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2023-2024学年山东省菏泽市高一上学期11月期中考试数学试题（A）(含解析 )
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这是一份2023-2024学年山东省菏泽市高一上学期11月期中考试数学试题（A）(含解析 )，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈Z||x|≤1}，B={x∈N*|-1≤x≤2}，则A∪B=( )
A. {0,1}B. {-1,0,1}C. {-1,0,1,2}D. {0,1,2}
2.已知a，b∈R，则“a1b”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.与y=x2|x|表示同一个函数的是
( )
A. y= x2B. y=( x)2C. y=t,t>0,-t,t<0D. y=|x|
4.已知f(x)与g(x)是分别定义在R上的奇函数和偶函数，并且f(x)-g(x)=2x，则f(1)=( )
A. 2B. 12C. 34D. 54
5.定义在[2b,1-b]上的偶函数f(x)在区间[2b,0]上为增函数，则f(x-1)≤f(2x)的解集为
( )
A. [-1,23]B. [-1,13]C. [-1,1]D. [13,1]
6.若不等式(mx-1)(x+2)<0的解集为{x|x>1m或x<-2}，则实数m的取值范围
( )
A. (-12,0)B. (-2,0)C. (0,12)D. (-∞,-12)
7.已知函数f(x)的定义域为B，函数f(1-2x)的定义域为A=[-12,12)，若∀x∈B，使得x2-mx+2>0恒成立，则实数m的取值范围为
( )
A. (-∞,3)B. (3,+∞)C. (-∞,2 2)D. (2 2,+∞)
8.已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的偶函数，且当x>0时，f(x)=(x-2)2,04,则方程f(x)=12解的个数为
( )
A. 14B. 16C. 18D. 20
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列四个命题中的假命题为( )
A. 集合{x|y=x2-1}与集合{y|y=x2-1}是同一个集合
B. “A∩B为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
C. 对于任何两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立
D. M={1,2}，N={(1,2)}，则M=N
10.下列说法正确的是( )
A. 若a>|b|，则a2>b2
B. x2+5 x2+4的最小值是2
C. 若b>a>0，则ba>b+ma+m
D. 若x，y为正实数，若x+2y=3xy，则2x+y的最小值为3
11.若函数f(x)=x2-2x,x⩾a,-x,x( )
A. -1B. 1C. 2D. 3
12.函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，且f(4-x)=-f(x)，当x∈[-1,0)时，f(x)=x2+2x，则下列说法正确的是
( )
A. f(x)在[5,6]上单调递减
B.
∀x1，x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤ 22恒成立
C. f( 32)>f( 62)>f( 22)
D. ∀m，n∈(5,6)，有f(m)+f(n)2≤f(m+n2)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.不等式x-35-x≥4的解集是 ．
14.若“x≥1”是“x≥m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ．
15.“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．
16.已知函数f(x)=x2+2 x,x⩾0,-x2-2 -x,x<0,若∃x∈[2-t,2+t]使得f(x)+f(t2-2x)≥0成立，则实数t的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
设全集U=R，集合A={x|-2(1)若m=3，求集合(∁UA)∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”必要条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12.0分)
已知a>0，b>0，a+2b=1．
(1)求4ba+1b的最小值;
(2)求a2+6ab+4b2的最大值．
19.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=mx2-(2m+1)x+3，m∈R.
(1)若m<13，解关于x的不等式f(x)≤mx;
(2)若m>0，当x∈[3,+∞)时，f(x)的最小值为1，求m的值．
20.(本小题12.0分)
某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入成本为Cx.当年产量不足60万件时，Cx=12x2+380x(万元)；当年产量不小于60万件时，Cx=410x+81000x-3000(万元).通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(利润=销售收入-总成本)
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．
21.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax2+x+b+1x2+1是定义域在(-2,2)上的奇函数．
(1)求a，b;
(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并予以证明．
(3)函数g(x)=-xf(x)+2x+1(x≥0)，若g(x)在[m,n]上的值域是[m,n]，求m，n的值．
22.(本小题12.0分)
已知幂函数f(x)=(3m2-2m)xm(m∈R)．
(1)若函数f(x)在定义域上不单调，函数g(x)的图像关于x=1对称，当x≥1时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式;
