人教版九年级上册21.1 一元二次方程课后作业题

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程课后作业题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）．
A．abB．C．D．
2．已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6B．9C．2D．
3．若a，b满足，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法．类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段AE上，标注点B的新位置F，则． 类似地，再在AB上折出点M使，则表示方程的一个正根的是（ ）
A．线段BM的长B．线段AM的长
C．线段BE的长D．线段AE的长
5．若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ）
A．B．C．3D．
6．若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4B．2C．－4或2D．4或－2
7．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ）
A．4B．-4C．4或-2D．-4或2
8．若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ）
A．B．3C．或3D．或1
9．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟B．3秒钟C．3秒钟或5秒钟D．5秒钟
11．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出的值为5，那么输入x的值为（ ）
A．－8B．－2C．1D．8
二、填空题
12．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
13．若，是方程的两根，则的值为______．
14．已知，那么的值是______．
15．已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 _____．
16．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
17．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则=_____________．
18．设是一元二次方程的两个根，则__________．
19．已知 －100a＋7＝0以及－100b＋6＝0，且ab≠1，则 的值为__________．
20．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为___________．
21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 _____．
22．如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．
23．如图，在矩形ABCD中，，点E是AB上一点，且，连接CE，点F是线段DC上一点，将沿AF折叠，使得点D的对应点落在线段CE上，则DF的长度为___________．
三、解答题
24．解方程
（1）； （2）；
（3）（配方法）； （4）.
25．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值.
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，∴n＝4，m＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知a2＋6ab＋10b2＋2b＋1＝0，求a－b的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长；
(3)已知x＋y＝2，xy－z2－4z＝5，求xyz的值.
26．关于x的方程
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值：
(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
27．苏科版九上数学p31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）拓展：若实数x满足x2+＝2，求x+的值
28．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求．
参考答案
1．C
【分析】
根据方程根的定义，代入化简计算即可．
解：∵方程，有一个根是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．
2．C
【分析】
设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出x2-2px+p2=7，求出x2-2px+4=11-p2，再根据题意得出-2p=-6，a=11-p2，最后求出答案即可．
解：设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p=-6是解此题的关键．
3．C
【分析】
首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得a、b的值，再把a、b的值代入代数式，即可求得其值．
解：，，

由a-1=0解得a=1
把a=1代入，得
，得
解得b=-2
故
故选：C
【点拨】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性质是解决本题的关键．
4．B
【分析】
设正方形的边长为1，，根据勾股定理即可求出答案．
解：设正方形的边长为1，，
则，，
在Rt△ABE中，
∴，
∴，
∴，
∴AM的长为的一个正根．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据勾股定理列出方程．
5．D
【分析】
根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可．
解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），
整理得：x2=3，
两边直接开平方得：x=±，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．
6．B
【分析】
设，则原方程可化为，解得的值，即可得到的值．
解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故选：．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想．
7．B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
解：关于x的一元二次方程的两实数根为，
，
，
，即，
解得或，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．
8．A
【分析】
先根据a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，求出≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a＋b＝2k，ab＝4k，利用a2＋b2＝12，求出k的值，再代入验证即可．
解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，
∴
a＋b＝2k，ab＝4k
∴＝12
解得，
当时，
∴符合题意，
当时，
∴不符合题意，应舍去，
综上，k的值是﹣1．
故选：A
【点拨】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
9．C
【分析】
每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【点拨】本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
10．B
【分析】
设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t•（8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．A
【分析】
利用程序框图的算法列方程，求出x，然后比较大小即可得出答案．
解：如图所示：设；输出的值为5，
∴，
解得，
解得，
∵不合题舍去，
设；输出的值为5，
∴，
∴，
∴解得，
∵舍去，
∴当输入x=-8时，输出的值为5．
故选择A．
【点拨】本题主要考查了程序框图，一元一次特征方程，一元二次方程，比较大小，正确理解计算程序是解题关键．
12．##1.5##
【分析】
根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．
解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，
∴，
∴，
∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，
∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54
∴
解得或
∵ab≠0
∴a，b均为非零实数，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．
13．1
【分析】
根据题意，，变形代入计算即可．
解：∵，是方程的两根，
∴，
∴
=
=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键．
14．-5
【分析】
先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．
解：∵，
∴
，
故答案为：-5．
【点拨】本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
15．
【分析】
因为矩形的长和宽分别为a、b，所以其周长和面积分别为2(a+b)和ab，设所求矩形的长为x，则宽为(a+b)-x，其面积为x[(a+b)-x]，根据题意得：x[(a+b)-x]=ab，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．
解：设所求矩形的长为x，则宽为(a+b)-x，其面积为x[(a+b)-x]，
根据题意得：x[(a+b)-x]=ab，
即 ，
∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一
