湖南省衡阳市2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份湖南省衡阳市2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学
时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（共11小题）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B． C．2 D．3
3．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么DE的长是（ ）
A． B． C． D．
5．若点P的坐标满足条件，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．设，是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．已知，用含a，b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A． B．ab C．2a D．2b
8．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点在第一象限角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B． C．2或3 D．或6
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是一元二次方程的根，则；
④若c是方程的一个根，则一定有成立．
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二、填空题（共4小题）
11．要使二次根式有意义，则x的取值范围是____________．
12．已知，则的值为____________．
13．已知a是方程的一个实数根，则的值为____________．
14．已知为最简二次根式，且能够与合并，则a的值是____________．
15．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是____________．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，其中m，n满足关系式．若在第二象限内有一点，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积之比为，则点P的坐标为____________．
三、解答题（共10小题）
17．计算：
18．解方程：
19．（1）若，则x的取值范围为____________；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简
20．如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽（的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
21．已知关于x的方程有两个不相等实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程其中一个根为，求方程的另一个根．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD，（O是坐标原点）
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
24．若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，和的差构成一个新函数y，即．称y是的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）己知“天数点1”为点，“天数点2”为点．点在“数天数函数”图象上，求y的解析式；
（2）已知“天数点1”为点，“天数点2”为点，y是“数天数函数”，求的最小值；
（3）关于x的方程的两个实数根，“数天数函数”．若，，且，求m的值．
25．如图所示，中，．点P从点A开始沿AB边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒
（1）是否存在某一时刻t，使？若存在，请求出此刻t的值，若不存在请说出理由．
（2）当t为何值时，点PQ之间的距离为?
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于?
参考答案
一、选择题（共11小题）
1．A
解析：解：根据最简二次根式的定义可知，是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此，不是最简二次根式；
2．D
解析：解：一元二次方程一次项系数是：3．
3．C
解析：解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项符合题意；
D，，所以D选项不符合题意；
4．A
解析：解：直线，
．
5．C
解析：解：由点A的坐标满足条件，得
．解得．即．
6．D
解析：解：是一元二次方程的两个实数根，．
7．B
解析：解：．
8．A
解析：解：由题意得：，
9．A
解析：解：点在第一象限角平分线上，
，解得，
当m=-1时，，点在第三象限，不符合题意，
所以，m的值为6．
10．D
解析：解：①若，则方程必有一个根为1，，正确；
②若，则，可知，方程必有两个不相等的实根，正确；
③若是一元二次方程的根，则，
，即，正确；
④若c是方程的一个根，则，若时，不成立，错误．
二、填空题（共4小题）
11．
解析：解：由题意得，，解得．
12．3
解析：解：，
13．2023
解析：解：是方程的一个实数根，
，即
．
14．8
解析：解：．
15．10
解析：解：方程分解得：，
可得或，解得：或，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为，
16．
解析：解：，，解得，
，即，
，
，
四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积之比为，
，解得，
．
三、解答题（共10小题）
17．
解析：解：原式．
18．
解析：解，．
19．；
解析：（1）．．故答案为：．
（2）由题：．原式．
20．；
解析：解：（1）长方形ABCD的周长．
答：长方形ABCD的周长是；
（2）种植青菜部分的面积为：
答：种植青菜部分的面积为．
21．；0
解析：解：（1）Q关于x的方程有两个不相等实数根，
．
（2）将代入原方程，得：，解得：．
当时，方程的另一个根为；
22．；50
解析：解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
22．或；1或9
解析：解：（1）把代入，得反比例函数的解析式为，
把代入，得，
把坐标分别代入，
得，解得一次函数的解析式为；
（2）由图可知，当一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围为：或；
（3）设直线AB向下平移n个单位长度，此时直线AB对应的表达式为，
联立方程组得，消去y得，整理得，
由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
，即，整理得，解得，
将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点，
23．；2；
解析：解：（1）根据题意得，，
点在“数天数函数”图象上，
的解析式为；
（2）根据题意得，，配方得，，
当时，的最小值为2；
（3）方程的两个实数根①，②，，且，
把代入①得，，解得，，
把代入②得，，解得，．
25．；2秒或；
解析：解：设点P，Q移动的时间为x秒，则，
．
（1），即．即后，；
（2），即，
当2秒或时，P，Q之间的距离为；
（3）当时，，即，则，
解得（舍），．
当时，则，
则的面积，解得：或9（均舍去）；
当时，，
，
故方程无实数根．
综上所述，当t为时，的面积等于．