人教版九年级数学上册 24.23 圆的切线证明方法（巩固篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.23 圆的切线证明方法（巩固篇）（专项练习），共57页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，AD，BD是的弦，，且，点C是BD的延长线上的一点，，求证：AC是的切线．
2．如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线．
(1) 求证：AD是O的切线．
(2) 若O的半径为4，，求平行四边形OAEC的面积．
3．如图，是的直径，是的一条弦，连接
求证：
连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
(1) 求证：EF是⊙O的切线；
(2) 若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC
(1) 求证：DE是⊙O的切线：
(2) 若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．
6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若AC=8，CD=12，求半径的长度．
7．如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1) 求证：CD是的切线；
(2) 若，，求AE的长．
8．如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的动点，连接，过点作//，交于点，连接．
(1) 求证：是的切线；
(2) 当的度数为______时，四边形是平行四边形．
9．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E．连接DA、DB．
(1) 求证：DE是⊙O的切线；
(2) 延长ED交AB的延长线于F，若AD＝DF，DE＝，求⊙O 的半径．

10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．
(1) 求证：BE是⊙O的切线；
(2) 若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．

11．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
(1) 求证：AE是⊙O的切线；
(2) 连接AC交⊙O于点P，若，BF＝1，求⊙O的半径．
12．如图，在中，以为直径作，交于点，交于点，且，过点作的切线交于点，过点作的垂线，交于点，交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长．
13．如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
(1) 求证：AC为的切线；
(2) 若，，求线段AD的长．
14．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．
求证：AC为⊙O的切线；
若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．
(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线；
(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
① 求证：AG＝BG；
② 若AD＝2，CD＝3，求FG的长．

16．如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD＝AC，CD的延长线交⊙O于点E．
点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是⊙O的切线；
若AB＝2，，求∠CAE的度数．
17．如图，中，，CO平分交AB于O点，以OA为半径的圆O与AC相切于点A，D为AC上一点且．
(1) 求证：BC所在直线与圆O相切；
(2) 若，，求圆O的半径．
18．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
(1) 求证：PB为⊙O的切线；
(2) 若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．
19．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，其中∠BAC＝90°，过点A作直线AD交CB的延长线于D，且∠BAD＝∠C．
求证：AD为⊙O的切线；
①F为OB中点，OE⊥AC于E，连接OA、EF交于G点，探究EG与GF的关系并说明理由；
② 延长AO交⊙O于H，连接FH，若EF＝FH，则∠ACB＝______度．
20．如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分．
(1) 求证：CD是半圈O的切线．
(2) 若，，求BC和AB的长．
21．如图，PB切⊙O于点B，连接PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，连接AP，AE．
(1) 求证：PA是⊙O的切线；
(2) 如果AB＝DE，OD＝3，求⊙O的半径．
22．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
求证：为的切线；
若，，求线段和的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，
(1) 求证：PC是⊙O的切线；
(2) 若AC＋BC＝2时，求CD的长．

24．如图，点是矩形中边上的一点，以为圆心，为半径作圆，交边于点，且恰好过点，连接，过点作EFBD，
(1) 若，
① 求的度数；
② 求证：是的切线．
(2) 若，，求的长．
25．如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
(1) 求证：与相切；
(2) 若，，求的长．

