人教版九年级数学上册 24.21 圆的切线证明方法（知识讲解）

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方法一：有点（点在圆上）连线，证垂直
已知（切）点（该点在未确定前不能称之为切点），即当直线与圆有公共点时，选择作半径，即连接圆心与该公共点，证明垂直，常见证明垂直的思路有三种。
思路一：利用两个锐角互余证明垂直；
思路二：利用全等证明垂直；
思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；
思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。
这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三种思路。
方法二：无点（点不确定在圆上），作垂直，证相等
当切点未知时，选择作半径，即过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径。
【典型例题】
类型一、有点连线、证垂直
1．如图，AC是□ABCD的对角线，．O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O．求证：AB为⊙O的切线．

【分析】连接BO，并延长BO交CD于E，由O在BC垂直平分线上，得到，即OB是⊙O的半径．再运用平行四边形性质及，证明，从而证得AB为⊙O的切线．
证明：连接BO，并延长BO交CD于E，

∵O在BC垂直平分线上，
∴，
∴OB是⊙O的半径，，
∵AC是□ABCD的对角线，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵OB是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定，运用垂直平分线性质、平行四边形的性质及已知角的等量关系证得是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，AB是的直径，点C是圆上一点，于点D，点E是圆外一点，CA平分．
求证：CE是的切线．

【分析】先根据题意可知∠CAD+∠ACD=90°，由角平分线定义得∠ACE=∠ACD，再根据“等边对等角”得∠CAO=∠ACO，进入得出∠ACE+∠ACO=90°，可知∠ECO=90°，即可得出答案．
解：在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°．
∵CA平分∠ECD，
∴∠ACE=∠ACD．
∵AO=CO，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠ACE+∠ACO=90°，
∴∠ECO=90°，
∴CE⊥CO，
∴CE是圆O的切线．
【点拨】本题主要考查了切线的证明，掌握切线的判定定理是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.
（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.

【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见分析；（2）⊙O的半径是3．
【分析】
（1）连接OD，由OA＝OD得到∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAB得到∠OAD＝∠CAD，则∠ODA＝∠CAD，求出OD//AC，进而得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即(R+3)2＝()2+R2，
解得：R＝3，
即⊙O的半径是3．
【点拨】本题考查圆与直线的位置关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆与直线的位置关系和勾股定理.
2．如图，中，，⊙O是的外接圆．过点作，判断与⊙O的位置关系，并证明．
【答案】AD与圆O的相切，证明见分析
【分析】连接OA，OC，先证明△OAB≌△OAC得到∠OAB=∠OAC，则由三线合一定理可得AO⊥BC，再由，得到OA⊥AD，由此即可证明．
解：AD与圆O的相切，证明如下：
连接OA，OC，
在△OAB和△OAC中
，
∴△OAB≌△OAC（SSS），
∴∠OAB=∠OAC，
∴由三线合一定理可得AO⊥BC，
∵，
∴OA⊥AD，
∴AD与圆O的相切．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，切线的判定，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件．
举一反三：
【变式1】 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】相交，理由见分析
【分析】根据平行线的性质即圆的性质，证明，从而得，根据已知条件直线BC与⊙O相交，即可判断与⊙O的位置关系
解：相交，理由如下：
如图，连接，
，
，，
，
，
，
，，
（SAS），
，
直线BC与⊙O相交，
，
．
直线与⊙O相交．
线CD与⊙O的位置关系是：相交．
【点拨】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
【变式2】如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
求证：AB是⊙O的切线；
若BD＝8，CE＝12，求AC的长．
【答案】(1) 见分析 (2) 12
【分析】
（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
（2）在Rt△ODB中，根据勾股定理求得BO，得到BC＝16，然后，在Rt△ACB中，根据勾股定理列出关于AC的方程，解方程即可．
（1）证明：连接OD．
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE//OA，
∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD．
在△AOD和△AOC中，
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACO．
∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵CE＝12，
∴OE＝OD＝OC＝6，
在Rt△ODB中，
BD＝8，OD＝6，BD2＋OD2＝BO2，
∴BO＝10，
∴BC＝BO＋OC＝16．
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD＝AC．在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，即：AC2＋162＝（AC＋8）2，
解得：AC＝12．
【点拨】本题主要考查了切线的判定和性质、平行线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，熟练应用相关性质定理是解答本题的关键．
类型二、无点作垂直、证相等
3．如图，在平面直角坐标系中，的半径为，则直线与的位置关系怎样？
【答案】相切，理由见详解
【分析】首先画出直线，并过点作，垂足为，再根据函数关系式求得，，进而利用勾股定理得到，然后根据直角三角形的面积求得，从而得到结论圆心点到直线的距离等于的半径，可见直线与的位置关系是：相切．
解：结论：直线与的位置关系是：相切
理由：画出直线，过点作，垂足为，如图：
∵直线的解析式为
∴令，解得；令，解得
∴，
∴，
∴在中，根据勾股定理得
∵
∴
∵的半径为
∴圆心点到直线的距离等于的半径，即
∴直线与的位置关系是相切．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、利用三角形的面积求线段长等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【分析】连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，只要证明OM=ON即可得出结论．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM为半径，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC（AAS），
∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，
∴CD与⊙O相切．
【点拨】本题考查了切线的判定定理，菱形的性质，熟知无交点，作垂直，证半径是解题的关键．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O为圆心，OB的长为半径作⊙O．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AB＝6，BD＝2，求线段AC的长．
【答案】(1)见分析 (2)8
【分析】
（1）过O作OE⊥AC于E，先证Rt△ABO≌Rt△AEO，OB＝OE，即OE为圆的半径，即可求证；
（2）利用切线的性质可得AB=AE，再证Rt△BOD≌Rt△COE，即有BD＝CE＝2，则AC可求．
(1)证明：过O作OE⊥AC于E．

∵AO平分∠BAC，且∠ABC＝90°，OE⊥AC，
∴OB＝OE，即OE为圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)∵∠ABC＝90°，OB为⊙O半径，
∴AB是⊙O的切线，
又由（1）AC是⊙O的切线，
∴AB＝AE＝6，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
，
∴Rt△BOD≌Rt△COE，
∴BD＝CE＝2，
∴AC＝AE+CE＝8
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，在OE⊥AC的条件下证得OE为圆的半径是解答本题的关键．