∴方程有解，
∴△=
=
=≥0
∴
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．
16．20
【分析】
求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．
解：，
则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
则菱形的边长为，
故菱形的周长为5×4=20，
故答案为20
【点拨】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．
17．-3
【分析】
根据同类二次根式的定义可得，由此求解即可
解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴
∴或，
∵两个根式都是最简根式，
∴时，不符合题意，
当a=3时，二次根式有意义且符合题意，
故答案为-3．
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
18．##
【分析】
根据根据根与系数的关系得，，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．
解：∵是一元二次方程的两个根
∴，
∴
故答案为：
【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．当x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时．
19．
【分析】
第2个方程两边同除以b²，得到与第一个方程相似的方程，所以a,可看成一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系可求得的值．
解：∵－100b＋6＝0，
∴，
∵－100a＋7＝0，
∴a、是方程－100x＋7＝0的两个根，
∴由根与系数的关系可知：．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是把两个数看成一个一元二次方程的两个根．
20．
【分析】
若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故答案为：：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．
延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．
解：延长B1D交BC于E，如图：
∵B1D⊥BC，
∴∠BED＝∠B1EC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，
∴BE＝＝BD，
设BD＝x，
∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，
∴B1D＝x，
∵BC＝3，
∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，
在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，
∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32
∴
∴x＝0（舍去）或x＝
∴BD＝
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．
22．2
【分析】
设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，
依题意得：（22-x）（14-x）=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．
【分析】
过D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，连结DD'，则由题意和勾股定理可以得到HD'=AG=4，AH=3，DH=2，设DF=y，则由可得关于y的方程，解方程即可得到DF的值．
解：如图，过D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，连结DD'，
由题意可得EB=BC=5，
∴∠CEG=45°，
∴EG=GD'，设EG=GD'=x，
又由题意可得AD'=AD=5，AG=AE+EG=AB-BE+EG=1+x
∴在RT△AGD'中，，
解之可得GD'=x=3，
∴HD'=AG=4，AH=3，DH=2，
设DF=y，
则由可得：
，
解之可得y=，即DF=，
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握勾股定理的应用、矩形与轴对称的性质及方程思想方法的运用是解题关键．
24．（1），；（2），；（3），；
（4）①当时， ；②当时，若， ；若，方程无解
【分析】
（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）利用因式分解法即可求得方程的解；
（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；
（4）分m=0和两种情况考虑，当时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．
（1）
解：
或
，；
（2）
解：
或
，；
（3）
解：
，；
（4）
解：①当时，，解得：；
②当时，，若，即，；
若，即，方程无解．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．
25．（1）4；（2）7；（3）2
试题分析：（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．
解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴（a+3b）2+（b+1）2=0，
∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=-1，a=3，
则a-b=4；
（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，
∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，
∴2（a-1）2+（b-3）2=0，
则a-1=0，b-3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7；
（3）∵x+y=2，
∴y=2-x，
则x（2-x）-z2-4z=5，
∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，
∴（x-1）2+（z+2）2=0，
则x-1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=-2，
∴xyz=2．
【点拨】本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.
26．(1)答案见解析(2)2(3)4+
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）将x=1代入方程可确定m的值；
（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．
解：(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，
∵a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，
∴b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，
即b2−4ac＞0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；
(2)将x=1代入方程可得：
12−(m+2)+(2m−1)=0，
解得：m=2；
(3)∵m=2，
∴方程为x2−4x+3=0，
解得：x1=1或x2=3，
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，
∵，
∴斜边的长度为，
∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
27．（1）-2，1；（2）x＝3；（3）4
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）把无理方程化为整式方程x2﹣2x﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；
（3）先表示得到（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，利用因式分解法得到x+＝4或x+＝﹣1，由于x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，从而得到x+的值为4．
解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
x（x+2）（x﹣1）＝0，
x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；
故答案为0，﹣2，1；
（2）两边平方得2x+3＝x2，
整理得x2﹣2x﹣3＝0，
因式分解得
解得x1＝3，x2＝﹣1，
经检验，x＝3为原方程的解；
（3）＝2，
,
，
或，
∵化为x2+x+1＝0，△=1-4=-4,此方程没有实数解舍去，
∴x+的值为4．
【点拨】本题考查高次方程的解法、无理方程、分式方程的解，掌握高次方程的解法、无理方程、分式方程的解都转化为低次方程，有理方程，和整式方程来解是解题关键．
28．(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元
(2)的值为10
【分析】
（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，再根据题意建立方程，解方程即可；
（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．
(1)解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，
依题意得∶．
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．
(2)解：依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为10．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．