(2)若f(x)在R上单调递增，求函数h(x)=-f(x)|f(x)-a|+1(a>1)在[1,3]上的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了集合的并集运算，考查转化思想，属于基础题．
用列举法表示出集合A，B，求出A，B的并集即可．
【解答】
解：∵集合A={x∈Z||x|≤1}={-1,0,1}，
B={x∈N*|-1≤x≤2}={1,2}，
则A∪B={-1,0,1,2}．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．
根据a1b；但当1a>1b，不一定能推出a【解答】
解：由a0，两边都乘以1ab，一定能得到 1a>1b ；
但当1a>1b时，不一定能推出a0，b<0时)，
则“a1b”的充分不必要条件，
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
通过判断函数的定义域和解析式是否都一样来得答案．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．
【解答】解：y=x2|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且y=x,x>0-x,x<0,
对于A：y= x2=|x|，定义域为R，A错误；
对于B：y=( x)2的定义域为[0,+∞)，定义域不一样，B错误；
对于C：y=t,t>0-t,t<0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，定义域一样，C正确；
对于D：y=|x|定义域为R，定义域不一样，D错误；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
分别令x取1和-1，利用奇偶性得到f(1)和g(1)的方程组，解方程即可．
【解答】解：分别令x取1和-1得f(1)-g(1)=2f(-1)-g(-1)=-2,
因为f(x)与g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以f(1)-g(1)=2-f(1)-g(1)=-2，解的f(1)=2．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的相关性质，属于中档题．
先根据奇偶函数的性质求出b，再根据f(x-1)≤f(2x)，可得x-1≥2x，结合x∈[-2,2]，求出x的范围．
【解答】
解：∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数，
∴2b+1-b=0，
∴b=-1，
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，
∴函数f(x)在[-2,0]上为增函数，
故函数f(x)在[0,2]上为减函数，则由f(x-1)≤f(2x)，
可得x-1≥2x，即(x-1)2≥4x2，
求得-1≤x≤13，
因为定义域为[-2,2]，
所以-2≤x-1≤2-2≤2x≤2，解得-1≤x≤3-1≤x≤1,
综上，-1≤x≤13．
故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
由不等式的解集形式知m<01m>-2，解不等式可得答案．
【解答】
解：由不等式的解集形式知m<01m>-2，解得x<-12，
故选D．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查函数的定义域，二次函数的最值，以及不等式恒成立和存在性问题，属于中档题.由函数的定义域求得集合B,记g(x)=x2-mx+2，问题转化为求m【解答】解：∵f(1-2x)的定义域为A=[-12,12)，
∴-12≤x<12，0<1-2x≤2，则B=0,2,∀x∈B，使得x2-mx+2>0恒成立，
则m此时m<2 2，故选C
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，属于中档题．
作出当x>0时的函数图象，将问题转化为函数y=f(x)与y=12图象交点的个数，由图象以及偶函数的性质求解即可．
【解答】
解：当x>0时，f(x)=(x-2)2,04，
作出函数f(x)的图象如图所示，
方程f(x)=12解的个数，即函数y=f(x)与y=12图象交点的个数，
当x>0时，结合图象，两个函数的图象有7个交点，
又函数y=f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，
所以当x<0时，两个函数的图象也有7个交点，
综上所述，函数y=f(x)与y=12的图象有14个交点，即方程f(x)=12的解的个数为14．
故选A．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查相等集合的判断、充要条件、集合运算和包含关系，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、{x|y=x2-1}=R，{y|y=x2-1}={y|y≥-1}，显然不是同一个集合，故A为假命题；
对于B、取A={1}，B={2}，满足A∩B为空集，但A，B都是非空集合，故充分性不成立，故B是假命题；
对于C、对于任何两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立，是真命题；
对于D、M={1,2}是数集，N={(1,2)}是点集，显然D为假命题．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用不等式的性质即可判断A；利用基本不等式即可判断B，注意需考虑基本不等式取得等号的条件；对于C，易举反例，令b=3，a=2，m=-1，即可判断C；对于D，易得2x+1y=3，再利用乘“1”法和基本不等式即可判断D．
【解答】
解：对于A，因为a>|b|，
所以|a|>|b|，
所以a2>b2，故A正确；
对于B，x2+5 x2+4=x2+4 x2+4+1 x2+4= x2+4+1 x2+4⩾2 x2+4·1 x2+4=2，
当且仅当 x2+4=1 x2+4，即x2+4=1时等号成立，
显然x2+4≠1，
所以x2+5 x2+4取不到最小值2，故B错误；
对于C，易举反例，令b=3，a=2，m=-1，
满足b>a>0，
此时ba=32，b+ma+m=2，
显然此时ba对于D，x，y为正实数，x+2y=3xy，
所以2x+1y=3，
则2x+y=(2x+y)(2x+1y)×13=13(5+2yx+2xy)≥13(5+4)=3，当且仅当2xy=2yx且2x+1y=3，即x=y=1时，等号成立，