26．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．
(1) 求证：CF是⊙O的切线；
(2) 求证：∠ACD＝∠F；
(3) 若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
27．已知：四边形是的内接四边形，是直径，点是的中点，过点作交的延长线于点，四边形的面积为25
(1) 求证：是的切线；
(2) 求的长．
28．如图，在中，，D为AB边上的一点，以AD为直径的交BC于点E，过点C作交AB于点G，交AE于点F，过点E作交AB于点P，．
(1) 求证：BC是的切线；
(2) 求证：；
(3) 若，，求四边形CFPE的面积．
参考答案
1．证明见分析．
【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．
证明：连接AB，
∵，且
∴AB为直径，AB2=82+42=80，
∵CD=2，AD=4
∴AC2=22+42=20
∵CD=2，BD=8,
∴BC2=102=100
∴，
∴
∴AC是的切线．
【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．
2．(1)见分析(2)32
【分析】
（1）连接OD，证明，可得，根据切线的性质可得，进而可得，即可证明AD是O的切线；
（2）根据平行四边形OAEC的面积等于2倍即可求解．
(1)证明：连接OD．
∵四边形OAEC是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵AB与相切于点B，
∴，
又∵OD是的半径，
∴AD为的切线．
(2)∵
在Rt△AOD中，
∴平行四边形OABC的面积是
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
3．(1)答案见分析(2)答案见分析
【分析】
（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
证明：
连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，，，，，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
4．(1)见分析(2)⊙O半径为
【分析】
(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE// AC即可解答；
(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，易证四边形OEFG是矩形，从而得出OG = EF= 3，设⊙O的半径为x，然后利用垂径定理表示出AG，最后在Rt∆OAG利用勾股定理列出关于x的方程进行计算即可解答．
(1)证明：连接OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFD=∠EFC=90°
∵AB= AC，
∴∠B=∠C，
∵OB= OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB=∠C，
∴OE// AC，
∴∠OEF=∠EFC = 90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，
∴∠OGF = 90°
∵∠OEF=∠EFG=90°
∴四边形OEFG是矩形，
∴OG= EF= 3，
设⊙O的半径为x，
∴AB=AC=2x，
∵CD= 4，
∴AD= AC-CD= 2x- 4，
∵OG⊥AD，
∴AG=AD=x-2，
在Rt△OAG中，AG2 +OG2 =OA2
(x-2)2+9=x2
x=
⊙O的半径为．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．(1)见分析(2)5
【分析】
（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．
(1)解：如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)如图，连接AC，交OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF=CE=2，FC=DE=4．
由垂径定理可知
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，
即（r-2）2+42=r2，
解得r=5．
即半径为5．
【点拨】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．
6．(1)答案见分析(2)5
【分析】
（1）连接OD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠CDA＝∠CBD可得∠CDA+∠DAO＝90°，然后利用OD＝OA证出∠DAB＝∠ADO，从而得∠CDO＝90°，根据切线的判定即可得出；
（2）在Rt△CDO中利用勾股定理列出关于r的方程即可解答．
(1)证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，
∴122+r2＝（8+r）2，
∴r＝5，
∴半径的长度为5．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
7．(1)见分析(2)AE＝6
【分析】
（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．
（1）证明：连接OC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAD，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2
∴OB2＋42＝（OB＋2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，AD＝8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE＝CE，
∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，
∴82＋AE2＝（4＋AE）2，
∴AE＝6．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．(1)见分析(2)45°
