初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课时练习

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课时练习，共20页。
【学习目标】
会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
特别说明：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
特别说明：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
特别说明：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【类型一】把二次函数化为顶点式
1．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为
，第一步
，第二步
，第三步
．第四步
(1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______．
(2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴
【答案】(1)四，(2)顶点坐标为，对称轴为直线x＝1
【分析】
（1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标；
（2）用配方法求解即可．
解：(1)嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为，
故顶点坐标为．
故答案为：四，；
(2)
∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1．
【点拨】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键．
举一反三：
【变式1】 已知二次函数．
用配方法化成的形式；
直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)对称轴为，顶点坐标为
【分析】
（1）利用完全平方公式进行配方即可；（2）依据配方后的解析式即可得到结论．
(1)解：．
(2)
对称轴为，顶点坐标为
【点拨】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
【变式2】（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为
【分析】（1）利用公式法，即可求解；
（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．
解：（1）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．
【类型二】画二次函数的图象
2．已知抛物线
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．
(2)直接画出函数的图像．
【答案】(1)顶点坐标是，对称轴是(2)图像见分析
【分析】
（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为，由此即可得出抛物线的顶点坐标及抛物线的对称轴；
（2）画图是要把握抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标，开口方向等，利用列表、描点、连线即可画出这条抛物线．
(1)解：∵，
∴顶点坐标是，对称轴是；
(2)列表：
作图如下：
【点拨】本题考查了二次函数图像的画法，二次函数的两种形式．利用配方法将二次函数解析式的一般式换算成顶点式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3）(2)﹣3≤n＜6
【分析】
（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围．
(1)解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
(2)解：如图所示：
由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上，
∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6．
【点拨】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型．
【变式2】 已知二次函数y＝x2－4x＋3．
（（1）用配方法将y＝x2－4x＋3化成y=a（x-h）2+k的形式；
（2）求抛物线与x轴交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 ______；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ______．
【答案】（1）y=（x-2）2-1；（2）（1，0）或（3，0）；（3）见详解（4）1＜x＜3；（5）-1＜y＜3．
【分析】
（1）利用配方法化简即可；
（2）将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案；
（3）用“五点法”取值描点连线即可求解；
（4）、（5）观察函数图象即可求解．
解：（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1；
（2）由二次函数y=x2-4x+3=（x-1）（x-3）知，该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；
（3）当x=0时，y=3；当x=1时，y=0；当x=-2时，y=-1；当x=3时，y=0；当x=4时，y=3，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
（4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足1＜x＜3时，y＜0．
故答案是：1＜x＜3；
（5）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：-1＜y＜3．
故答案是：-1＜y＜3．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【类型三】二次函数的性质
3、直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线经过点A、点B．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)根据图象直接写出的解集；
(3)将点B向右平移4个单位长度得到C，若拋物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】
（1）求出A、B的坐标，再代入二次函数解析式，即可求解；
（2）将所求表达式变形为，结合函数图象进行求解即可；
（3）求出C点坐标，当时，，解得，当时，，解得，则时抛物线与线段BC有一个交点，利用根的判别式进行求解即可．
解：(1)令，则，
∴，
令，则，
∴，
将A、B点代入，
∴，
解得，
∴；
(2)∵，
∴，
∵与的交点为，，
∴当或时，；
(3)∵将点B向右平移4个单位长度，
∴，
∵抛物线与线段BC恰好有一个交点，
∴当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
∴；
当时，，即，
此时抛物线与线段BC有一个交点；
综上所述：或时，抛物线与线段BC有一个交点．
【点拨】本题是二次函数的综合题目，涉及一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【分析】
根据函数的图象和性质即可求解．
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．
【变式2】 已知抛物线 （a＜0）．
(1)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(2)设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)或
【分析】
（1）把解析式化成顶点式，可得，可知，该抛物线的顶点坐标为（1，-a-3），再根据该抛物线的顶点在x轴上，可得-a-3=0，解此方程，即可求得a的值，进而求出解析式；
（2）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值，即可求解．
(1)解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-a-3），
∵该抛物线的顶点在x轴上，
∴-a-3=0，
解得a=-3，
∴抛物线的解析式为；
(2)解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点Q（3，y2）关于直线x=1对称的点的坐标为（-1，y2），
∵a＜0，y1＜y2，
∴或．
【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质求解集是解题关键．
【类型四】二次函数各项系数的符号
4、抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号由抛物线的_______确定；
（2）b的符号由抛物线的_______确定；
（3）c的符号由抛物线_________确定；
（4）b2﹣4ac的符号由抛物线的_________确定；
（5）a+b+c的符号由______在抛物线上的点的位置确定；
（6）a﹣b+c的符号由_______在抛物线的点的位置确定；
（7）2a+b的符号由抛物线_______与_______的位置确定；
（8）2a﹣b的符号由抛物线_______与_______的位置确定．
【答案】（1）开口方向；（2）对称轴的位置；（3）与y轴交点所在位置；（4）与x轴交点的个数；（5）x=1；（6）x=﹣1；（7）对称轴；x轴的交点；（8）开口方向；对称轴．
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：（1）a的符号由抛物线的开口方向确定；
（2）b的符号由抛物线的对称轴的位置确定；
（3）c的符号由抛物线与y轴交点所在位置确定；
（4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定；
（5）a+b+c的符号由x=1在抛物线上的点的位置确定；
（6）a﹣b+c的符号由 x=﹣1在抛物线的点的位置确定；
（7）2a+b的符号由抛物线对称轴与x轴交点的位置确定；
（8）2a﹣b的符号由抛物线开口方向与对称轴的位置确定．
故答案是：（1）开口方向；（2）对称轴的位置；（3）与y轴交点所在位置；（4）与x轴交点的个数；（5）x=1；（6）x=﹣1；（7）对称轴；x轴的交点；（8）开口方向；对称轴．
【点拨】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定．
举一反三：
【变式1】如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象根据函数图象，“＞”、“＝”或“＜”填写下列空格：
①a 0；
②4ac﹣b2 0；
③2a+b 0；
④a+b+c 0；
⑤当﹣1＜x＜3时，y 0；
⑥8a+c 0．
【答案】①；②；③；④；⑤；⑥
【分析】
①根据开口方向即可判断，②根据二次函数图象与轴有2个不同的交点即可判断，③根据图象的对称性可得对称轴为，进而确定的符号，④根据时的函数值为即可判断的符号，⑤根据函数图象在时，函数图象位于轴上方，即可判断函数值大于0，即，⑥根据③可得以及时候的函数值即可判断
解：①二次函数图象开口向下，
，
②二次函数图象与轴有2个不同的交点，
即
③根据图象的对称性可得对称轴为，
即
④时的函数值为，根据图象可知时，
即，
⑤根据函数图象在时，函数图象位于轴上方，即可判断函数值大于0，
即，
⑥根据③可得以及时候的函数值
即
故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥
【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
【变式2】 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．
【答案】①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0
【分析】
①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0；
②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0；
③取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c＜0；
④取x=﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=﹣1，y=a﹣b+c＜0．
解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c＜0，abc＜0；
②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0；
③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0；
④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【类型五】一次函数与二次函数图象判断
5、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
解：A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a