山西省大同市平城区三校联考2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省大同市平城区三校联考2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.将方程x2－8x＝10化为一元次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A.－8、－10B.－8、10C.8、－10D.8、10
3.等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（ ）
A.2B.3C.4D.5
4.已知关于x的一元二次方程（a－5）x2－4x－1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A.a≥1B.a＞1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠5
5.将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A.y＝－2（x＋1）2－1B.y＝－2（x＋1）2＋3
C.y＝－2（x－1）2＋1D.y＝－2（x－1）2＋3
6、4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）
图（1） 图（2）
A.第一张、第二张B.第二张、第三张
C.第三张、第四张D.第四张、第一张
7、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A.2B.4C.4D.8
8.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（ ）
A.22°B.32°C.34°D.44°
9、如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A.（32－2x）（20－x）＝570 B.32x＋2×20x＝32×20－570
C.（32－x）（20－x）＝32×20－570D.32x＋2×20x－2x2＝570
10.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，给出下列结论：
①ac＜0；②b2－4ac＞0；③2a－b＝0；④a－b＋c＝0，其中，正确的结论有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11、若x＝2是方程x2－mx＋2＝0的根，则m＝ ．
12、某村种的水稻前年平均每公顷产7200kg，今年平均每公顷产8450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为 ．
13、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为（0°＜＜90°）．若∠1＝110°，则＝ ．
14、如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2＋bx＋c＞x＋m解集为 ．
15、如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝，PB＝，PC＝2，则这个等边三角形ABC的边长为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（每小题4分，共8分）解下列方程：
（1）x2－2x－1＝0
（2）（x－2）2＝2x－4
17、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，0），B（－4，1），C（－2，2）．
（1）直接写出点B关于点C对称的点的坐标： ；
（2）请画出△ABC关于点O成中心对称的△；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△．
18、（6分）如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝－0.5x2＋3x＋1的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝5米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
19、（8分）如图，已知⊙O中，弦AB＝8，点P是弦AB上一点，OP，∠OPB＝45°．
（1）求OB的长；
（2）过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB＝CD．
20、（10分）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E．交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
21、（10）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
22.（12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，如图①所示，已知直角三角形ABC中，BC＝AC，点E，D为AC、BC边的中点．
操作探究
将△ECD以点C为旋转中心逆时针旋转，得到△，连接．
图① 图② 图③ 图④
（1）如图②，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图③，当B，，三点在同一直线上时，∠AC＝20°，求旋转角的度数；
（3）如图④，当旋转到某一时刻，，延长与交于点F，请判断四边形
的形状，并说明理由；
23、（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）若点P为线段OA上方抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．
2023－2024学年第一学期九年级数学期中考试答案
一、选择题
二、填空题
11.312.7200（1＋x）2＝845013.20°14.x＜11或x＞315.
三、解答题
16.（8分）
（1）x2－2x－1＝0
x2－2x－1＋2＝2
x2－2x＋1＝2
（x－1）2＝2
x－1＝±
∴x－1＝或x－1＝－
（2）（x－2）2＝2x－4
（x－2）2－2x＋4＝0
X2－4x＋4－2x＋4＝0
X2－6x＋8＝0
（x－2）（x－4）＝0
17.（8分）
（1）（4，－1）
（2）如图所示，△为所求作的图形；
（3）如图所示，△为所求作的图形．
18.（6分）
（1）y＝－0.5x2＋3x＋1
a＝－ b＝3 c＝1
h＝
∴顶点（3，5.5）
答：演员弹跳离地面的最大高度为5.5米．
（2）当x＝4，代入
＝－8＋12＋1
＝5
∵5＝5
∴这次表演成功了．
19.（8分）
（1）过O作OH⊥AB

∴△OHP为等腰直角三角形
设OH＝PH＝x
在Rt△PHO中
OH2＋PH2＝OP2
2x2＝18
x2＝9
（舍）
∴OH＝PH＝3
在Rt△DHB中
OB＝＝5
∴OB＝5
（2）过O作OE⊥CD ∴
∴四边形OEPH为矩形
又∵OH＝PH
∴四边形OEPH为正方形
∴OE＝OH＝3
连接OC
∴OC＝OB＝５
在Rt△CEO中
CE＝＝4
∴CD＝2CE＝8
∴AB＝CD＝8
20.（10分）
（1）连接OB
∵OB，OC为⊙O半径
∴OB＝OC
∵CB⊥OA
∴∠OED＝∠BEO＝90°
在Rt△CED和Rt△BED中
∴Rt△CED≌Rt△BED（HL）
在△AOC和△AOB中
∴△AOC≌△AOB（SAS）
∵OC为⊙O半径
∴AC为⊙O的切线．
（2）∵△AOC≌△AOB
∴AB＝AC OB＝OC＝2
∵AB为⊙O的切线
在Rt△BOD中
BD＝
设AB＝AC＝x，则AD＝
∵AC为⊙O的切线
CD＝OC＋OD＝2＋5＝7
在Rt△ACD中
AC2＋CD2＝AD2
∴AC＝AB
∴AD＝AB＋BD
21.（10分）
（1）解：设水果涨价了x元，则少售出10x千克
（500－10x）（50＋x－40）＝8750
（500－10x）（10＋x）＝8750
5000＋500x－100x－10x2＝8750
－10x2＋400x＝3750
－x2＋40x－375＝0
x2－40x＋275＝0
（x－25）（x－15）＝0
当x＝25时，50＋x＝75
当x＝15时，50＋x＝65
答：当月利润为8750元时，水果售价为75元或65元．
（2）设月利润为W
W＝（500－10x）（50＋x－40）
＝（500－10x）（10＋x）
＝5000＋500x－100x－10x2
＝－10x2＋400x＋5000
a＝－10 b＝400 c＝5000
∵a＝－10 开口向下
∴当x＝20时，月利润最大
售价＝50＋20＝70（元）
答：当售价为70元时，获得的月利润最大．
22.（12分）
（1）
∵AB＝AC，E、D为AC、BC中点
又∵△ABC为Rt△ ∠C＝90°
即
在△与△中
∴△≌△（SAS）
∵AC＝BC，∠ACB＝90°
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
反向延长，交于F

∴
∴BF⊥AF
（2）由（1）知，设交AC于F

∴旋转角为25°．
（3）
又
由（1）知
∵
又
即四边形为矩形
又
∴四边形为正方形．
23.（13分）
（1）y＝－x2＋bx＋c
a＝－1
设
设代入
y＝－x（x－4）＝－x2＋4x
∴抛物线表达式：y＝－x2＋4x
抛物线对称轴为直线x＝2
（2）将x＝3代入y＝－x2＋4x
＝－9＋12＝3
∴A的坐标为（3，3）
设OA的解析式为y＝kx
将点A（3，3）代入
3＝3k
k＝1
∴OA的解析式为y＝x
设P的坐标为（x，－x2＋4x）
则Q的坐标（x，x）
＝－x2＋4x－x
a＝－1 b＝3
∴PQ长度的最大值为．
（3）存在，N的坐标为，（2，0），．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
B
C
D
A
C
C
A
C