初中数学21.1 一元二次方程学案设计

这是一份初中数学21.1 一元二次方程学案设计，共11页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
知识要点一：因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
特别说明：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。
知识要点二：换元法解一元二次方程
1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知
识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,
当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目
的.
【典型例题】
类型一、用因式分解法解一元二次方程
1．用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
【答案】(1)， (2)，
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程即可．
解：
解得，
解得，
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】用适当的方法解方程：(1)． (2)．
【答案】(1)，； (2)，
【分析】
将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：，
，
则或，
解得，，
所以，原方程的解为，；

，
则，
或，
解得，．
所以，原方程的解为，．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
【变式2】解方程： (1)x2－x－2＝0； (2)3x(x－2)＝2－x．
【答案】(1)x1＝2，x2＝－1 (2)x1＝－，x2＝2
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
(1) 解：x2－x－2＝0，
(x－2)(x＋1)＝0，
x－2＝0或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1．
3x(x－2)＝2－x，
3x(x－2)＋(x－2)＝0，
(3x＋1)(x－2)＝0，
3x＋1＝0或x－2＝0，
x1＝－，x2＝2．
【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
类型二、用换元法解一元二次方程
2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值．
解：设，则原方程变形为，
即
∴
得t1＝﹣2，t2＝1
∴或
已知，求的值．
【答案】
【分析】先换元，再求出t的值，最后求出答案即可．
解：设
∴
即，
∴，
解得：，（舍去）
∴
即的值为．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】解方程：．
【答案】
【分析】设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．
解：设，
则，
原方程化成，
解这个方程，得，，
当y＝1时，=1，即．由，此方程无实根，
当y＝－2时，，即，
解得：，
经检验，x＝－1是原分式方程的解，
∴原方程的解为x＝－1．
【点拨】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程．
【变式2】解方程：
【答案】，
【分析】先设：得到解出y的值，再求解x的值并把结果进行检验即可得到答案；
解：设 ，
原方程化为：，
运用十字相乘法得到：，
解得，
当时，解得，
当时，解得，
经检验，和原方程的分母均不为0，
故原方程的解为：或；
【点拨】本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键．
类型三、因式分解法解一元二次方程的应用
3．阅读例题，解答问题：
例：解方程．
解：原方程化为．
令，原方程化成
解得，（不合题意，舍去）．
．．
∴原方程的解是，
请模仿上面的方法解方程：．
【答案】，
【分析】
根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可．
解：原方程化为．
令，原方程化成．
解得，（不合题意，舍去）．
，
．
∴原方程的解是，．
【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1） ，（ ，0）；（2）见解析；（3） ，t2=1.5.
【分析】
（1）由C是OB的中点求出时间，然后确定OP，即可求出点E的坐标；
（2）连接CD，根据平行四边形的性质可得：，，在由线段的数量关系可得：，依据平行四边形的判定定理即可证明；
（3）C的坐标是，P的坐标是，则F的坐标是，E的坐标是，D的坐标是，设CE的解析式是，将点坐标代入即可确定函数解析式，同理可得DE的解析式，然后分两种情况讨论：当M在CE上时，M的坐标是；当N在DE上时，N的坐标是；将M、N两点坐标分别代入求解即可．
（1）解：，
则 ， ，
则，
则E的坐标是；
（2）解：连接CD，如图所示：
∵四边形PCOD是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即：
∴四边形ADEC是平行四边形；
（3）解：C的坐标是，P的坐标是，则F的坐标是，E的坐标是，D的坐标是．
设CE的解析式是，
则，
解得：，
则CE的解析式是，
同理DE的解析式是，
当M在CE上时，M的坐标是，,
则 ，
解得：；
当N在DE上时，N的坐标是，
则 ，
解得：，
综合可得： ，．
【点拨】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式2】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
(3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)12；42 (2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110 (3)
【分析】
（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：，将代入求解即可；
（2）由题意知，，求出满足要求的值，进而可得盆景，盆花的数量；
（3）根据推导出的一般性规律作答即可．
(1) 解：由图可知，盆景的数量依次为：、、、、
盆花的数量依次为：、、、、
∴可推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：
∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为：
故答案为：12；42．
(2)由题意知，
整理得
解得，（不合题意，舍去）
当时，盆景数量为，盆花数量为
∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
(3)由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为
故答案为：．
【点拨】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．