人教版九年级数学上册 24.22 圆的切线证明方法（基础篇）（专项练习）

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2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
3．如图，AD，BD是的弦，，且，点C是BD的延长线上的一点，，求证：AC是的切线．
4．如图，点P是的直径延长线上的一点（），点E是线段的中点．在直径上方的圆上作一点C，使得．求证：是的切线．
5．如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交于AC的中点D，连接CO，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：BC时⊙O的切线；
（2）若AB=2，求线段EF的长．
6．如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长.
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.
(1)求证：AM是⊙O的切线.
(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．
9．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
10．已知：如图，AB是的直径，点C在上，BD平分ABC，AD＝AE，AC与BD相交于点E．
(1) 求证：AD是的切线．
(2) 若AD＝DE＝2，求BC的长．
11．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．
12．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(1) 如图①，△OPC的最大面积是________；
(2) 如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
13．如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
求证：是的切线；
若，，，求的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1) 求证：FG与⊙O相切；
(2) 连接EF，若AF＝2，求EF的长．
15．如图，Rt△ABC，∠ABC=90°，点O在AB上，AD⊥CO交CO延长线于点D，∠DAO=∠ACO，以点O为圆心，OB为半径作圆．
(1) 求证：AC是⊙O的切线；
(2) 已知，求OC的长？
16．如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
(1) 证明DE是⊙O的切线；
(2) AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8．
① 尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；
② 求DE的长．
17．如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
(1) 求证：直线BD是的切线；
(2) 求线段BM的长．
18．如图，中，，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1) 求证：；
(2) 若，，求BF的长．
19．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
(1) 求证：AB为⊙O的切线；
(2) 若AO＝20，BO＝15，求AE的长．
20．如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，过点作，交的延长线于点，平分．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，的半径为6，求的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O为圆心，OB的长为半径作⊙O．
(1) 求证：AC是⊙O的切线；
(2) 若AB＝6，BD＝2，求线段AC的长．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
(1) 试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2) 若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．
23．如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，OC，PC．若AB＝6，的长为π．
(1) 求∠AOC的度数；
(2) 若BC＝PC，求证：直线PC与⊙O相切．
参考答案
1．证明见分析
【分析】
连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．
解：如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
【点拨】此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．
2．证明见分析．
【分析】
利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线．
解：连接AC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
∴∠COB＝2∠ACO．
又∵∠COB＝2∠PCB，
∴∠ACO＝∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【点拨】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A．
3．证明见分析．
【分析】
先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．
证明：连接AB，
∵，且
∴AB为直径，AB2=82+42=80，
∵CD=2，AD=4
∴AC2=22+42=20
∵CD=2，BD=8,
∴BC2=102=100
∴，
∴
∴AC是的切线．
【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．
4．证明见分析
【分析】
连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，利用三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得到结论．
证明：连接，
∵点E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
5．（1）证明参见分析；（2）.
试题分析：（1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；（2）根据AB=2，则圆的直径为2，所以半径为1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO的长，再通过证明△EGO∽△CBO得到关于EG的比例式可求出EG的长，进而求出EF的长．
解：（1）如图：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵AD=CD，∴AB=BC，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）∵AB=2，∴BO=1，∵AB=BC=2，∴CO==，∵EF⊥AB，BC⊥AB，∴EF∥BC，∴△EGO∽△CBO，∴，∴，∴EG=，∴EF=2EG=.
考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质；3.勾股定理的运用.
6．（1）详见分析；（2）
【分析】
（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长．
（1）证明：∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴是等边三角形，.
∴，
∴
∵，且，
∴.
∴
【点拨】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”．
7．(1)证明见分析；(2)ON＝.
【分析】
(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝∠FAD，于是得到结论；
(2)证明△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，
∴∠DAM＝∠FAD，
∴∠BAM＝(∠CAD+∠FAD)＝90°，
∴AB⊥AM，
∴AM是⊙O的切线；
(2)解：∵AC＝AD，C是优弧ABD的中点，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AD＝4，
由（1）知AB垂直平分CD，则AB平分
∴CE＝DE＝2，

