人教版九年级数学上册 25.4 用列举法求概率及频率估计概率（知识讲解）

这是一份人教版九年级数学上册 25.4 用列举法求概率及频率估计概率（知识讲解），共10页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；
能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.
【要点梳理】
要点一、古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
(1)一次试验中，可能出现的结果是有限的；
(2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.
要点二、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1.列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：(1)列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
要点三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
特别说明：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
【典型例题】
类型一、用列举法求概率
1．小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一只转盘九等份，分别标上1至9九个数字，随意转动转盘，若转到“2的倍数”小芳去参加活动；若转到“不是2的倍数”，小亮去参加活动．
转盘转到2的倍数的概率是多少?
你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)转盘转到2的倍数的概率为(2)游戏不公平，理由见分析
【分析】利用概率公式计算出小亮和小芳去参加活动的概率，然后比较判断即可．
解：（1）共有9种等可能的结果，其中2的倍数有2，4，6， 8，共4种可能，不是2的倍数有1，3，5，7， 9共5种可能，
∴转盘转到2的倍数的概率为，
（2）∵转盘转到2的倍数的概率为，
转盘转到不是2的倍数的概率为：；
∴可知小芳去的概率为，小亮去的概率为；

∴游戏不公平．
【点拨】本题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
举一反三：
【变式1】从长为9，6，5，4的四根木条中任取三根．
(1)请直接写出不同的取法有几种？分别列举出来．
(2)求能组成三角形的概率．
【答案】(1)4种，见分析(2)
【分析】（1）根据枚举法，得到9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四种．
（2）判断构成三角形的种数，用它除以总的可能性种数即可．
解：（1）根据题意，得一共有4种等可能性，具体如下：
9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四种．
（2）能构成三角形的有9、6、5；9、6、4； 6、5、4共三种，
故能组成三角形的概率是．
【点拨】本题考查了概率的计算，熟练掌握枚举法计算概率是解题的关键．
【变式2】某校为了加强初一同学们的安全意识，随机抽取部分同学进行了一次安全知识测试，按照测试成绩从高到低分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，绘制了如下不完整的统计图．
参加测试的学生有______人，等级为合格的学生比例为______；
该年级有800名学生，请估计该年级安全意识较强（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生有______人；
成绩为优秀的甲、乙两同学被选中参加安全宣讲活动，该活动随机分为，组．求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
【答案】(1)40；25%(2)560(3)
【分析】（1）用等级为良好的学生人数除以其所占百分比即可求出参加测试的学生人数；用参加测试的的学生人数减去等级为优秀，良好和不合格的人数求出等级为合格的人数，再除以参加测试的人数即可求出等级为合格的学生比例．
（2）先求出安全意识较强的学生所占百分比，再乘以该年级学生人数即可．
（3）根据题意列举出甲、乙两人所有可能的分组情况，再根据概率公式求解即可．
（1）解：16÷40%=40（人）；40-12-16-2=10（人），10÷40=25%．
故答案为：40；25%．
（2）解：（12+16）÷40=70%，70%×800=560（人）．
故答案为：560．
（3）解：第一种情况，甲、乙都在A组；第二种情况，甲在A组，乙在B组；第三种情况，甲在B组，乙在A组；第四种情况，甲、乙都在B组．
由列举情况可知共有4种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好在同一组的结果有2种．
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
答：甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
【点拨】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体，列举法求概率，熟练掌握这些知识点是解题关键．
类型二、用列表法和树状图求概率
2.中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
【答案】(1)200；(2)见分析；(3)估计参加B项活动的学生数有512名；
(4)画树状图见分析，他们参加同一项活动的概率为．
【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．
（1）解：（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
（3）（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
【点拨】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表或画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
（1）解：根据题意，3张扑克牌中，数字为2的扑克牌有一张，数字为3的扑克牌有两张，
从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
如图，共有6种等可能的结果，其中抽到2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
抽得2张扑克牌的数字不同的概率为．
【点拨】本题考查用列表或画树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是能准确利用列表法或画树状图法找出总情况数及所求情况数．
【变式2】2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖．
(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________．
(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【答案】(1)；(2)作图见分析，．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为．
【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
类型三、用频率估计概率
3. “网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1）；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【分析】（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；
（2）设纸箱中白球的数量为个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．
解：（1）由题意得：，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；
（2）设纸箱中白球的数量为个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为，
则，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
【点拨】本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．
举一反三：
【变式1】国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，________，________；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【答案】（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【分析】（1）按照频率=进行求解，根据组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=进行求解，即可得到，的值；
（2）根据（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解；
（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．
解：（1）根据组别，本次调查的总体数量=，
∴组别的频率=，
∴组别的频数=频率×总体数量，
∴，；
（2）∵（1）中求得的值为0.2，
∴其在扇形中的度数；
（3）组别和的频率和为：，
∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数（人）；
（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【点拨】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=，解答本题的关键是掌握频率、频数和总体数量的关系．
【变式2】一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】（1）1个；（2）
【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，依题意得
解得，．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：
或画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红，白）、（红，白）、（红，白）、（白，红）、（白，红）、（白，红）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．
【点拨】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键． 组别
睡眠时间分组
频数
频率
4
0.08
8
0.16
10
21
0.42
0.14
红
红
红
白
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，白）