧棱所在的直线必交于一点；
③矩形旋转一周一定形成一个圆柱；
④用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形．
A．①②B．①④C．③④D．①②③
选：D．
3．是四边形ABCD为矩形的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
选：B．
4．下面是关于复数z＝1﹣i的三个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝﹣2i；p3：z的虚部为﹣1．其中的真命题为（ ）
A．p1，p2，p3B．p1，p2C．p1，p3D．p2，p3
选：A．
5．已知四边形ABCD为平行四边形，点A，B，D的坐标分别是（1，2），（3，5），（0，4），则点C的坐标是（ ）
A．（﹣1，9）B．（3，8）C．（2，7）D．（﹣2，1）
选：C．
6．已知||＝1，与非零向量同向的单位向量为，且＜，＞＝，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
选：B．
7．若复数z满足1＜|z|≤2，则在复平面内，z对应的点组成图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
选：C．
8．下列命题正确的是（ ）
A．若a与b是两条相交直线，且a与平面α平行，则b与平面α相交
B．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线
C．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
D．若a，b分别是长方体的两个相邻平面的对角线所在的直线，则a，b是异面直线
选：B．
9．一平面截一球得到直径为4cm的圆面，球心到这个平面的距离为2cm，则该球的体积为（ ）
A．B．64πcm3C．D．
选：A．
10．若非零向量满足，且，则△ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边与腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
选：D．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2，2acsC＝bcsC+ccsB，sinB＝2sinA，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
选：D．
12．已知||＝2||＝2，•＝﹣3，若|﹣﹣|＝1，则||的取值范围是（ ）
A．（2，4）B．[2，4]C．[﹣1，+1]D．[2﹣1，2+1]
选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案写在题中横线上）
13．已知i为虚数单位，则＝ 1+i ．
答案为：1+i．
14．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，则该圆锥的高为 ；体积为 ．
答案为：；．
15．已知等腰梯形ABCD中，若＝2，||＝||＝2，＝2，＝，则•＝ ﹣ ．
解：建立如图所示直角坐标系，过D作x轴的垂线，垂足为E，
因为|CD|＝2，所以|AB|＝2|CD|＝4，
又因为四边形ABCD为等腰梯形，
所以|AE|＝（|AB|﹣|CD|）＝1，
因为|AD|＝2，所以|DE|＝，
因为，所以P为AB上近B的三等分点，则P（，0），B（4，0），C（3，），D（1，），
又因为，所以Q为BC中点，则Q（，），
所以＝（，﹣），＝（，），
则•＝×﹣×＝＝﹣．
16．已知△ABC中，，直线PC与QB交于点O，若，则λ+μ＝ ．
答案为：．
三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b＝2，c＝2．
（1）若csA＝，求a；
（2）若C＝，解这个三角形．
解：（1）∵b＝2，c＝2，csA＝，
∴由余弦定理可得：a＝
＝＝4；
（2）由正弦定理：，得sinB＝，
∵b＞c，C＝，∴B＝或，
当B＝时，csA＝cs（π﹣B﹣C）＝﹣cs（B+C）＝﹣cs（）
＝﹣（cscs﹣sinsin）＝，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA＝8+4，得a＝；
当B＝时，csA＝cs（π﹣B﹣C）＝﹣cs（B+C）＝﹣cs（）
＝﹣（cscs﹣sinsin）＝，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA＝8﹣4，得a＝．
综上所述，若B＝，则A＝，a＝；
若B＝，则A＝，a＝．
18．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）．
（1）若（2﹣）∥，求k；
（2）若k＝1，求2﹣与的夹角的余弦值．
解：（1），
由，得2k﹣1＝4，
解得．
（2），
设与的夹角为θ，
则，
∴2﹣与的夹角的余弦值为．
19．如图，A，B两点都在河的对岸，且都不能到达，在A，B两点的对岸选取相距为9m的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B间的距离．
解：如图所示，∵∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝75°+45°＝120°，
∴在△ACD中，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝30°＝∠ADC，
∴AC＝CD＝9，
在△BCD中，∠CBD＝60°，
∴由正弦定理，得＝，可得BC＝9•＝6sin75°，
在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcs∠ACB＝92+（sin75°）2﹣2×9×sin75°cs75°＝135，
∴AB＝m，
即A，B之间的距离为3．
（本小题10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答。（A）
20．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为，棱长为2，D在边BC上，BD＝2DC．
（1）求该三棱柱的体积与表面积；
（2）求三棱锥D﹣AB1C的体积．
解：（1）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝S△ABC•AA1＝，
表面积S＝2＝＝；
（2）∵BD＝2DC，∴BD＝，DC＝，
∴＝．
选做题（B）
21．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点；
（1）求该三棱柱的体积与表面积；
（2）求三棱锥D﹣AB1C1的内切球半径．
解：（1）该三棱柱的体积V＝S△ABC•AA1＝，
表面积S＝＝；
（2）＝，
＝＝；
∵，B1C1＝2，
∴cs，则sin，
∴，
则三棱锥D﹣AB1C1的表面积为，
设三棱锥D﹣AB1C1的内切球半径为r，则，
即r＝．
（本小题10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答。（A）
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝（sinC﹣sinB，sinC+sinA），＝（c﹣a，b），且∥．
（1）求A；
（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：（1）因为＝（sinC﹣sinB，sinC+sinA），＝（c﹣a，b），且∥，
所以b（sinC﹣sinB）＝（c﹣a）（sinC+sinA），
由正弦定理可得b（c﹣b）＝（c﹣a）（c+a），可得b2+c2﹣a2＝bc，
所以csA＝＝＝，
因为A∈（0，π），
所以A＝．
（2）因为A＝，a＝，△ABC的面积为＝bcsinA＝bc，
所以bc＝6，
又由余弦定理可得7＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣3×6，解得b+c＝5，
所以△ABC的周长a+b+c＝+5．
选做题（B）
23．锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，且．
（1）求C；
（2）若c＝2，求的最大值．
解：（1）根据题意，，，且．
则•＝sinB•c+b（csC﹣2）＝0，则有sinBsinC+sinBcsC﹣2sinB＝0，
变形可得：sinC+csC＝2，即sin（C+）＝1，
又由0＜C＜，C＝；
（2）根据题意，c＝2，则＝＝＝＝，变形可得a＝sinA，b＝sinB，
故＝（sinA+sinB）＝[sinA+sin（﹣A）]＝（sinA+csA）＝sin（A+θ），tanθ＝，
△ABC为锐角三角形，则0＜A＜，0＜B＝﹣A＜，
则有＜A＜，
tanθ＝，则＜θ＜，故＜A+θ＜，
故当A+θ＝时，sin（A+θ）取得最大值1，此时取得最大值；
故的最大值为．