【分析】
（1）连接OD，根据切线的性质求出∠PAO=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP=∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（SAS），根据全等三角形的性质得出∠PDO=∠PAO=90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据全等得出PA=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可．
（1）解：证明：连接OD，
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，即∠PAO=90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，
∵OD=OB，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠DOP=∠AOP，
在△AOP和△DOP中，
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO=∠PAO，
∵∠PAO=90°，
∴∠PDO=90°，即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA=PD，
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD=OB，
∵OB=OA，
∴PA=OA，
∴∠APO=∠AOP，
∵∠PAO=90°，
∴∠APO=∠AOP=45°．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．
9．(1)详见分析(2)2
【分析】
（1）连接OD，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出OD⊥DE，则可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，则得出答案．
（1）证明：连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为半圆O的切线；
解：∵AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
又∵∠EAD＝∠DAF，
∴∠EAD＝∠DAF＝∠DFA，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，
∴AD＝2DE＝2，
∴BD＝，
∴AB＝2BD＝4，
∴⊙O的半径为2．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．(1)见分析(2)
【分析】
(1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
(2）根据圆周角定理得到∠ABC=∠D=90°，构造矩形BEDF，根据矩形性质、垂径定理、勾股定理即可得到结论．
(1)
证明：
∵AC是⊙O直径，
∴
∵，
∴
连接OB，
∵，
∴
又∵BC平分，
∴，
∴
∴，
∴
又∵OB为半径，
∴BE为⊙O切线
(2)延长BO交AD于点F，
∵
∴四边形FBED为矩形，
∴，即OF⊥AD，
∵OF过圆心，
，
∴
中，，∴
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，熟知这些基本知识点正确添加辅助线是解题的关键．
11．(1)见分析(2)
【分析】
（1）如图所示，连接AF，先证明∠AFB=90°，然后证明△AED≌△AFB得到∠DAE=∠BAF，即可证明∠BAE=90°，从而证明结论；
（2）如图所示，连接BP，根据三线合一定理求出，设圆O的半径为r，则，，根据勾股定理可得，由此即可求解．
(1)解：如图所示，连接AF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠D，，
∴∠DAF=∠AFB=90°，
∵CE=CF，
∴CD-CE=BC-CF，即DE=BF，
∴△AED≌△AFB（SAS），
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=90°=∠BAF+∠EAF，
∴∠BAE=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AE是圆O的切线；
(2)解：如图所示，连接BP，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴，
设圆O的半径为r，则，
∴，
在Rt△ACF中，，
在Rt△ABF中，，
∴，
解得或（舍去），
∴圆O的半径为．
【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理,解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
12．(1)证明见分析(2)
【分析】
（1）根据切线，得到；连接OD，通过证OD是的中位线，证，进而得到，即可证明；
（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用，即可求解．
(1)证明：∵过点作的切线交于点，
∴，
连接OD，
∵，OA=OB，
∴OD是的中位线，
∴，
∴，
∴．
(2)解：设圆与AC相交于点E，连接DE，
由（1）可知，，
∴，
∵OD=OB，
∴，
∴，
∴AC= AB=2OB，
∵在和中，
，
∴，
∴CF=BG，
又∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴CD=DE，
又∵，
∴CF=EF，
∴，
即．
【点拨】本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．
13．(1)见分析；(2)．
【分析】
（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得x，进一步得出答案．
(1)证明：如图，连接OB，
∵，
∴ △OBC是等腰三角形，
∵，
∴，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴，
在△CAO和△BAO中