在中，设，则
根据勾股定理得，即
解得
∴OC＝OA＝，
∵∠ANO＝∠OCE＝30°，
∴ON＝2OA＝.
【点拨】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.
8．（1）详见分析；（2）π．
【分析】
（1）连结OD，根据等腰三角形的性质得到OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，根据切线的判定定理证明；
（2）根据平行线的性质得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可．
证明：如图，连结OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠ODF＝∠BFD＝90°，
∵OD为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，
∴劣弧DE的长为．
【点拨】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.
9．（1）见分析；（2）BD＝2
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；
（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．
（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOC+2∠OBC＝180°，
∵∠BOC＝2∠A，
∴∠A+∠OBC＝90°，
又∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠CBD+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠BOC，
∴OC＝BC，
又∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵BC＝2，
∴OB＝2，
∴BD＝2．
【点拨】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
10．(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据AB是的直径，可得C＝90°，由BD平分ABC，可得CBD＝ABD，根据AD＝AE，可得CEB＝DEA，进而可得BAD＝90°，即可得证；
（2）连接AF，根据等腰三角形的性质可得DF＝DE＝1，勾股定理求得，证明△AEF≌△BEC，即可求解．
（1）∵AB是的直径，∴C＝90°，∴CBE＋CEB＝90°，∵BD平分ABC，∴CBD＝ABD，∵AD＝AE，∴D＝AED，∵CEB＝DEA，∴ABD＋D＝CBE＋CEB＝90°，即BAD＝90°，∴AD是⊙O的切线 ，
（2）连接AF，如图，∵AB是的直径，∴AFB＝90°，即， ∵AD＝DE＝2，∴DF＝DE＝1， 在中，AD＝2，DF＝1，∴AF＝＝ ， ∵ DBA＋D＝EAB＋ DAE ＝ 90°，D＝DAE＝60°，∴DBA＝EAB，∴AE＝BE， 又AFE＝C＝90°，AEF＝CEB，∴△AEF≌△BEC（AAS）， ∴BC＝AF＝．
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
11．（1）见分析；（2）见分析；（3）．
【分析】
（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；
（3）易知是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.
解：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．

又∵DC=BD，
AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC．
（2）连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（3）由（1）得
是等边三角形


