2024盐城盐城一中、大丰中学高二上学期10月联考数学试题含解析

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本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角．
故选：D．
2. 双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程；
【详解】解：双曲线，即的右焦点坐标为，
所以，解得，所以双曲线方程为，
则双曲线的渐近线为；
故选：C
3. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（ ）

A. 1.1B. 1.0C. 0.9D. 0.8
【答案】A
【解析】
【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案.
【详解】因为，所以，
不妨设，则．
由题意，知，即．
解得．
故选：A．
4. 如果圆上存在两个不同的点P，Q，使得（O为坐标原点），则a的取值范围（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由可得P，Q两点在圆上，然后条件可转化为圆与圆有两个交点，然后建立不等式求解即可.
【详解】因为（O为坐标原点）
所以P，Q两点在圆上
所以条件可转化为圆与圆有两个交点
因为圆的圆心为，半径为1
所以，解得
故选：A
【点睛】本题考查的是圆的定义、圆与圆的位置关系，解答的关键是将条件转化为两圆的位置关系，属于基础题..
5. 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据联立直线与抛物线方程得韦达定理，进而根据中点坐标求出点的横坐标，再借助抛物线的定义以及共线求解作答．
【详解】抛物线的焦点，准线，直线，
由，消去并整理得：，
设,，,，
则，线段的中点的横坐标，
过作准线的垂线于点,交抛物线于点,
于是，
在抛物线上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连，，，
则有，当且仅当点与点重合时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
6. 设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点( )
A. 必在圆内B. 必在圆上
C. 必在圆外D. 以上三种情形都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的离心率为可得的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可求，再判断点与圆的位置关系.
【详解】因为椭圆离心率为，所以，又，所以，，所以方程可化为，又，所以，由已知方程的两个实根分别为和，所以， ，所以，所以点必在圆内，
故选：A.
7. 设是椭圆与双曲线公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出、，由勾股定理即可得到、的关系，从而解出．
【详解】由椭圆及双曲线定义得，所以，
因为，
由余弦定理得，
同时除以得，
因为，，，
所以，则，
故选：B.
8. 已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，中点，则，，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最小值，进而可求出的最大值.
【详解】设，中点，则，，
又，，
则，
所以，
又，则，而，，
所以，即，
综上，，
整理得，即为M的轨迹方程，
所以在圆心为，半径为的圆上，
又，所以点在圆外，
则，
所以
故选：C.
【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于中点的轨迹方程.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线,，，以下结论正确的是（ ）
A. 无论a为何值，与都互相垂直
B. 当a变化时，表示过定点的所有直线
C. 无论a为何值，与都关于直线对称
D. 若与交于点M，则（O为坐标原点）的最大值是
【答案】AD
【解析】
【分析】对A：讨论与时对应直线的位置关系即可；
对B：讨论斜率不存在时的情况，即可判断；
对C：讨论与平行的状态，即可判断；
对D：点的轨迹为圆，数形结合即可求的最大值.
【详解】对A：当时，方程为：，方程为：，两直线垂直；
当时，直线的斜率，直线的斜率，满足，两直线垂直；
故无论a为何值，与都互相垂直，A正确；
对B：，也即，其表示过点，斜率为的直线；
若直线过点且斜率不存在时，该方程无法表示，B错误；
对C：当时，直线,的方程分别为：
，，此时与平行，
关于的对称直线为，不是，故C错误；
对D：由A可得：直线垂直，且直线恒过定点，直线恒过定点，
故点的轨迹是以为直径的圆，此时恰有点也在该圆上，

