人教版九年级数学上册 24.32 弧长及扇形的面积（巩固篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.32 弧长及扇形的面积（巩固篇）（专项练习），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．一个扇形的弧长是12πcm，面积是108πcm2，则此扇形的圆心角的度数是( )
A．300°B．150°C．120°D．75°
4．如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．6
5．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A．B．C．D．
6．如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正三角形ABC中，边长，将正三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转180°至正三角形，则线段BC扫过的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径，交于点G，半径，交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 _____．
12．如图，在扇形ODE中，，，是扇形的内接三角形，其中A、B、C分别在弧DE和半径OE、OD上，，，则线段AC的最小值为______．
13．如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为____．
14．如图，正方形 ABCD 的边长为4cm，动点M，N分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿 AB，CD向终点 B，D移动，当点 M到达点B时，运动停止．过点B作直线MN的垂线BG，垂足为点G，则G点运动的路径长为_______cm
15．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
16．如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
17．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若，CB＝2，则阴影部分的面积是______．
18．如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）
三、解答题
19．如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
20．如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，弧AC=R.
求：（1）∠AOC的度数.（2）若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.
21．如图，边长为的等边△ABC内接于⊙O，D为劣弧上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B沿劣弧运动到点C时，求点E经过的路径长．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
23．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°
（1）画出旋转之后的△AB′C′；
（2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．

24．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）求证：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．
参考答案
1．C
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的长==2π，
故选：C．
【点拨】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
2．B
【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；
解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：，
故选：B．
【点拨】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．
3．C
【分析】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式解答即可．
解：设扇形所在的圆的半径为rcm，圆心角为n°，由题意得：，解得：r=18，
∵，
∴此扇形的圆心角n=120°．
故选：C．
【点拨】本题考查了扇形面积和弧长公式的计算，属于常考题型，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解答的关键．
4．B
【分析】连接OC、OP，易得∠OPB=90°，点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，求即可．
解：连接OC、OP，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，
∴OP⊥BC（三线合一），
即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达位置，
点P所经过的路径长为，
连接，∵D为OB中点，为AB中点，
∴∥OA，
∴=，BD=OA=3，
∴，
即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆的所在位置，以及等腰三角形的性质、中位线的性质、弧长公式，熟练掌握这些性质是解题的关键．
5．B
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
解：连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点拨】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
6．A
【分析】先在Rt△OCB中利用特殊角求出OC、BC、∠COB，进而可求出，接着可以求出，则可以表示出、、，则阴影部分的面积可求．
解：在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故选：A．
【点拨】本题主要是考查了旋转的性质、扇形面积的求解以及解含特殊角的直角三角形等知识，求出、、是解答本题的关键．
7．B
【分析】分别取BC，的中点为D，，把所求面积分解成三部分在进行求解即可；
解：如图，BC扫过的面积即为阴影部分的面积；
分别取BC，的中点为D，，
∴，
∵等于大半圆面积减去小半圆面积，，
∴，
∵是所对弓形的面积的一半，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，扇形的面积公式，准确利用数形结合的方法求解是解题的关键．
8．A
【分析】作OD⊥AC交圆于点D、交AC于点E，根据垂径定理，OD平分 和，又因为AC是对折线，所以OD与AC互相垂直平分，所以ODCO组成的图形面积是与组成的图形面积的一半，也就等于ADCEA组成图形面积，此部分面积可用扇形OAC的面积减去△OAC面积求出，再用求出的面积减去扇形ODB的面积即得阴影部分面积．
解：作OD⊥AC交圆于点D，交AC于点E，连接OC，如图，
∴OD垂直平分弦AC，平分 和，
∵AC是向圆内的折线，且弦AC折叠后经过点O，
∴点O是点D关于AC的对称点，即OD与AC互相垂直平分，
∴OE=DE=OD
设与弦AC构成的图形面积为SADC，与构成的图形面积为SADCO，与和线段OD构成的图形面积为SODC，
则SADC=SADCO，SODC=SADCO，
∴SODC=SADC，
∵OD、OA都是圆O的半径，半径为4cm，
∴OE=OD=OA=，
∴∠OAE=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，
∴S扇形OAC==(cm2)，
∵AC=2AE=cm，
∴S△OAC=(cm2)，
∴SADC= S扇形OAC - S△OAC=（）(cm2)，
∴SODC=（）(cm2)，
∵OB⊥OA，∠AOE=60°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°，
∴S扇形OBD=(cm2)，
∴S阴影=SODC- S扇形OBD==（）(cm2)，
故选 A．
【点拨】本题考查了求扇形和弓形面积、垂径定理、折叠问题及三角形的知识，解题的关键是要能通过对称看出SODC=SADC=SADCO，以及S阴影=SODC- S扇形OBD，再分别求出各部分面积就能求解．
9．A
【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，
故选：A．
【点拨】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．
10．D
【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，连接EC，再证明△CMG≌△CNH，可证得白色部分的面积等于对角线为的正方形CMEN得面积，进而可求得阴影部分的面积．
解：∵两个直角扇形的半径长均为，
∴两个扇形面积和为，
过C分别作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，连接EC，则四边形CMEN是矩形，
∵C是的中点，
∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴四边形CMEN是正方形，
∴∠CMG=∠MCN=∠CNH，
∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴白色部分的面积等于对角线为的正方形CMEN的面积，