所以2x+y的最小值为3，故D正确．
故选AD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】本题考查函数的最值问题，考查分段函数，属于中档题．
求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的的取值范围即可得到答案．
【解答】
解：函数y=x2-2x的图象的对称轴方程为x=1，且开口向上，
①若a>1，
则x⩾a时，f(x)=x2-2x在[a,+∞)上单调递增，有最小值f(a)=a2-2a，
x要使f(x)有最小值，a2-2a⩽-a，即0⩽a⩽1，矛盾，所以此时f(x)无最小值；
②若a<1，
则x⩾a时，f(x)在[a,1]上上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，f(x)有最小值f(1)=-1，
x-a>-1，
所以此时f(x)有最小值-1；
③若a=1，
则x⩾a时，f(x)有最小值f(a)=-1，当xf(a)=-1，
所以此时f(x)有最小值-1，成立．
综上，要使f(x)有最小值，a⩽1．
故选AB．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查抽象函数性质的综合应用，考查数形结合思想，属于较难题．
由奇偶性可得fx=f2-x，即x=1为f(x)的对称轴，f(4-x)=-f(x)可得f4+x=-f2+x，故可得fx的周期为4，且f(x)为奇函数.作出f(x)在[-1,3]上的图像，由周期性与图像可判断A；由最值可判断B；作差比较可得 62-1>1- 32， 62-1<1- 22，从而可判断C；根据fx在(1,2)上的凹凸性可判断D．
【解答】
解：因为f(x+1)为偶函数，所以f-x+1=fx+1，即fx=f2-x，即x=1为f(x)的对称轴．
因为f(4-x)=-f(x)，所以f4-x=-f2-x，即f4+x=-f2+x．
所以f4+x=-f2+x=--fx=fx，即fx的周期为4．
所以f(4-x)=-f(x)=f(-x)，即f(x)为奇函数．
作出f(x)在[-1,3]上的图像如图所示：
因为f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(x)在[5,6]上单调递减，故A正确；
因为f(x)的最小值为-1，最大值为1，所以∀x1，x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立，故B错误；
因为0< 22< 32< 62<1，所以f 22 62-1-1- 32= 6+ 32-2，
6+ 32-16=9+6 2-16=6 2-7，
因为6 22=72>49，所以6 2>7，所以 6+ 32-16>0，
所以 6+ 3>4，所以 6+ 32-2>0，即 62-1>1- 32，
所以f 62同理可得 62-1<1- 22，所以f 62>f 22，
所以f 32>f 62>f 22，故C正确；
由周期为4可得fx在(5,6)上的图像与fx在(1,2)上的图像一样，
由图可得fx在(1,2)上是下凸曲线，所以∀m,n∈1,2，有f(m)+f(n)2≤f(m+n2)，
所以∀m，n∈(5,6)，有f(m)+f(n)2≤f(m+n2)，故D正确．
13.【答案】[235,5)
【解析】【分析】
本题考查解分式不等式，属于基础题．
转化为解x-55x-23⩽0x-5≠0即可．
【解答】
解：不等式x-35-x≥4⇔x-35-x-4⩾0⇔x-3-20+4x 5-x⩾0⇔5x-23x-5⩽0
⇔x-55x-23⩽0x-5≠0⇒235⩽x<5,
故原不等式的解集为
14.【答案】-∞,1
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．
【解答】解：若“x≥1”是“x≥m”的充分不必要条件，
则m<1，
故答案为 -∞,1．
15.【答案】90
【解析】【分析】
本题考查不等式的实际应用，属于基础题．
根据题意设改造前的民宿窗户面积为a平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为n平方米，则地板增加的面积为2n平方米，列不等式，解之即可求解．
【解答】
解：设改造前的民宿窗户面积为a平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为n平方米，
则地板增加的面积为2n平方米，其中n>0，
依题意可得a+n180+2n-a180=
180a+180n-180a-2an180(180+2n)=2n(90-a)180(180+2n)≥0，
即90-a≥0，可得a≤90，
所以当民宿改造后的采光效果不低于改造前时，改造前的窗户面积最大为90平方米．
16.【答案】[1,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，考查一元二次方程存在性问题，考查逻辑推理能力，属于较难题．
由f(x)的解析式可得f(x)是定义在R上的奇函数，且当x⩾0时，f(x)单调递增，继而可得f(x)在R上单调递增，则不等式f(x)+f(t2-2x)≥0等价于f(t2-2x)≥-f(x)=f(-x)，继而可知∃x∈[2-t,2+t]使得t2-x≥0，即有(t2-x)max≥0，再结合x的取值范围即可求出t的取值范围．
【解答】
解：易得f(0)=0，
当x>0时，-x<0，
则此时f(-x)=--x2-2 x=-x2-2 x，
则有f(-x)+f(x)=0；
当x<0时，-x>0，
则此时f(-x)=-x2+2 x=x2+2 x，
则有f(-x)+f(x)=0．
综上可得f(x)是定义在R上的奇函数，
即f(-x)=-f(x)，
显然当x⩾0时，f(x)单调递增，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(x)在R上单调递增，
若∃x∈[2-t,2+t]使得f(x)+f(t2-2x)≥0成立，
即使得f(t2-2x)≥-f(x)=f(-x)成立，
即使得t2-2x≥-x，
即使得t2-x≥0，
∃x∈[2-t,2+t]使得t2-x≥0，
所以(t2-x)max≥0，
又当x∈[2-t,2+t]时，t2-x∈[t2-t-2,t2+t-2]，
所以(t2-x)max=t2+t-2≥0，
即(t+2)(t-1)≥0，
所以t≥1或t⩽0，
又x∈[2-t,2+t]，所以2+t>2-t，
所以t>0，
所以t≥1，
即t的取值范围是[1,+∞).
故答案为
17.【答案】解：(1)当m=3时，B={x|2≤x≤6}，又∁UA={x|x≤-2或x>3}，
所以(∁UA)∩B={x|3(2)“x∈A”是“x∈B”必要条件，故B⊆A.
