四川省南充市阆中中学校2023-2024学年高三上学期一模考试数学（理）试题

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1．C2．A3．D4．B5．B
6．B7．C8．D9．D
10．B
【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
因为圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，
所以，即内切圆的圆心为，半径为1，
可设，又，
∴，，
∴，
故得到，
∴，
∴，
当时等号成立，即的最大值为2.
故选：B.
11．A
【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：A
12．A
【详解】由知函数的图象关于直线对称，
∵，是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴的周期为4，
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
方程在上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数，
在和上，
则方程在和上没有实数根，
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，方程的两实数根之和为，
当，方程的所有6个实数根之和为.
故选：A.
13．15
14．
15．
16．①③④
【详解】对于②，设，若平面PAC，平面PAC，所以.
因为菱形ABCD的边长为2，，所以是等边三角形，
所以,即.
因为,平面,所以平面.
因为平面，所以.
又，所以,故②错误.
对于④，由②可得当时，平面,
设为三棱锥的外接球球心，为等边的重心，过作,垂足为，
因为，所以,,
所以三棱锥的外接球半径为,
所以三棱锥的外接球体积为，故④正确.
对于①，设在的投影为，因为，所以在所在的直线上.
又，所以，解得.
因为二面角可能为锐角或钝角，
（i）当二面角为钝角时，
所以,，
所以.
（ii）当二面角为锐角时，
因为,，
所以在中，由余弦定理可得,
即，即,解得.
所以是的中点，所以,
所以.
综上，或3，故①正确.
对于③，若M，N分别为AC，PD的中点，由中位线定理可得,
因为平面,平面,
所以平面，故③正确.
故答案为:①③④.
17【详解】（1）如下表所示：
（2）因为，
所以有的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择有关．
18．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
所以，故
因为，.
（2）设，则，
在中，有.
在中，有.
又，所以，
所以有.又，所以.
在中，由余弦定理可得.
又，，，
所以有.
联立，解得 ，所以，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设BD与OC相交于点，
因为为正三角形，所以，
又为AB的中点，则．
因为平面平面ABS，平面ABS，平面平面，，所以平面ABCD，
又平面，则．
因为四边形ABCD为矩形，，
在中，，
在中，，
所以，所以，
又，则，即，所以，
又，，平面，所以平面SOC，
又平面BDS，所以平面平面BDS．
（2）解：因为四边形ABCD为矩形，所以，
又平面平面SAB，平面平面，平面ABCD，所以平面SAB．
以为坐标原点，过点作平行于AD的直线为轴，以OB和OS所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，，
，，，
设平面SCD的一个法向量为，
则，即，
令，则．
由（1）可知，平面SOC，所以是平面SOC的一个法向量．
因为，
所以二面角的正弦值为．
20．(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
【详解】（1）设，其中，
由，得，化简得，
，即，
线段中点纵坐标的值为；
（2）证明：设，
，
直线的方程为，化简可得，
在直线上，解得，
同理，可得，
，
，
又直线的方程为，即，
直线恒过定点．
21．(1)；
(2).
【详解】（1）当时，,则，
所以，即在点处的切线斜率为.
而，所以切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
所以，即，即.
令，则.
，所以在上单调递增，
所以恒成立，即，即恒成立.
令，则，
令，解得，令，解得,
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为恒成立，所以，解得.
所以实数a的取值范围是.
22．(1)和
(2)
【详解】（1）的参数方程为（为参数），消去可得，
，所以曲线的直角坐标方程为.
将，代入得，曲线的极坐标方程为
的极坐标方程为，联立可得，
又因为两个曲线都经过极点，
所以曲线和曲线的交点极坐标为和.
（2）当时，，，.
显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大，
直线MN的方程为，圆心到直线MN的距离为，
所以点P到直线MN的最大距离，
所以.
23．（1）；（2）．
【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法
当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．
故不等式的解集为．
［方法二］：【最优解】数形结合法
如图，当时，不等式即为．
由绝对值的几何意义可知，表示x轴上的点到对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，．故不等式的解集为．
（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论
当时，成立等价于当时，成立．
若，则当时，；
若，由得，，解得：，所以，故．
综上，的取值范围为．
［方法二］：平方法
当时，不等式成立，等价于时，成立，即成立，整理得．
当时，不等式不成立；
当时，，不等式解集为空集；
当时，原不等式等价于，解得．
由，解得．故a的取值范围为．
［方法三］：【最优解】分离参数法
当时，不等式成立，等价于时，成立，
即，解得：，而，所以．故a的取值范围为．甲设备
乙设备
合计
合格品
70
90
160
不合格品
30
10
40
合计
100
100
200