∴（SSS），
∴，
∵AB为的切线，
∴OB⊥AB,
∴，
∴，
∴，
∵OC是的半径，
∴AC为的切线；
(2)解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴（负根已舍去），
∴，
∴
【点拨】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△CAO≌△BAO是解题的关键．
14．(1)证明见分析(2)；
【分析】
（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案．
(1)证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：
∵OA⊥BC，
∴EC＝BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC＝AB，
∵在△CAO和△BAO中
，
∴△CAO≌△BAO（SSS），
∴∠OCA＝∠OBA．
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵OC＝2，OD＝5，
∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，
∵∠OBD＝90°，
∴BD，
设AC＝x，则AC＝AB＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴，
解得，
∴，
∴AD＝AB+BD＝AC+BD．
【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
15．(1)AD是OO的切线(2)①；②
【分析】
（1)连接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可证出ΔOACΔOAB(SSS),利用全等三角形的性质可得出∠OAC=∠OAB,即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC,结合AD//BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是OO的切线；
（2)①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，结合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，再利用等角对等腰可证出AG=BG；②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可证出ΔADCΔAFB(AAS)，利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG=x，在RtΔBFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解．
(1)证明：如图1，连接OA，OB，OC．
在△OAC和△OAB中，
∴，
∴，
∴AO平分，
∴，
又∵，
∴，
∴AD是的切线．
(2)①证明：如图2，连接AE．
∵，
∴.
又∵，
∴．
∵
∴.
∵，
∴，
∴．
②在△ADC和△AFB中，
，
∴，
∴，．
设，在中，，，，
∴，即，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1)利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；(2)①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG=∠ABC；②在RtΔBFG中，利用勾股定理求出FG的长。
16．(1)见分析(2)45°
【分析】
（1）要证明BF是⊙O的切线，只要求出∠OBF=90°即可，先根据直径所对的圆周角是直角，求出∠ACB=90°，再利用等边对等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠F，即可解答；
（2）根据直径的长可得出半径的长，所以连接OC，OE，然后利用勾股定理的逆定理证明△COE是直角三角形，最后利用圆周角定理即可解答．
解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDF，
∴∠ACD=∠BDF，
∵BC=BF，
∴∠BCD=∠F，
∴∠BDF+∠F=90°，
∴∠FBD=180°-（∠FDB+∠F）=90°，
∵OB是圆O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
(2)连接CO，EO，
∵AB=2，
∴OC=OE=1，
∵CE=，
∴CO2+EO2=2，CE2=（）2=2，
∴CO2+EO2=CE2，
∴∠COE=90°，
∴∠CAE=∠COE=45°．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目个已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．(1)见分析(2)圆O的半径为
【分析】
(1)过O作OE⊥BC于E，先由切线的性质得OA⊥AC，再由角平分线的性质得OE=OA，即可得出结论；
(2)由切线长定理得EC=AC=3，再证△OEB≌△OAD(AAS)，得EB=AD=2，OB=OD，则BC=EC+EB=5，AB=4，设OA=x，则OD=OB=4−x，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
(1)证明：如图：过点O作与点
与AC相切于点A