在中，

根据勾股定理得
【点拨】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.
12．(1)4(2)见分析
【分析】
（1）因为OC长度确定，所以当点P到OC的距离最大时△OPC的面积最大，当OP⊥OC时，当点P到OC的距离最大，等于圆O的半径，求出此时的△OPC的面积即可；
（2）连接AP，BP，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP=DB，因为CP＝DB，所以AP=CP，可证△APB≌△CPO（SAS），得到∠OPC＝90°，即可证明CP是切线．
(1)解：∵AB＝4，
∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S△OPCOC•h＝2h，
∴当h最大时，S△OPC取得最大值．
作PH⊥OC，如图①，则，当OP⊥OC时，，此时h最大，如答图1所示：
此时h＝半径＝2，．
∴△OPC的最大面积为4，
故答案为：4．
(2)证明：如答图②，连接AP，BP．
∵∠AOP＝∠BOD，
∴AP＝BD，
∵CP＝DB，
∴AP＝CP，
∴∠A＝∠C，
在△APB与△CPO中，
，
∴△APB≌△CPO（SAS），
∴∠APB＝∠OPC，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠OPC＝90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．
【点拨】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．
13．(1)见分析(2)13
【分析】
（1）连接，根据等边对等角可得，，根据对顶角相等，等量代换后可得即可得证；
（2）过点作，根据垂径定理可得，由，证明，可得，根据即可求解．
（1）如图，连接，
中，，，，，，，，，，即，是半径，是的切线；
（2）如图，过点作，
，，，，，在与中，，，，
【点拨】本题考查了切线的判定定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键．
14．(1)见分析(2)
【分析】
（1）连接OC，AC．先证明△ACD为等边三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．从而得到∠OCF=90°．即可求证；
（2）根据AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根据直角三角形的性质可得FG=2AF=4，
．再证得△ADE≌△GCE．可得AE=GE=．然后由勾股定理，即可求解．
(1)证明：连接OC，AC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC．
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．
∴∠AOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=30°．
∵FG∥DA，
∴∠ACF=∠DAC=60°．
∴∠OCF=90°．
∴OC⊥FG．
∵OC为半径，
∴FG与⊙O相切．
(2)解：∵AD∥FG，
∴∠AGF=∠DAE=30°．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAG=90°，
∴FG=2AF=4，
∴．
在△ADE和△GCE中，
∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，
∴△ADE≌△GCE．
∴AE=GE=．
∴．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．(1)见分析(2)
【分析】
（1）证明∠BCO=∠ACO，推出OE=OB，即可证明AC是⊙O的切线；
（2）证明△OBC≌△OEC，利用勾股定理求得AC=10，在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算可求得圆的半径，进一步求解即可．
(1)证明：作OE⊥AC，垂足为E，
∵AD⊥CO，
∴∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠ABC=90°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠DAO=∠BCO，
∵∠DAO=∠ACO，
∴∠BCO=∠ACO，
∵OB⊥BC，OE⊥AC，
∵OE=OB，
∵OB是半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵OBC=∠OEC，∠BCO=∠ACO，OC=CO，
∴△OBC≌△OEC，
∴BC=EC=6，
在Rt△ABC中，，
∴AE=AC−EC=10−6=4，
在Rt△AOE中，设半径为R，
∵AE2+OE2=OA2，
∴42+R2=(8−R)2，
∴R=OC=3，
∴在Rt△OBC中，．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
16．(1)见分析(2)①见分析；②DE=4.8
【分析】
（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）①利用垂径定理作出AD的垂直平分线即可；
②根据垂径定理以及勾股定理求得⊙O的半径和FO，再根据中位线中位线定理求得BD，然后根据三角形面积公式即可求解．
(1)证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，
∴BD又是AC边上的中线，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，又DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：①如图，作AD的垂直平分线与☉O相交于点P，点P即为所求．
②如图，AD的垂直平分线与AD相交于点F，连接BD，
∵PF⊥AD，
∴AF=AD=4，
设☉O的半径为r，
在Rt△AFO中，AF2+FO2=AO2，
即42+(8−r) 2=r2，解得r=5．
∴FO=PF−PO=3，
∵FO是△ABD的中位线，
∴BD=2FO=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
△ABC是等腰三角形，
∴AD=DC=8，
∴BC=AB=10，
在Rt△BDC中，
S△BDC=BD⋅CD=BC⋅DE，
∴DE=4.8．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线等知识点的综合运用．
17．(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据圆周角定理可得，从而得到 ，即可求证；
（2）连接DM，Rt△BOD中，根据直角三角形的性质可得 BO=2OD，从而得到，，再由的直径，可得，，从而得到，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．
(1)证明：∵∠BOD=2∠BAD，
∴，
又∵，
∴ ，即，
又∵为的半径，
∴直线BD是的切线；
(2)解：如图，连接DM，
Rt△BOD中，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的直径，
∴，，
在Rt△BDE中，，
∵，
∴，
在Rt△BDM中，．
【点拨】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
18．(1)见分析(2)7
【分析】
(1) 连接OD，得到，利用余角的性质得到，得出结果；
(2) 连接OF，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
(1)证明：连接OD，如图，
∵半圆O的切线DF，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
(2)解：连接OF．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点拨】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关键．
19．(1)见分析(2)8
【分析】
（1）根据OC＝OE，得到∠OCE＝∠OEC，再根据∠AOC＝2∠ACE，得到∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，即有OC⊥AB，结论得证；
（2）利用勾股定理求出AB，在根据三角形的面积的不同算法可求出OC，即AE可求．
(1)证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）
＝＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
(2)∵AO＝20，BO＝15，
∴，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8.
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的知识，利用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．
20．(1)见分析；(2)．
【分析】
（1）根据切线的判定定理证明即可；
（2）证明是等边三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半证明，再由勾股定理，得．
(1)证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线．
(2)解：，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
由勾股定理，得．
【点拨】本题考查切线的判定定理，等边三角形的判定及性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21．(1)见分析(2)8
【分析】
（1）过O作OE⊥AC于E，先证Rt△ABO≌Rt△AEO，OB＝OE，即OE为圆的半径，即可求证；
（2）利用切线的性质可得AB=AE，再证Rt△BOD≌Rt△COE，即有BD＝CE＝2，则AC可求．
(1)证明：过O作OE⊥AC于E．
∵AO平分∠BAC，且∠ABC＝90°，OE⊥AC，
∴OB＝OE，即OE为圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)∵∠ABC＝90°，OB为⊙O半径，
∴AB是⊙O的切线，
又由（1）AC是⊙O的切线，
∴AB＝AE＝6，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
，
∴Rt△BOD≌Rt△COE，
∴BD＝CE＝2，
∴AC＝AE+CE＝8
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，在OE⊥AC的条件下证得OE为圆的半径是解答本题的关键．
22．(1)DE是⊙O的切线，理由见分析；(2)DE的长为．
【分析】
（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DE，从而证得DE是⊙O的切线；
（2）由等腰三角形的性质求出BD=CD=8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
(1)解：DE是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，
∵∠ADB=90°，AB=AC，
∴BD=CD，
∵⊙O的半径为5，BC=16，
∴AC=AB=10，CD=8，
∴AD= ，
∵S△ADC=AC•DE=AD•CD，
∴DE=．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见分析(2)3
【分析】
（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
(1)解：如图，连接OD、CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=DE，
∴∠CDE=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，
∵∠ODF=90°，
∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．
【点拨】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键．
24．(1)(2)见分析
【分析】
（1）由直径为6，求得⊙O的周长，再由的长为，求得的度数．
（2）由（1）知，由于，可得，再由推出，从而证得，直线PC与⊙O相切．
(1)解：∵，
∴⊙O的周长为．
∵的长为，
∴．
(2)证明：∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴，
∴，
又∵点C在⊙O上，
∴直线PC与⊙O相切．
【点拨】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，综合运用圆的性质确定相关角度是解题关键．