当B=ϕ时，m-1>2m，所以m<-1，符合题意;
当B≠ϕ时，需满足m-1⩽2m,-2综上所述，m的取值范围为m<-1或-1【解析】本题考查集合的交并补混合运算，必要条件的应用，属于中档题．
(1)先求出∁UA和B，再求交集；
(2)根据必要条件的定义可得B⊆A，分类求解即可．
18.【答案】解：(1)因为a+2b=1，
所以4ba+1b=4ba+a+2bb=4ba+ab+2≥2 4ba·ab+2=6，
当且仅当a=12，b=14时取等号，
所以4ba+1b的最小值为6．
(2)因为a+2b=1，
所以a2+6ab+4b2=(a+2b)2+2ab=1+2ab≤1+(a+2b2)2=1+14=54，
当且仅当a=2b，即a=12，b=14时取等号，
所以a2+6ab+4b2的最大值为54．
【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
(1)易得4ba+1b=4ba+a+2bb=4ba+ab+2，结合基本不等式即可求最小值；
(2)易得 a2+6ab+4b2 =(a+2b)2+2ab=1+2ab，结合基本不等式 1+2ab≤1+(a+2b2)2，即可求最大值．
19.【答案】解：(1)不等式f(x)≤mx，即mx2-(3m+1)x+3≤0，
当m=0时，-x+3≤0，解得x≥3，
当m≠0时，(mx-1)(x-3)≤0，
①若m<0时，则1m<3，解得x≥3或x≤1m，
②若03，解得3≤x≤1m，
综上：当m<0时，解集为{x|x≥3或x≤1m}；
当m=0时，解集为{x|x≥3}；
当0(2)f(x)=mx2-(2m+1)x+3，对称轴为x=2m+12m，
当2m+12m≤3时，即m≥14，此时f(x)在[3,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(3)=3m=1，即m=13，
当2m+12m>3时，即0所以f(x)min=f(2m+12m)=-(2m+1)24m+3=1，即m=12(舍去)，
综上，m=13．
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，二次函数的最值，属于中档题．
(1)由题意mx2-(3m+1)x+3≤0，然后对m进行分类讨论得解；
(2)由题可得函数f(x)对称轴为x=2m+12m，再根据二次函数性质进行求解．
20.【答案】解：(1)当0≤x<60，x∈N+时，
L(x)=400×10000x10000-12x2-380x-150=-12x2+20x-150
当x≥60，x∈N+时，
L(x)=400×10000x10000-410x-81000x+3000-150=2850-(10x+81000x)∴L(x)=-12x2+20x-150,0⩽x<60,x∈N+2850-(10x+8100x),x⩾60,x∈N+
(2)当0≤x<60，x∈N+时，L(x)=-12(x-20)2+50，
∴当x=20时，L(x)取得最大值L(20)=50(万元)
当x≥60，x∈N+时，L(x)=2850-(10x+81000x)≤2850-2×10×90=1050
当且仅当10x=81000x，即x=90时等号成立．
即x=90时，L(x)取得最大值1050万元．
综上，所以即生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1050万元．
【解析】本题考查函数模型的应用，考查基本不等式的实际应用，属于一般题．
(1)分别求出0≤x<60，x∈N+和x≥60，x∈N+时，的解析式，即可得年利润L(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(2)分段求出L(x)的最大值，比较即可．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义域在(-2,2)上的奇函数，所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),
解得a=0，b=-1;
当a=0，b=-1时，有f(-x)=-f(x)，满足题意；
(2)由(1)的结论，则f(x)=xx2+1，
f(x)在(0,1)上为增函数，(1,2)上为减函数，
证明：在(0,2)上任取x1，x2，不妨0则f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=(x1-x2)(1-x1x2)(x12+1)(x22+1)，
当00，所以f(x1)-f(x2)<0，
所以f(x)在(0,1)上为增函数，
当10，
所以f(x)在(1,2)上为减函数；
(3)g(x)=-xf(x)+2x+1=-x2+2x，x≥0，对称轴为x=1，
当0≤m所以g(m)=m,g(n)=n,解得m=0，n=1；
当1所以g(m)=n,g(n)=m,即-m2+2m=n,-n2+2n=m,所以-(m2-n2)+2(m-n)=n-m，
所以m+n=3，所以-m2+2m=3-m，即m2-3m+3=0，无解;
当0≤m<1综上所述：m=0，n=1．
【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于拔高题．
(1)根据f(x)定义域上的奇函数可得f(0)=0,f(-1)=-f(1),，可求解实数a、b的值，再检验即可；
(2)利用定义证明单调性;
(3)由题意g(x)=-xf(x)+2x+1=-x2+2x，x≥0，对称轴为x=1，再对m、n进行分类讨论结合二次函数性质即可求解．
22.【答案】解：(1)由题意3m2-2m=1，解得m=-13或m=1，
因为f(x)在定义域上不单调，所以f(x)=x-13，
设x<1，则2-x>1，x≥1时g(x)=f(x)=x-13，
因为g(x)关于x=1对称，所以g(x)=g(2-x)即g(x)=(2-x)-13，
所以g(x)=x-13,x⩾1,(2-x)-13,x<1.
