2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县高二上学期11月期中数学试题(含解析 )

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县高二上学期11月期中数学试题(含解析 )，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过A-1,2，B-4,8两点的直线的斜率是
( )
A. 2B. -2C. 12D. -12
2.直线l1：mx+3y+1=0，l2：2x+5+my+2=0，若l1//l2，则实数m的值为
( )
A. -6B. 1C. -6或1D. -3
3.圆C1：x2+y2=1与圆C2：x+22+y2=4的公切线条数为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，则双曲线的渐近线方程为
( )
A. y=±12xB. y=± 33xC. y=± 3xD. y=±2x
5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积是8 3π，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为
( )
A. x224+y28=1B. x228+y212=1C. x232+y216=1D. x236+y218=1
6.圆x2+y2+2x+2y=0上的点到直线x-y-2=0的距离的最大值为
( )
A. 2B. 2 2C. 3 22D. 5 22
7.已知点P到直线l1：x-y-4=0和直线l2：x-y-2=0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为
( )
A. 3 2B. 2C. 3 22D. 4
8.椭圆C：x29+y25=1长轴的左右两个端点分别是A，B，点C满足4AC=5BC，则▵ABC面积的最大值为
( )
A. 40B. 44C. 433D. 533
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线的点斜式方程y-y1=kx-x1可以表示任何直线
B. 直线y=4x-2在y轴上的截距为-2
C. 直线2x-y+3=0关于点3,2对称的直线方程是2x-y-11=0
D. 直线l1：x+2y+1=0与l2：2x+4y+3=0之间的距离为2 55
10.已知直线l过点P-2,-3，若点M2,-1和点N4,5到直线l的距离相等，则直线l的方程为
( )
A. 3x-y-3=0B. 3x-y+3=0C. x-y-1=0D. x+y-3=0
11.我们把离心率为 5+12的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线E：x2a2-y2=1(a>0)是理想双曲线，左右顶点分别为A1，A2，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则
( )
A. a2e=1B. 顶点到渐近线的距离为e
C. A2B⊥FBD. ▵A2FB的外接圆的面积为2+ 54π
12.已知圆C：x-3k2+y-4k+12=1+25k2，则下列结论中正确的有
( )
A. 圆C过定点B. 点0,0在圆C外
C. 直线4x-3y-3=0平分圆周D. 存在实数k，使圆与x轴相切
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.直线 3x-y+2=0的倾斜角为______．
14.方程x2m-2+y26-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
15.已知圆O：x2+y2=9，过点-2,-4作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程是________．
16.已知P是双曲线x29-y27=1上的点，F为双曲线的右焦点，点A的坐标为5,1，则PF+PA的最小值是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知直线l过点-3,7，直线l'：x-3y+8=0．
(1)若直线l⊥l'，求直线l的方程；
(2)若直线l为入射光线，经直线l'反射，其反射光线经过点0,6，求l的方程．
18.(本小题12.0分)
已知圆C：x-a2+y-22=4，直线l：x-y+3=0，l与圆C相交于A，B两点，|AB|=2 2．
(1)求实数a的值；
(2)当a>0时，求过点-1,6并与圆C相切的直线方程．
19.(本小题12.0分)
设m为实数，直线2m+1x+m+1y-5m-3=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求l1的方程．
20.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点P到点1,0的距离与到直线x=-1的距离相等，记动点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l与C相交异于坐标原点的两点M，N，若OM⊥ON，证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标．
21.(本小题12.0分)
已知双曲线C经过点 6, 62，两个焦点在x轴上，离心率为 72．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为kk≠0的直线l与双曲线C相交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，点A关于y轴对称点为A1，点B关于x轴对称点为B1，设直线A1B1的斜率为k1，请问k与k1的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
22.(本小题12.0分)
已知焦距为2的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别为其左右焦点，过点F2的直线l1与椭圆交于A，B两点，▵ABF1的周长为8．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点F2的直线l2与椭圆交于C，D两点且满足l1⊥l2，求四边形ACBD面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】直接代入直线斜率公式即可．
解：经过A-1,2，B-4,8两点的直线的斜率是k=8-2-4-(-1)=-2．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据已知得出m2+5m-6=0，求解得出m的值，代入l1,l2的方程检验，即可得出答案．
解：由l1//l2可得，m5+m-3×2=0，即m2+5m-6=0，
解得m=-6或m=1．
当m=-6时，l1方程为-6x+3y+1=0，l2方程为2x-y+2=0不重合，满足；
当m=1时，l1方程为x+3y+1=0，l2方程为2x+6y+2=0，即x+3y+1=0，与l1重合，舍去．
综上所述，m=-6．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据两圆的标准方程，判断出两圆的位置关系，即可得出结果．
解：因为圆C1：x2+y2=1的圆心为C1(0,0)，r1=1，
圆C2：x+22+y2=4的圆心为C2(-2,0)，r2=2，
所以C1C2=2，可得r2-r1=10)
的渐近线方程为y=±bax,即：y=±2x.