故的最大值为圆的直径，故D正确.
故选：AD.
10. 定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆的“相关直线”的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分析可知，圆心到“相关直线”的距离满足，然后计算出圆心到每个选项中直线的距离，即可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为.
设圆心到“相关直线”的距离为，由图可知，可得.
对于A选项，，不合乎题意；
对于B选项，，合乎题意；
对于C选项，，合乎题意；
对于D选项，，不合乎题意.
故选：BC.
11. 已知抛物线C：的准线为l：，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 以为直径的圆与x轴相交
C. 最小值为9
D. 过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，再结合，利用基本不等式即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
【详解】
由题意，抛物线的准线为，
，所以抛物线方程为，焦点，过点作于，作于，由抛物线定义，，
故A正确；
，所以以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，线段的中点到轴的距离是，
所以以为直径的圆与轴相切，故B错误；
设直线的方程为，代入抛物线，可得，，又，
，
，
当且仅当时等号成立，故C正确；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去得，
因为直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以即，解得或1，
综上，过点与抛物线有且只有一个公共点的直线共有3条，故D正确.
故选：ACD.
12. 双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A. I到y轴的距离为aB. 点的轨迹是双曲线
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出基本图形，结合内切圆性质和切线长定理，双曲线第一定义可证，判断A项；结合内切圆性质和垂线性质可判断为中点，，连接，易得，由双曲线第一定义可证，判断B项；由内切圆性质易得，判断C项；由，易得为直角三角形，结合双曲线第一定义，椭圆第一定义，勾股定理可判断D项.
【详解】设圆与三边的切点为，则
，即①
又②
联立①②式得，故，显然横坐标相等，故I到y轴的距离为a，选项A正确；
过作直线的垂线，垂足为D，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知，
，则为中点且，连接
由中位线定理可知，
故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故B项错误；
若，则等价于，即，解得，故C项正确；
若，设椭圆的长半轴为，由可知，
为直角三角形，，
由双曲线性质可知③，由椭圆性质可知④，
由勾股定理可得⑤，③④⑤式联立可解得，
即，故D选项正确.

故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题难度较大，作图，设切点，连接是关键，重点考查了双曲线第一定义，椭圆第一定义，内切圆的性质，切线长性质，主要应用了转化与划归的数学思想，解决此类题目，多角度，全方位的看待问题至关重要.可总结如下：
1、圆锥曲线相关的几何问题，第一定义，关系式需优先考虑；
2、双曲线上一点到两焦点组成三角形的内切圆圆心的横坐标的绝对值为.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线，直线，若，则=_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据直线的平行可得出关于m的方程，求得m的值，检验后即得答案.
【详解】由题意直线，直线，
若，则有，
即，解得或，
当时，，直线，两直线重合，不合题意，
当时，，直线，则，
故
故答案为：2
14. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为_________.
【答案】2（注：区间内任何一个值）
【解析】
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，离心率，
若满足直线与C无公共点，则需，
故答案为：2
15. 已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线与轴的交点为得到，设，根据得到点的轨迹方程，然后将存在转化为直线与存在交点，最后列不等式求解即可.
【详解】
由题意得，设，
圆：得圆心，半径，
则，，
因，所以，整理得，
则点的轨迹方程为，即，圆心为，半径为，
所以存在即直线与存在交点，
所以，整理得，解得.
故答案为：.
16. 已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分.过点D作、的垂线，垂足分别为A、B.则的最小值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆的焦点三角形的面积公式和二倍角公式解决即可.
【详解】如图，

由椭圆的性质可知，点位于短轴的端点时，最大，由可知最大值为.
设，因为平分，所以，设，
已知椭圆，所以.
从而，
，
所以，解得.
,
所以,
所以，
因为，所以，
设，
所以在上单调递减，所以.
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为．
【答案】选①，；选②，.
【解析】
【分析】选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解.
【详解】因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为．
若选①，可设直线l的方程为，
点代入方程可得，即l：．
在直线l上取两点和，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m的方程为．
若选②，可得直线l的斜率，
所以直线l的方程为．
在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
所以直线m的方程为，即．
18. 在平面直角坐标系中，若圆C与x轴相切，且过点，圆心C在射线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可设圆心为，由圆C与x轴相切，且过点，结合半径相等解得，进而求得圆C的标准方程；
（2）由几何法求出圆心到直线的距离，再结合勾股定理求得半弦长，联立三角形面积公式可求△ABC的面积.
【小问1详解】
因为圆C与x轴相切，且过点，圆心C在射线上，
可设圆心为，由圆的几何性质可得，
化简得，解得或（舍去），
故圆C的标准方程为；
【小问2详解】
由（1）知，圆C的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离为，
则直线与圆所交的半弦长，
故弦长，则.
19. 已知圆，直线.
（1）若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标；
（2）若点P在直线l上运动，过点P作圆O两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1）证明见解析；和
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）利用几何关系得到点在以为直径的圆上，然后求出圆的方程即可；
（2）利用两个圆的方程，求出公共弦的方程，即可求出定点.
【小问1详解】
是圆O的切线切点为
所以.
所以点在以为直径的圆上，
点P在直线l上运动，所以设点，
则以为直径的圆方程为：，
即：，
令，解得或
所以圆过定点和
【小问2详解】
由（1）知，过的圆方程为：，
同时点在圆上，
所以直线AB即两个圆的公共弦方程所在的直线方程，
两个圆的方程相减得：，即两个圆的公共弦方程所在的直线方程；
令，解得
故直线过定点