(2)当m=1时，f(x)=x，函数f(x)=x在R上单调递增;
由题意知a>1，h(x)=-x2+ax+1(x≥a),x2-ax+1(x易得h(0)=h(a)=1，h(a2)=1-a24，
所以可判断h(x)在[1,3]上的最大值在h(1)，h(3)，h(a)中取得．
当1当a>3时，h(x)在[1,a2]上单调递减，在(a2,3]上单调递增，
又(a2-1)-(3-a2)=a-4，
①若3 ②若a≥4，则h(x)max=h(1)=2-a．
综上可知，在区间[1,3]上，h(x)max=1,1【解析】本题考查幂函数的概念、幂函数的性质，函数的最值，属于中档题．
(1)根据幂函数的概念与幂函数的性质求解即可；
(2)由题意知a>1，h(x)=-x2+ax+1(x≥a),x2-ax+1(x
1.已知集合A={x∈Z||x|≤1}，B={x∈N*|-1≤x≤2}，则A∪B=( )
A. {0,1}B. {-1,0,1}C. {-1,0,1,2}D. {0,1,2}
2.已知a，b∈R，则“a
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.与y=x2|x|表示同一个函数的是
( )
A. y= x2B. y=( x)2C. y=t,t>0,-t,t<0D. y=|x|
4.已知f(x)与g(x)是分别定义在R上的奇函数和偶函数，并且f(x)-g(x)=2x，则f(1)=( )
A. 2B. 12C. 34D. 54
5.定义在[2b,1-b]上的偶函数f(x)在区间[2b,0]上为增函数，则f(x-1)≤f(2x)的解集为
( )
A. [-1,23]B. [-1,13]C. [-1,1]D. [13,1]
6.若不等式(mx-1)(x+2)<0的解集为{x|x>1m或x<-2}，则实数m的取值范围
( )
A. (-12,0)B. (-2,0)C. (0,12)D. (-∞,-12)
7.已知函数f(x)的定义域为B，函数f(1-2x)的定义域为A=[-12,12)，若∀x∈B，使得x2-mx+2>0恒成立，则实数m的取值范围为
( )
A. (-∞,3)B. (3,+∞)C. (-∞,2 2)D. (2 2,+∞)
8.已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的偶函数，且当x>0时，f(x)=(x-2)2,0
( )
A. 14B. 16C. 18D. 20
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列四个命题中的假命题为( )
A. 集合{x|y=x2-1}与集合{y|y=x2-1}是同一个集合
B. “A∩B为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
C. 对于任何两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立
D. M={1,2}，N={(1,2)}，则M=N
10.下列说法正确的是( )
A. 若a>|b|，则a2>b2
B. x2+5 x2+4的最小值是2
C. 若b>a>0，则ba>b+ma+m
D. 若x，y为正实数，若x+2y=3xy，则2x+y的最小值为3
11.若函数f(x)=x2-2x,x⩾a,-x,x
A. -1B. 1C. 2D. 3
12.函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，且f(4-x)=-f(x)，当x∈[-1,0)时，f(x)=x2+2x，则下列说法正确的是
( )
A. f(x)在[5,6]上单调递减
B.
∀x1，x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤ 22恒成立
C. f( 32)>f( 62)>f( 22)
D. ∀m，n∈(5,6)，有f(m)+f(n)2≤f(m+n2)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.不等式x-35-x≥4的解集是 ．
14.若“x≥1”是“x≥m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ．
15.“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．
16.已知函数f(x)=x2+2 x,x⩾0,-x2-2 -x,x<0,若∃x∈[2-t,2+t]使得f(x)+f(t2-2x)≥0成立，则实数t的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
设全集U=R，集合A={x|-2
(2)若“x∈A”是“x∈B”必要条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12.0分)
已知a>0，b>0，a+2b=1．
(1)求4ba+1b的最小值;
(2)求a2+6ab+4b2的最大值．
19.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=mx2-(2m+1)x+3，m∈R.