∴空白部分面积为，
∴阴影部分面积为，
故选：D．
【点拨】本题考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面积是解答的关键．
11．
【分析】由同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可得，因此．结合AB是的直径，可得所对的圆心角的度数．再利用弧长公式计算的长即可．
解：∵、、、所在的圆是等圆
又∵、、所对的圆周角都是
∴==
又∵=
∴===
又∵ +++=
∴=
∴
又∵AB是的直径
∴所对的圆心角为
∴的长=
故答案为
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，弧长的计算，翻折变换．求所对的圆心角的度数是解题的关键．
12．
【分析】取BC的中点M，连接AM，OM，AO．AM+OM≥OA，当且仅当A、M、O三点共线时等号成立，这样问题迎刃而解．
解：取BC的中点M，连接AM，OM，AO．
∵AC：BC=3：8，
∴可以假设AC=3k，BC=8k，则CM=BM=4k，
∵∠ACB=∠COB=90°，
∴
∵AM+OM≥OA，
∴5k+4k≥5，
∴k≥，
∴k的最小值为，
∴AC的最小值为，
故答案为．
【点拨】本题是属于动点问题，难点是A、B、C三点都是动点，关键是找出与AC关联的两条线段OM、AM，通过添三条辅助线，将问题转化到一个斜三角形中，这是一般学生很难想到的．在图中，学生可能还会想到斜三角形AOC，但是OC与AC不关联，问题也会陷入困境，因此构造合适的斜三角形至关重要．
13．45°##45度
【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
解：∵扇形的弧长是，半径为2，
∴，
解得：n＝45，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
14．
【分析】连接BD，AC相交于O，在运动过程中，，得到点G的轨迹为以OB 为直径的半圆，G点轨迹长度等于半圆弧长，即可算出．
解：连接BD，AC相交于O
在运动过程中，
故点G的轨迹为以OB为直径的半圆
G点轨迹长度等于半圆弧长，
即：
故答案为：．
【点拨】本题考查动点问题，得到G点轨迹是以OB为直径的半圆是解题关键．
15．
【分析】证明△OCG≌△OBE，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圆心角，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形边长为4，
∴AC=，
∴OC=
∵，
=
=
=
故答案为：
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．
16．
【分析】把△ADE顺时针方向旋转60°到△ABC，要求的阴影部分的面积就是边长为5，角为60°的扇形面积．
解：圆形面积= =25π
扇形的面积= =
【点拨】此题考查了求阴影部分的面积，解题关键是把阴影的面积变成求扇形的面积．
17．
【分析】连接OC，设CD与AB的交点为E，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC的面积即可．
解：连接OC，设CD与AB的交点为E，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，，CB＝2，
∴，，
∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，
∵CO=BO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OC=OB=2，
∴
=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．
18．
【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．
解：∵等腰中，
∴BC=2
∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；
所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．
（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形
所以
∴；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点拨】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
20．(1)∠AOC=60°；
(2)D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点其中一条.
【分析】（1）根据弧AC=R和弧长公式，即可求得弧所对的圆心角的度数；
（2）根据全等三角形的性质得到对应角相等，再根据内错角相等，两条直线平行，即可得到AC∥OD，或者结合（1）的结论发现等边三角形AOC，从而证明点D只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点即可．
解：（1）设∠AOC=n°,
∵AC=R，
∴R，
∴n=60°,
∴∠AOC=60°；
（2）∵∠AOC=60°,OA=OC,
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=∠AOC=60°.
∵△AEC≌△DEO，
∴∠CAO=∠DOB=∠C=60°，
∴AC∥OD,
∴∠BOD=∠CAO=60°, ∠COD=∠C=60°,
∴D是劣弧BC的中点，
∴D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点即可．
【点拨】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：.本题也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质.
21．
【分析】如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧，即为点E的运动轨迹．求出圆心角，半径即可解决问题．
解：
如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧，即为点E的运动轨迹．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBC=30°，
∴∠TKO=60°，
∵AB=BC=AC=，
∴OB=2，
∴KO=1，
∴点E经过的路径长为．
【点拨】本题考查轨迹、等边三角形的性质、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹．
22．（1）证明见分析；（2）．
【分析】（1）连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论；
（2）连接，利用（1）的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
解：（1）证明：连接，
，
，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD．
∴DF⊥AC．
（2）连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°．
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°．
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°．
的半径为4，
，，
．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．
23．．（1）画图见分析；（2）．
【分析】（1）根据网格结构找出点B、C旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可
（2）先求出AC的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解．
解：（1）△AB′C′如图所示：
（2）由图可知，AC=2，
∴线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．
【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，是基础题，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
24．（1）证明见分析（2）证明见分析；（3）；阴影部分的面积是：cm2．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；
（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形全等；
（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC
又∵OF⊥AC
∴OF∥BC
（2）证明：∵AB⊥CD
∴
∴∠CAB=∠BCD
又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，
∴△AFO≌△CEB
（3）连接DO．设OE=x，
∵AB⊥CD
∴CE=CD=5cm．
在△OCB中，OC=OB=x+5（cm），
根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2
解得：x=5，即OE=5cm，
∴tan∠COE=，
∴∠COE=60°
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面积是：cm2
△COD的面积是：CD•OE=×10×5=25cm2
∴阴影部分的面积是：（）cm2．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．