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】由椭圆面积公式求得关于a，b的关系式，结合等边三角形性质可得a，b的基本关系，联立方程即可求解．
解：由椭圆面积公式可得Sπ=ab，依题意有ab=8 3①，
又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得 a2+b2=2b②，
联立①②得：b2=8,a2=24，
故椭圆的方程为x224+y28=1．
故选：A
6.【答案】B
【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得．
解：圆(x+1)2+(y+1)2=2的圆心为(-1,-1)，半径为 2，
则点(-1,-1)到直线x-y-2=0的距离为|-1-(-1)-2| 12+(-1)2= 2，
所以圆x2+y2+2x+2y=0上的点到直线x-y-2=0的距离的最大值为2 2．
故选：B
7.【答案】C
【解析】【分析】由两直线平行可判断点P所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可．
解：因为直线l1：x-y-4=0和直线l2：x-y-2=0平行，且点P到他们的距离相等，
所以点P在直线l:x-y-3=0上，
当OP⊥l时，点P到坐标原点距离的最小，
为-3 12+-12=3 22
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】由题意得A(-3,0),B(3,0)，设C(x,y)，则由4AC=5BC可得x-4132+y2=16009，从而可求得y≤403，进而可求出▵ABC面积的最大值．
解：由x29+y25=1，得a2=9，则a=3，
所以A(-3,0),B(3,0)，则AB=6，设C(x,y)，
所以AC= (x+3)2+y2,BC= (x-3)2+y2，
因为4AC=5BC，所以4 (x+3)2+y2=5 (x-3)2+y2，
所以16(x2+6x+9+y2)=25(x2-6x+9+y2)，
化简得9x2-246x+9y2+81=0，即x2-823x+y2+9=0，
所以x2-823x+16819+y2=16819-9=16009，
所以x-4132+y2=16009，
所以y2=16009-x-4132≤16009，当且仅当x=413时取等号，
所以y≤403，
所以S▵ABC=12ABy≤12×6×403=40，
所以▵ABC面积的最大值为40，
故选：A
9.【答案】BC
【解析】【分析】根据点斜式方程判断A；根据斜截式方程判断B；设直线2x-y+3=0关于点3,2对称的直线方程是2x-y+t=0,t≠3，利用点到直线的距离公式求解判断C；利用平行线间距离公式判断D．
解：直线的点斜式方程y-y1=kx-x1不表示直线x=x1，故 A不正确；
由直线的斜截式方程可知，直线y=4x-2在y轴上的截距为-2，故 B正确；
设直线2x-y+3=0关于点3,2对称的直线方程是2x-y+t=0,t≠3，
由点3,2到两直线的距离相等得2×3-2+3 22+-12=2×3-2+t 22+-12，解得t=-11，
则直线2x-y+3=0关于点3,2对称的直线方程是2x-y-11=0，故 C正确；
直线l1：x+2y+1=0即2x+4y+2=0，与l2：2x+4y+3=0之间的距离为d=|3-2| 22+42= 510，故 D不正确．
故选：BC．
10.【答案】BC
【解析】【分析】由题意，直线l存在斜率，设直线l的方程为y+3=kx+2，利用点到直线的距离公式求解．
解：当直线l的斜率不存在时，方程为x=-2，M2,-1和N4,5到直线l的距离不相等，
因此直线l存在斜率，设直线l的方程为y+3=kx+2，即kx-y+2k-3=0，
若点M2,-1和点N4,5到直线l的距离相等，
则|2k+1+2k-3| k2+1=|4k-5+2k-3| k2+1，即4k-2=6k-8，解得k=3或k=1，
∴直线l的方程为3x-y+3=0或x-y-1=0．
故选：BC．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】根据离心率求出a2，利用双曲线的性质结合选项逐个判定即可．
解：因为e= 5+12，所以 a2+1a= 5+12，解得a2=2 5+1；
对于A，a2e==2 5+1× 5+12=1， A正确；
对于B，渐近线的方程为y=±1ax，右顶点a,0到渐近线的距离为d=a a2+1= 11+1a2=1e，B不正确；