(1)若m<13，解关于x的不等式f(x)≤mx;
(2)若m>0，当x∈[3,+∞)时，f(x)的最小值为1，求m的值．
20.(本小题12.0分)
某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入成本为Cx.当年产量不足60万件时，Cx=12x2+380x(万元)；当年产量不小于60万件时，Cx=410x+81000x-3000(万元).通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(利润=销售收入-总成本)
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．
21.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax2+x+b+1x2+1是定义域在(-2,2)上的奇函数．
(1)求a，b;
(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性，并予以证明．
(3)函数g(x)=-xf(x)+2x+1(x≥0)，若g(x)在[m,n]上的值域是[m,n]，求m，n的值．
22.(本小题12.0分)
已知幂函数f(x)=(3m2-2m)xm(m∈R)．
(1)若函数f(x)在定义域上不单调，函数g(x)的图像关于x=1对称，当x≥1时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式;
(2)若f(x)在R上单调递增，求函数h(x)=-f(x)|f(x)-a|+1(a>1)在[1,3]上的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了集合的并集运算，考查转化思想，属于基础题．
用列举法表示出集合A，B，求出A，B的并集即可．
【解答】
解：∵集合A={x∈Z||x|≤1}={-1,0,1}，
B={x∈N*|-1≤x≤2}={1,2}，
则A∪B={-1,0,1,2}．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．
根据a
解：由a
但当1a>1b时，不一定能推出a
则“a
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
通过判断函数的定义域和解析式是否都一样来得答案．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．
【解答】解：y=x2|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且y=x,x>0-x,x<0,
对于A：y= x2=|x|，定义域为R，A错误；
对于B：y=( x)2的定义域为[0,+∞)，定义域不一样，B错误；
对于C：y=t,t>0-t,t<0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，定义域一样，C正确；
对于D：y=|x|定义域为R，定义域不一样，D错误；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
分别令x取1和-1，利用奇偶性得到f(1)和g(1)的方程组，解方程即可．
【解答】解：分别令x取1和-1得f(1)-g(1)=2f(-1)-g(-1)=-2,
因为f(x)与g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以f(1)-g(1)=2-f(1)-g(1)=-2，解的f(1)=2．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的相关性质，属于中档题．
先根据奇偶函数的性质求出b，再根据f(x-1)≤f(2x)，可得x-1≥2x，结合x∈[-2,2]，求出x的范围．
【解答】
解：∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数，
∴2b+1-b=0，
∴b=-1，
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，
∴函数f(x)在[-2,0]上为增函数，
故函数f(x)在[0,2]上为减函数，则由f(x-1)≤f(2x)，
可得x-1≥2x，即(x-1)2≥4x2，
求得-1≤x≤13，
因为定义域为[-2,2]，
所以-2≤x-1≤2-2≤2x≤2，解得-1≤x≤3-1≤x≤1,
综上，-1≤x≤13．
故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
由不等式的解集形式知m<01m>-2，解不等式可得答案．
【解答】
解：由不等式的解集形式知m<01m>-2，解得x<-12，
故选D．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查函数的定义域，二次函数的最值，以及不等式恒成立和存在性问题，属于中档题.由函数的定义域求得集合B,记g(x)=x2-mx+2，问题转化为求m
∴-12≤x<12，0<1-2x≤2，则B=0,2,∀x∈B，使得x2-mx+2>0恒成立，
则m
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，属于中档题．
作出当x>0时的函数图象，将问题转化为函数y=f(x)与y=12图象交点的个数，由图象以及偶函数的性质求解即可．
【解答】
解：当x>0时，f(x)=(x-2)2,0
作出函数f(x)的图象如图所示，
方程f(x)=12解的个数，即函数y=f(x)与y=12图象交点的个数，
当x>0时，结合图象，两个函数的图象有7个交点，
又函数y=f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，
所以当x<0时，两个函数的图象也有7个交点，
综上所述，函数y=f(x)与y=12的图象有14个交点，即方程f(x)=12的解的个数为14．
故选A．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查相等集合的判断、充要条件、集合运算和包含关系，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、{x|y=x2-1}=R，{y|y=x2-1}={y|y≥-1}，显然不是同一个集合，故A为假命题；
对于B、取A={1}，B={2}，满足A∩B为空集，但A，B都是非空集合，故充分性不成立，故B是假命题；
对于C、对于任何两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立，是真命题；
对于D、M={1,2}是数集，N={(1,2)}是点集，显然D为假命题．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用不等式的性质即可判断A；利用基本不等式即可判断B，注意需考虑基本不等式取得等号的条件；对于C，易举反例，令b=3，a=2，m=-1，即可判断C；对于D，易得2x+1y=3，再利用乘“1”法和基本不等式即可判断D．