CO平分，

所在直线与相切
(2)解：，

、BC是的切线

在与中


，


设OA=x，则OD=OB=4-x
在中，

解得
即的半径为．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．(1)见分析(2)6，
【分析】
（ 1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，证明△OBP≌△OAP，根据全等三角形的性质得到∠OBP＝∠OAP＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2 ）先根据勾股定理求出AD，再求出PB，根据三角形的面积公式求出BC，根据垂径定理解答即可．
(1)证明：连接OA，
∴由垂径定理可知：∠BOC＝∠AOC，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线；
(2)在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PA+4）2＝PB2+82，
解得，PB＝PA＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝3，
∵S△OBP＝×OP×BC＝×OB×PB，
∴×3×BC＝×3×6，
解得，BC＝，
∴AB＝2BC＝．
【点拨】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
19．(1)见分析(2)①EG＝FG，理由见分析；②45
【分析】
（1）由OA＝OC得∠C＝∠OAC，由∠BAD＝∠C等量代换得∠OAC＝∠BAD，再由∠BAC＝90°可得∠BAD+∠OAB＝90°，即可得出结论；
（2）①取OA的中点K，连接FK，由三角形中位线可证明△GOE≌△GKF，即可得出EG＝FG；
②延长FG交AC于M，连接AF，先证明FM垂直平分AE，得到EF＝AF，进而得到AF＝FH，由等腰三角形的性质可得∠AOF＝90°，由圆周角定理即可得到∠C＝45°．
(1)证明：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAC＝∠BAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAC+∠OAB＝90°，
∴∠BAD+∠OAB＝90°，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
(2)①EG＝FG，
理由：如图，取OA的中点K，连接FK，
∵F是OB的中点，K是OA的中点，
∴FK是△OAB的中位线，
∴FKAB，FK＝AB，
∵OE⊥AC，
∴E是AC的中点，
∵O是BC的中点，
∴OE是△CAB的中位线，
∴OEAB，OE＝AB，
∴OEFK，OE＝FK，
∴∠OEG＝∠KFG，∠GOE＝∠GKF
∴△GOE≌△GKF（ASA），
∴EG＝FG；
②如图，延长FG交AC于M，连接AF，
∵OE⊥AC，OEFK，
∴FK⊥AC，
∵OF＝FB，OEMFAB，
∴EM＝AM，
∴FM垂直平分AE，
∴EF＝AF，
∵EF＝FH，
∴AF＝FH，
∵AO＝OH，
∴FO⊥AH，
∴∠AOF＝90°，
∴∠C＝45°，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．
20．(1)见分析(2)
【分析】
（1）过点O作OE⊥DC，垂足为E．由角平分线的性质定理得到OE=OB，从而可知DC是半圆O的切线；
（2）由切线长定理可知：DE=DA，EC=CB，从而可求得BC的长．
(1)证明：如图，过点O作于点E．
∵BC是半圆O的切线，
∴．
∵CO平分，
∴，
∴CD是半圆O的切线．
(2)解：∵AD，CD，BC是半圆O的切线，
∴，．
∵，
∴，
∴．
如图，过点D作于点F，故四边形DABF为矩形，
∴，，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴．
【点拨】本题主要考查的是切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键．
21．(1)见分析(2)5
【分析】
（1 ）连接OA、OB，根据切线的性质得出∠PBO＝90°，由等腰三角形的性质∠POA＝∠POB，继而证得△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质证得∠PAO＝∠PBO，根据切线的判定定理即可得出结论；
（2 ）由垂径定理证得AB＝2AD，设AD＝x，得出DE＝2x，OA＝OE＝2x﹣3，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可求出⊙O的半径．
(1)证明：如图，连接OA，OB，如图所示：
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PE于点D，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴PA⊥OA，
∵OA是半径，
∴PA为⊙O的切线；
(2)解：∵BA⊥PE．
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD，
∵AB＝DE，
∴DE＝2AD，
∵DE＝OD+OE＝OD+AO，
∴AO＝2AD﹣OD＝2AD﹣3，
设AD＝x，
∴AO＝2x﹣3，
在Rt△AOD中，
∵AO2＝AD2+OD2，
∴（2x﹣3）2＝32+x2，
解得：x＝4，或x＝0（不合题意舍去），
∴OA＝2x﹣3＝5，
即⊙O的半径为5．
【点拨】本题考查圆内的计算和证明，解决问题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形求线段长．
22．(1)见分析(2)
【分析】
（1）连接OB，证明，根据全等三角形的性质得出，由切线的性质得出，则，从而得出结论；
（2）根据勾股定理求出BD的长，设AC=x，则AC=BD=x，得出方程，解方程即可得出答案.
(1)证明：连接OB，则OC=OB，
∵OA⊥BC，
∴EC=BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC=AB，
在△CAO和△BAO中
∴，
∴,
又为的切线，
∴，
∴，即，
所以为的切线；
(2)解：，，
，，
设AC=x，则AC=BD=x，
，
，
（负根舍去），
，
.
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键.
23．(1)见分析(2)
【分析】
（1）连接OC，根据AB为直径，得出∠ACB=90°，则∠ACO+∠OCB=90°，从而得出∠BCP +∠OCB=90°，即∠OCP=90°，即可得出结论；
（2）连接BD，作，垂足为M，N，根据CD平分，，，得出，推出，再利用HL证明，得出四边形为矩形，再推出矩形为正方形，则，即可得出答案
解：(1)连接OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BCP＝∠BAC，
∴∠BCP=∠ACO
∴∠BCP +∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
(2)连接BD，作，垂足为M，N，
∵CD平分，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24．(1)①30°；②见分析(2)
【分析】
（1）①由圆的性质及等腰三角形的性质可得∠OBD=30°，然后根据矩形的性质及平行线的性质可得答案；
②连接OE，由圆的性质及等腰三角形的性质可得∠DEO=∠ODE=60°，然后根据三角形的内角和定理及切线的判定定理可得结论；
（2）根据平行线的性质得CE：ED=CF：FB=2：3，设CE=2x，则DE=3x，过点O作OH⊥DE于点H，根据垂径定理及矩形的判定与性质可得DO=BO=CH=DCDH=，最后由勾股定理可得答案．
（1）解：①∵OD=OB，∠DOB=120°，
∴∠OBD=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠CDB=∠OBD=30°，
∵EF//BD，
∴∠CEF=∠CDB=30°；
②证明：如图，连接OE，