对于C，设双曲线的焦距为2c，由a2e=1得ac=1，FB=c,1,BA2=a,-1，
因为FB⋅BA2=ac-1=0，所以A2B⊥FB， C正确；
对于D，由A2B⊥FB可知，▵A2FB的外接圆的半径为12a+c，
所以面积为π4a+c2=π4a2+2ac+c2=π42a2+3=2+ 54π， D正确．
故选：ACD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】选项A，将圆的方程化简得到x2+y2+2y-k(6x+8y+8)=0，再由x2+y2+2y=06x+8y+8=0即可求出圆过点；
选项B，利用点与圆位置关系的判断方法即可判断出选项的正误；
选项C，根据条件，可得圆心(3k,4k-1)在直线4x-3y-3=0上，从而可判断出选项 C的正误；
选项D，根据条件可得4k-1= 1+25k2，从而求出k，即可解决问题．
解：对于选项A，由x-3k2+y-4k+12=1+25k2，得到x2-6kx+9k2+y2-2(4k-1)y+16k2-8k+1=1+25k2，
整理得到x2+y2+2y-k(6x+8y+8)=0，
由x2+y2+2y=06x+8y+8=0，得到x=-45y=-25或x=45y=-85，故圆C过定点(-45,-25)和(45,-85)，所以选项 A正确；
对于选项B，因为圆心为(3k,4k-1)，r= 1+25k2，
点0,0到圆心的距离d= 9k2+16k2-8k+1= 1+25k2-8k，
又因为k∈R，当k>0时，d0m-2>0，解得20，所以C:x-12+y-22=4，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-1，
圆心到x=-1的距离为1--1=2=r，所以x=-1与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y-6=kx+1，即kx-y+k+6=0，
因为直线与圆相切，所以k-2+k+6 k2+1=2，
所以k=-34，所以直线方程为3x+4y-21=0，
所以过点-1,6并与圆C相切的直线方程为x=-1或3x+4y-21=0．

【解析】【分析】(1)根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于a的方程即可求解出结果；
(2)分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解．
19.【答案】解：(1)
因为直线(2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0，
所以m(2x+y-5)+x+y-3=0，对∀m∈R恒成立，
从而由2x+y-5=0x+y-3=0，解得x=2y=1，从而直线过定点M(2 , 1)．
(2)
由题意设l1:xa+yb=1 (a>0 , b>0)，
因为直线l1过定点(2 , 1)，所以2a+1b=1 ，
l1与两坐标轴的正半轴的截距之和为a+b，
∴a+b=(a+b)(2a+1b)=3+2ba+ab≥3+2 2，当且仅当ab=2ba，
即a= 2+2 , b= 2+1时等号成立，
从而l1的方程为x 2+2+y 2+1=1，即y=- 22x+ 2+1．

【解析】【分析】(1)列出方程m(2x+y-5)+x+y-3=0，解方程组2x+y-5=0x+y-3=0，可求出定点；
(2)设出直线l1的方程xa+yb=1 (a>0 , b>0)，将点M(2 , 1)代入，可得2a+1b=1 ，利用基本不等式可求得a+b取最小值时的a，b，从而得解．
20.【答案】解：(1)
法一： 因为P到点(1 , 0)的距离与到直线x=-1的距离相等；
所以P的轨迹是以(1,0)为焦点x=-1为准线的抛物线故可设C的方程为y2=2px(p>0)，
则有p2=1 所以p=2，
故C的方程为y2=4x．
法二： 设P的坐标为(x , y)则有 (x-1)2+y2=x+1，
所以(x+1)2+y2=(x+1)2．
即y2=4x，所以C的 方程为y2=4x．
(2)
法一： 设l方程为x=my+n(n≠0) , M(x1 , y1),N(x2 , y2)，
因为OM⊥ON，所以OM⋅ON=0，即x1x2+y1y2=0．
所以(my1+n)(my2+n)+y1y2=0，即(m2+1)y1y2+mny1y2+n2=0；
由x=my+ny2=4x得y2-4my-4n=0，
所以y1+y2=4m , y1y2=-4n．