【解答】
解：对于A，因为a>|b|，
所以|a|>|b|，
所以a2>b2，故A正确；
对于B，x2+5 x2+4=x2+4 x2+4+1 x2+4= x2+4+1 x2+4⩾2 x2+4·1 x2+4=2，
当且仅当 x2+4=1 x2+4，即x2+4=1时等号成立，
显然x2+4≠1，
所以x2+5 x2+4取不到最小值2，故B错误；
对于C，易举反例，令b=3，a=2，m=-1，
满足b>a>0，
此时ba=32，b+ma+m=2，
显然此时ba
所以2x+1y=3，
则2x+y=(2x+y)(2x+1y)×13=13(5+2yx+2xy)≥13(5+4)=3，当且仅当2xy=2yx且2x+1y=3，即x=y=1时，等号成立，
所以2x+y的最小值为3，故D正确．
故选AD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】本题考查函数的最值问题，考查分段函数，属于中档题．
求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的的取值范围即可得到答案．
【解答】
解：函数y=x2-2x的图象的对称轴方程为x=1，且开口向上，
①若a>1，
则x⩾a时，f(x)=x2-2x在[a,+∞)上单调递增，有最小值f(a)=a2-2a，
x
②若a<1，
则x⩾a时，f(x)在[a,1]上上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，f(x)有最小值f(1)=-1，
x
所以此时f(x)有最小值-1；
③若a=1，
则x⩾a时，f(x)有最小值f(a)=-1，当x
所以此时f(x)有最小值-1，成立．
综上，要使f(x)有最小值，a⩽1．
故选AB．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查抽象函数性质的综合应用，考查数形结合思想，属于较难题．
由奇偶性可得fx=f2-x，即x=1为f(x)的对称轴，f(4-x)=-f(x)可得f4+x=-f2+x，故可得fx的周期为4，且f(x)为奇函数.作出f(x)在[-1,3]上的图像，由周期性与图像可判断A；由最值可判断B；作差比较可得 62-1>1- 32， 62-1<1- 22，从而可判断C；根据fx在(1,2)上的凹凸性可判断D．
【解答】
解：因为f(x+1)为偶函数，所以f-x+1=fx+1，即fx=f2-x，即x=1为f(x)的对称轴．
因为f(4-x)=-f(x)，所以f4-x=-f2-x，即f4+x=-f2+x．
所以f4+x=-f2+x=--fx=fx，即fx的周期为4．
所以f(4-x)=-f(x)=f(-x)，即f(x)为奇函数．
作出f(x)在[-1,3]上的图像如图所示：
因为f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(x)在[5,6]上单调递减，故A正确；
因为f(x)的最小值为-1，最大值为1，所以∀x1，x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立，故B错误；
因为0< 22< 32< 62<1，所以f 22
6+ 32-16=9+6 2-16=6 2-7，
因为6 22=72>49，所以6 2>7，所以 6+ 32-16>0，
所以 6+ 3>4，所以 6+ 32-2>0，即 62-1>1- 32，
所以f 62
所以f 32>f 62>f 22，故C正确；
由周期为4可得fx在(5,6)上的图像与fx在(1,2)上的图像一样，
由图可得fx在(1,2)上是下凸曲线，所以∀m,n∈1,2，有f(m)+f(n)2≤f(m+n2)，
所以∀m，n∈(5,6)，有f(m)+f(n)2≤f(m+n2)，故D正确．
13.【答案】[235,5)
【解析】【分析】
本题考查解分式不等式，属于基础题．
转化为解x-55x-23⩽0x-5≠0即可．
【解答】
解：不等式x-35-x≥4⇔x-35-x-4⩾0⇔x-3-20+4x 5-x⩾0⇔5x-23x-5⩽0
⇔x-55x-23⩽0x-5≠0⇒235⩽x<5,
故原不等式的解集为
14.【答案】-∞,1
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．
【解答】解：若“x≥1”是“x≥m”的充分不必要条件，
则m<1，
故答案为 -∞,1．
15.【答案】90
【解析】【分析】
本题考查不等式的实际应用，属于基础题．
根据题意设改造前的民宿窗户面积为a平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为n平方米，则地板增加的面积为2n平方米，列不等式，解之即可求解．
【解答】
解：设改造前的民宿窗户面积为a平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为n平方米，
则地板增加的面积为2n平方米，其中n>0，
依题意可得a+n180+2n-a180=
180a+180n-180a-2an180(180+2n)=2n(90-a)180(180+2n)≥0，
即90-a≥0，可得a≤90，
所以当民宿改造后的采光效果不低于改造前时，改造前的窗户面积最大为90平方米．
16.【答案】[1,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，考查一元二次方程存在性问题，考查逻辑推理能力，属于较难题．
由f(x)的解析式可得f(x)是定义在R上的奇函数，且当x⩾0时，f(x)单调递增，继而可得f(x)在R上单调递增，则不等式f(x)+f(t2-2x)≥0等价于f(t2-2x)≥-f(x)=f(-x)，继而可知∃x∈[2-t,2+t]使得t2-x≥0，即有(t2-x)max≥0，再结合x的取值范围即可求出t的取值范围．
【解答】
解：易得f(0)=0，
当x>0时，-x<0，
则此时f(-x)=--x2-2 x=-x2-2 x，
则有f(-x)+f(x)=0；
当x<0时，-x>0，
则此时f(-x)=-x2+2 x=x2+2 x，
则有f(-x)+f(x)=0．
综上可得f(x)是定义在R上的奇函数，
即f(-x)=-f(x)，
显然当x⩾0时，f(x)单调递增，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(x)在R上单调递增，
若∃x∈[2-t,2+t]使得f(x)+f(t2-2x)≥0成立，
即使得f(t2-2x)≥-f(x)=f(-x)成立，
即使得t2-2x≥-x，
即使得t2-x≥0，
∃x∈[2-t,2+t]使得t2-x≥0，
所以(t2-x)max≥0，
又当x∈[2-t,2+t]时，t2-x∈[t2-t-2,t2+t-2]，
所以(t2-x)max=t2+t-2≥0，
即(t+2)(t-1)≥0，
所以t≥1或t⩽0，
又x∈[2-t,2+t]，所以2+t>2-t，
所以t>0，
所以t≥1，
即t的取值范围是[1,+∞).
