人教版九年级上册21.1 一元二次方程测试题

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程测试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·青海·中考真题）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
4．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7B．C．6D．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
6．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0
7．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．B．C．或3D．或3
9．（2021·山东潍坊·中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．B．4C．25D．5
10．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．
12．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．
13．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
14．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____.
15．（2021·湖北十堰·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
16．（2021·湖北湖北·中考真题）关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
17．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
18．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
三、解答题
19．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
20．（2020·四川南充·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
21．（2013·湖北荆州·中考真题）已知：关于x的方程
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．
22．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
23．（2021·山东菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
24．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1) 八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2) 小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
、
参考答案
1．B
解：把x=1代入x2+mx+3=0得：1+m+3=0，
解得m=﹣4．
故选B．
2．B
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．B
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
4．B
【分析】
根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
5．A
【分析】
根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
6．B
【分析】
分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
7．A
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点拨】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
8．A
【分析】
利用根与系数的关系以及求解即可．
解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
故选：A
【点拨】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
9．A
【分析】
先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可．
解：解方程，得，
即，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的边长为，
故选：．
【点拨】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．
10．A
【分析】
设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．或
【分析】
由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
12．１
【分析】
将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
解：
∴
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
13．0（答案不唯一）
【分析】
设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
14．12
【分析】
解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可．
解：∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键．
15．或2
【分析】
根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
解：根据新定义内容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案为：或2．
【点拨】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
16．3
【分析】
先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
17．
【分析】
设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18．3
【分析】
根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，
根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，
在Rt∆AED中，
，
即，
解得：x=4（负值已经舍去），
∴x-1=3，
故答案为：3．
【点拨】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19．两位同学的解法都错误，正确过程见分析
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程
解：
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵，
∴
即，解得．
又由（1）知：，
∴．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．
21．（1）证明见分析；（2）k=1或．
【分析】
（1）确定判别式的范围即可得出结论．
（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可．
（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根．
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵，
∴一元二次方程有两实数根．
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）∵此方程有两个实数根x1，x2，
∴．
∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4．
∴，解得k=1或
22．（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【分析】
（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
23．29元．
【分析】
设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得，
或，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．(1)2022(2)9
【分析】
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
解：(1)，
故答案为：2022；
(2)根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点拨】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．小敏：两边同除以，得
，
则．
小霞：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
小敏：两边同除以，得
，
则．
（×）
小霞：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
（×）