所以-4n(m2+1)+4m2n+n2=0，即n2-4n=0，所以n=4；
所以l方程为x=my+4，
故l恒过定点(4,0)．
法二： 设M(y124 , y1) , N(y224 , y2)(y1y2 0,b>0)，
双曲线C经过点 6, 62，则有6a2-64b2=1，
因为e= 1+b2a2= 72，所以b2a2=34，即4b2=3a2．
所以4a2=1，所以a2=4,b2=3，
所以双曲线C的标准方程为x24-y23=1．
(2)
法一：由题可得A1(-x1,y1),B1(x2,-y2)，
所以k=y2-y1x2-x1,k1=-y1+y2x1+x2，所以kk1=-y22-y12x22-x12，
因为x124-y123=1,x224-y223=1，所以x22-x124-y22-y123=0，
所以y22-y12x22-x12=34，所以kk1=-34．
所以k与k1的乘积为定值，定值为-34．
法二：由题可得A1(-x1,y1),B1(x2,-y2)，
设直线l方程为y=kx+t，则y1=kx1+t,y2=kx2+t，
所以A1(-x1,kx1+t),B1(x2,-kx2-t)，所以k1=-k-2tx1+x2，
由y=kx+tx24-y23=1，得(3-4k2)x2-8ktx-4t2-12=0，
所以x1+x2=8kt3-4k2，
所以k1=-k-2t⋅3-4k28kt=-k-3-4k24k，即k1=-34k，所以kk1=-34，
所以k与k1的乘积为定值，定值为-34．

【解析】【分析】(1)设双曲线C的标准方程为x2a2-y2b2=1(a> 0,b>0)，由待定系数法列方程组求解；
(2)法一：由题可得A1(-x1,y1),B1(x2, -y2)，可得k, k1,kk1的表达式，结合x124-y123=1, x224-y223=1作差可得结论；
法二：由题可得A1(-x1,y1),B1(x2,-y2)，设直线l方程为y=kx+t，所以k1=-k-2tx1+x2，联立直线l与双曲线方程，结合韦达定理可得k1=-34k，可得结论．
22.【答案】解：(1)
设F1(-c , 0) , F2(c , 0) , c2=a2-b2
因为过点F2的直线l1与椭圆交于A，B两点，▵ABF1的周长为8
所以则有2c=24a=8
所以a=2c=1
所以b2=a2-c2=3
所以M的方程为x24+y23=1
(2)
(i)l1斜率不存在时．l1方程为x=1，l2方程为y=0 则有AB=3,CD=4
所以S四边形ABCD=12AB⋅CD=12⋅3⋅4=6
(ii)l1斜率为0时.l1方程为y=0，此时无法构成▵ABF1，不符合题意；
(iii)l1斜率存在且不为0时.设l1方程为y=k(x-1) , A(x1 , kx1-k) , B(x2 , kx2-k)
则l2方程为y=-1k(x-1)
所以AB= (x1-x2)2+(y1-y2)2= k2+1x1-x2= k2+1(x1+x2)2-4x1x2
由y=k(x-1)x24+y23=1
得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0
所以Δ=144k2+144>0
x1+x2=8k23+4k2,x1⋅x2=4k2-123+4k2
所以AB= k2+1(x1+x2)2-4x1x2= k2+18k23+4k22-44k2-123+4k2=12(k2+1)4k2+3
同理，设Cx3,y3,Dx4,y4
y=-1k(x-1)x24+y23=1
(3+41k2)x2-81k2x+41k2-12=0
Δ=1441k2+144>0
x3+x4=81k23+41k2,x3⋅x4=41k2-123+41k2
CD= 1k2+1(x3+x4)2-4x3x4
代入并化简可得CD=12(k2+1)3k2+4．
所以S四边形ABCD=12AB⋅CD=12⋅12(k2+1)4k2+3⋅12(k2+1)3k2+4
即S四边形ABCD=72(k2+1)2(4k2+3)(3k2+4)...
令k2+1=t , t > 1则
S四边形ABCD=72t2(4t-1)(3t+1)=72t212t2+t-1
即S四边形ABCD=72-1t2+1t+12=72-(1t-12)2+494
所以此时当t=2时，面积最小，

【解析】【分析】本题计算量较大，属于弦长问题；第一问直接由椭圆的定义可得；第二问需要分类讨论斜率不存在，等于零，不等于零三种情况，再由弦长公式得到面积的表达式，最后得出结果．
(1)由椭圆的性质直接求即可；
(2)分斜率不存在，等于零，不等于零三种情况讨论，由弦长公式得出面积的表达式再用二次函数的单调性求得结果．