故答案为
17.【答案】解：(1)当m=3时，B={x|2≤x≤6}，又∁UA={x|x≤-2或x>3}，
所以(∁UA)∩B={x|3
当B=ϕ时，m-1>2m，所以m<-1，符合题意;
当B≠ϕ时，需满足m-1⩽2m,-2
(1)先求出∁UA和B，再求交集；
(2)根据必要条件的定义可得B⊆A，分类求解即可．
18.【答案】解：(1)因为a+2b=1，
所以4ba+1b=4ba+a+2bb=4ba+ab+2≥2 4ba·ab+2=6，
当且仅当a=12，b=14时取等号，
所以4ba+1b的最小值为6．
(2)因为a+2b=1，
所以a2+6ab+4b2=(a+2b)2+2ab=1+2ab≤1+(a+2b2)2=1+14=54，
当且仅当a=2b，即a=12，b=14时取等号，
所以a2+6ab+4b2的最大值为54．
【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
(1)易得4ba+1b=4ba+a+2bb=4ba+ab+2，结合基本不等式即可求最小值；
(2)易得 a2+6ab+4b2 =(a+2b)2+2ab=1+2ab，结合基本不等式 1+2ab≤1+(a+2b2)2，即可求最大值．
19.【答案】解：(1)不等式f(x)≤mx，即mx2-(3m+1)x+3≤0，
当m=0时，-x+3≤0，解得x≥3，
当m≠0时，(mx-1)(x-3)≤0，
①若m<0时，则1m<3，解得x≥3或x≤1m，
②若0
综上：当m<0时，解集为{x|x≥3或x≤1m}；
当m=0时，解集为{x|x≥3}；
当0
当2m+12m≤3时，即m≥14，此时f(x)在[3,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(3)=3m=1，即m=13，
当2m+12m>3时，即0
综上，m=13．
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，二次函数的最值，属于中档题．
(1)由题意mx2-(3m+1)x+3≤0，然后对m进行分类讨论得解；
(2)由题可得函数f(x)对称轴为x=2m+12m，再根据二次函数性质进行求解．
20.【答案】解：(1)当0≤x<60，x∈N+时，
L(x)=400×10000x10000-12x2-380x-150=-12x2+20x-150
当x≥60，x∈N+时，
L(x)=400×10000x10000-410x-81000x+3000-150=2850-(10x+81000x)∴L(x)=-12x2+20x-150,0⩽x<60,x∈N+2850-(10x+8100x),x⩾60,x∈N+
(2)当0≤x<60，x∈N+时，L(x)=-12(x-20)2+50，
∴当x=20时，L(x)取得最大值L(20)=50(万元)
当x≥60，x∈N+时，L(x)=2850-(10x+81000x)≤2850-2×10×90=1050
当且仅当10x=81000x，即x=90时等号成立．
即x=90时，L(x)取得最大值1050万元．
综上，所以即生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1050万元．
【解析】本题考查函数模型的应用，考查基本不等式的实际应用，属于一般题．
(1)分别求出0≤x<60，x∈N+和x≥60，x∈N+时，的解析式，即可得年利润L(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；
(2)分段求出L(x)的最大值，比较即可．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义域在(-2,2)上的奇函数，所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),
解得a=0，b=-1;
当a=0，b=-1时，有f(-x)=-f(x)，满足题意；
(2)由(1)的结论，则f(x)=xx2+1，
f(x)在(0,1)上为增函数，(1,2)上为减函数，
证明：在(0,2)上任取x1，x2，不妨0
当0
所以f(x)在(0,1)上为增函数，
当1
所以f(x)在(1,2)上为减函数；
(3)g(x)=-xf(x)+2x+1=-x2+2x，x≥0，对称轴为x=1，
当0≤m
当1
所以m+n=3，所以-m2+2m=3-m，即m2-3m+3=0，无解;
当0≤m<1
【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于拔高题．
(1)根据f(x)定义域上的奇函数可得f(0)=0,f(-1)=-f(1),，可求解实数a、b的值，再检验即可；
(2)利用定义证明单调性;
(3)由题意g(x)=-xf(x)+2x+1=-x2+2x，x≥0，对称轴为x=1，再对m、n进行分类讨论结合二次函数性质即可求解．
22.【答案】解：(1)由题意3m2-2m=1，解得m=-13或m=1，
因为f(x)在定义域上不单调，所以f(x)=x-13，
设x<1，则2-x>1，x≥1时g(x)=f(x)=x-13，
因为g(x)关于x=1对称，所以g(x)=g(2-x)即g(x)=(2-x)-13，
所以g(x)=x-13,x⩾1,(2-x)-13,x<1.
(2)当m=1时，f(x)=x，函数f(x)=x在R上单调递增;
由题意知a>1，h(x)=-x2+ax+1(x≥a),x2-ax+1(x
所以可判断h(x)在[1,3]上的最大值在h(1)，h(3)，h(a)中取得．
当1
又(a2-1)-(3-a2)=a-4，
①若3
综上可知，在区间[1,3]上，h(x)max=1,1
(1)根据幂函数的概念与幂函数的性质求解即可；
(2)由题意知a>1，h(x)=-x2+ax+1(x≥a),x2-ax+1(x
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