20. 如图，抛物线的准线与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交第一象限于A，B两点，设点到焦点的距离为d.

（1）若，求抛物线的标准方程；
（2）若点A是MB的中点，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得轴，从而求出的值，进而可得抛物线的标准方程；
（2）设出直线的方程，通过，求出，联立直线与抛物线方程可得，把方程的根代入求解即可.
【小问1详解】
抛物线的焦点，准线方程为，
则，由，可得轴，
则，即有，即，
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设，，
代入抛物线的方程，可得，
，即且，
，，
因为点A是MB的中点，所以，
由可得，
即有，解得，
因为点位于第一象限，所以，
所以所求直线的斜率为.
21. 已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；
（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证为定值，之后求出定值即可.
【小问1详解】
由题可知，则的轨迹是实轴长为，
焦点为即的双曲线的右支，则，
所以曲线的方程为：(或).
【小问2详解】
由题可知过点的动直线斜率存在且不为，则设斜率为，
所以直线的方程为：，设，，

联立 ，可得，
则 ，可得，即或，
则
，
所以为定值，定值为.
22. 已知抛物线：的焦点到其准线的距离为，椭圆：经过抛物线的焦点.
（1）椭圆的离心率，求椭圆短轴的取值范围；
（2）已知为坐标原点，过点的直线与椭圆相交于，两点.若，点满足，且的最小值为，求椭圆的离心率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意利用抛物线标准方程、焦点坐标和准线方程运算求得的值，可得抛物线标准方程和焦点坐标，将焦点坐标带入椭圆方程求得的值，利用椭圆离心率公式、根据题中离心率的范围运算即可得解.
（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，将直线方程和椭圆方程联立，结合向量的运算与相等分析运算可得点的轨迹方程，当直线的斜率不存在时求得的点的坐标也满足该方程，然后将的最小值转化为点到直线的距离运算即可得解.
【小问1详解】
解：由抛物线的标准方程知，焦点为，
准线为，则由题意得：，
∴抛物线的标准方程为，焦点为，
∵如上图，椭圆：经过抛物线的焦点，
∴，且，解得：.
此时椭圆方程为.
∵椭圆的离心率，且，
∴，又∵，
∴解得：，即有，
∴椭圆短轴的取值范围为.
【小问2详解】
解：由（1）知椭圆的方程为，
由题意，过点的直线与椭圆相交于，两点，
设，，，
则，，，，
（i）如上图，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为
，即，
由得，
∵直线与椭圆相交于，两点，
∴，
，，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴，又∵，
∴，即，
∴点轨迹方程为.

（ii）如上图，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由解得：或，
∴，，，
则，，，，
∵，，
∴，解得：，所以，
经检验点在直线上.
∴点轨迹方程为.
的最小值即为点到直线的距离，
∴由距离公式得，解得：.
此时，，符合题意.
∴椭圆的离心率为.
【点睛】1.研究直线与椭圆位置关系的方法：
（1）研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题.
（2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定交点情况.
2.研究直线与椭圆位置关系综合问题时要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；