∵∠ODB=∠DBO=∠EDB=30°，
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=60°，
∵OD=OE， ∴∠DEO=∠ODE=60°，
∴∠OEF=180°-∠DEO-∠CEF=180°-60°-30°=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
解：∵EF∥DB，
∴CE：ED=CF：FB=2：3， 设CE=2x，则DE=3x，过点O作OH⊥DE于点H，
由垂径定理可得DH=DE=，
∵∠CBO=∠C=∠CHO=90°，
∴四边形CHOB是矩形，
∴DO=BO=CH=DCDH=， 在Rt△ODH中，有DH2+OH2=DO2， 解得，
∴DO=．
【点拨】此题考查的是圆的有关性质、垂径定理、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
25．(1)见分析；(2)．
【分析】
（1）连接AE，根据平行四边形的性质得到，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）连接EF，作EG⊥AC，由（1）可知的性质得出后证明是等边三角形，接着求出，利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出，最后利用勾股定理求出EF的长．
(1)解：连接AE，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AE是的半径，
∴与相切；
(2)连接EF，作EG⊥AC，
由（1）可知，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∴，
在中，
．
【点拨】本题主要考查圆的综合，切线的判定、三角形全等的判定及性质、勾股定理，重点是掌握圆的基础知识定理，并且要灵活运用．
26．(1)见分析(2)见分析(3)
【分析】
（1）连接OC，根据直径所对的角是直角及等腰三角形转换得∠BCF +∠OCB=90°，即可得证
（2）根据同弧或等弧所对的角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化得证
（3）利用勾股定理列方程计算得出OH的长度，再利用中位线的性质得出AD的长度
(1)解：如图，连接OC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠ACO
∵∠BCF=∠BAC
∴∠BCF +∠OCB=90°
∴∠OCF=90°
∴OC⊥CF
∴CF是⊙O的切线
(2)∵点C是劣弧BD中点
∴∠CAD=∠BAC
∵∠BCF=∠BAC
∴∠CAD=∠BCF
∴∠CAD=∠CBD
∴∠BCF=∠CBD
∴CF∥BD
∴∠ABD=∠F
∴∠ACD=∠ABD
∴∠ACD=∠F
(3)，
∴点H为BD的中点
∵AB＝10，BC＝6
设OH=x，则CH=5-x，根据勾股定理得
解得：
∵OH是中位线
∴
【点拨】本题考察了圆和三角形的综合问题，利用同弧或等弧所对的角相等以及利用勾股定理列出方程，是解决问题的关键．
27．(1)见分析(2)
【分析】
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出为90°，结合D是AC的中点，则可求出△ADC是等腰直角三角形，结合平行线的性质推出DE⊥OD，则可得出结论；
（2）过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥BE于N，先证明四边形BMDN为矩形，利用SAS证明△ADN≌△CDM，得出，从而把四边形 ABCD 的面积转化为四边形BMDN的面积，由等腰直角三角形的性质得出BM=DM，证出四边形BMDN是正方形，根据正方形的面积求其边长，最后根据勾股定理求BD长即可．
(1)证明：如图，连接OD，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵D是的中点，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠CAD=45°，OD⊥OA，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠OAD，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠ADE+ADO=90°，
即ED⊥OD，
∴是的切线；
(2)如图，过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥BE于N，
∵AC是的直径，点B和点D在上，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵DM⊥BC，DE⊥BE，
∴∠BMD=∠BND=∠ABC=90°，
∴四边形BMDN为矩形，
∴BM=DN，∠MDN=90°，
∵点D是的中点，
∴AD=CD，
∵∠ABD是所对的圆周角，∠CBD是所对的圆周角，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠BDM=∠CBD=45°，
∴BM=DM，
∵ON=DM，
∵∠MDN=∠AND+∠ADM=90°，
∠ADC=∠CDM+∠ADM=90°，
∴∠AND=∠CDM，
在△AND和△CDM中，
，
∴△ADN≌△CDM，
∴，
∵ ，
∴，
即，
∵四边形BMDN是矩形，
∵BM=DM，
∴四边形BMDN是正方形，
∴，
∴BM=5或-5（舍去），
∴BM=DM=5，
∵ ．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质、正方形的判定和性质，以及面积的和差关系，解题的关键是根据条件作出辅助线，证明四边形BMDN是正方形．
28．(1)见分析；(2)见分析；(3)
【分析】
（1）连接OE，由等腰三角形的性质和圆周角可得∠AED＝，∠OED=∠ADE，由余角的性质可得∠DEB+∠OED=，进而可得∠BEO=，可得结论；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE为∠CAB的角平分线，由角平分线的性质可得CE=EP；
（3）连接PF，先证四边形CFPE是菱形，可得CF=EP=CE=PF，由AAS可证△ACE≌△APE，可得AP=AC=13，由勾股定理可求CF的长，即可求解．
(1)证明：连接OE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED=，
∴∠EAD+∠ADE=，
又∵∠DEB=∠EAD，
∴∠DEB+ ∠OED=．
∴∠BEO=．
∴OE⊥BC．
∴BC是的切线；
(2)证明：∵∠BEO=∠ACB=，
∴AC∥OE，
∴∠CAE= ∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠CAE= ∠EAO．
∴AE为∠CAB的角平分线，
∵EP⊥AB， ∠ACB=，
∴CE=EP；
(3)解：连接PF．
∵CG=12，AC=13，
∴AG=．
∵∠CAE=∠EAP，
∴∠AEC=∠AFG=∠CFE．
∴CF=CE．
∵CE=EP，
∴CF=PE．
∵CG⊥AB， EP⊥AB，
∴CF∥ EP．
∴四边形CFPE是平行四边形，
∵CE=CF，
∴四边形 CFPE菱形．
∴CF=EP=CE=PF．
∵∠CAE=∠EAP，∠EPA=∠ACE= ，CE=EP，
∴△ACE≌△ APE (AAS)．
∴AP=AC=13．
∴PG=AP-AG=13-5=8．
∵，
∴，
∴．
∴四边形CFPE的面积=．
【点拨】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．