人教版九年级数学上册 25.7 《概率初步》全章复习与巩固（知识讲解）

这是一份人教版九年级数学上册 25.7 《概率初步》全章复习与巩固（知识讲解），共15页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，知识点五，知识点六，典型例题等内容，欢迎下载使用。

必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件；
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件；
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）。
【知识点二】概率定义
（1）概率的频率定义：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
概率的一般定义：就是刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，是概率论的基本概念。是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。越接近1，该事件更可能发生；越接近0，则该事件更不可能发生。
【知识点三】概率表示方法
一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示。
事件A的概率p，可记为P（A）=P
【知识点四】概率的计算
①等可能事件的概率
古典概型
古典概型讨论的对象是所有可能结果为有限个等可能的情形，每个基本事件发生的可能性是相同的。历史上古典概型是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概型，
几何概型
几何概型讨论的对象是所有可能结果有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概型，于是产生了几何概型。布丰投针问题是应用几何概型的一个典型例子。
【知识点五】概率应用
(1)、通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；
(2)、概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性可以解决一些实际问题。
【知识点六】用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1.列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2.树形图：
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
【典型例题】
类型一、随机事件
1.下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
太阳从西边落山；
某人的体温是100 ℃；
a2＋b2＝0；
某个等腰三角形中任意两个角都不相等；
经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【答案】(1) “太阳从西边落山”是必然事件；(2) “某人的体温是100 ℃”是不可能事件；(3) “a2＋b2＝0”是随机事件；(4) “某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件；(5) “经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
解：(1)根据生活常识，可知太阳一定从西边落山，所以“太阳从西边落山”是必然事件．
(2)因为正常人体的体温都在37 ℃左右，所以“某人的体温是100 ℃”是不可能事件．
(3)当a=b=0时，a2＋b2=0，当a，b中至少有一个不等于0时，a2＋b2为正数，所以“a2＋b2=0”是随机事件．
(4)根据等腰三角形的性质，等腰三角形中至少有两个角相等，所以“某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件．
(5)经过有信号灯的十字路口，可能遇见红灯，也可能不遇见红灯，所以“经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件．
【点拨】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
举一反三
【变式1】将表示下列事件的字母标在最能代表该事件发生概率的相应点上．
A：投掷一枚硬币，正面朝上；
B：小明一个小时步行80千米；
C：抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3；
D：太阳每天从东边升起，从西边落下．
【答案】详见分析.
【分析】先判断出各个事件属于哪种事件，再来求出可能性的大小．
解：A.∵硬币只有两面，
∴正面朝上的可能性是0.5.
B.∵一个人小时内是不可能走80千米的，
∴这是一个不可能事件，
∴可能性是0.
C.∵抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3，
∴这是个随机事件，
∴可能性是.
D.∵太阳每天从东边升起，从西边落下．
这是个必然事件，
∴可能性是1．
如图所示：
【点拨】本题涉及的知识点是不确定事件、不可能事件以及必然事件的概念；必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件；不确定事件 ( 或随机事件)：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件.其中，必然事件和不可能事件都是确定事件．
【变式2】有个均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个面标有“5”，其余面标有“6”，将这个骰子掷出后：
掷出“6”朝上的可能性有多大？
哪些数字朝上的可能性一样大？
哪些数字朝上的可能性最大？
【答案】(1)掷出“6”朝上的可能性有；(2)3与6，4与2，1与5朝上的可能性一样大；(3)3，6朝上的面最多，因而可能性最大．
【分析】（1）让“6”朝上的情况数除以总情况数即为所求的可能性；
（2）看哪两个数字出现的情况数相同即可；
（3）看哪个数字出现的情况最多即可．
解：（1）标有“6”，的面有3个，因而掷出“6”朝上的可能性有；
（2）3与6，4与2，1与5朝上的可能性一样大；
（3）3，6朝上的面最多，因而可能性最大．
【点拨】用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
类型二、概率
2. 小明家里的阳台地面，水平铺设了仅黑白颜色不同的18块方砖（如图），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上．
（1）求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率；
（2）上述哪个概率较大？要使这两个概率相等，应改变第几行第几列的哪块方砖颜色？怎样改变？
【答案】（1）小皮球停留在黑色方砖上的概率是，小皮球停留在白色方砖上的概率是；
（2）小皮球停留在黑色方砖上的概率大，要使这两个概率相等，应改变第二行第4列中的方砖颜色，黑色方砖改为白色方砖
【分析】首先审清题意，明确所求概率为哪两部分的比值，再分别计算其面积，最后相比计算出概率．
解：（1）由图可知：共18块方砖，其中白色8块，黑色10块，
故小皮球停留在黑色方砖上的概率是；小皮球停留在白色方砖上的概率是．
（2）因为＞，所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率．
要使这两个概率相等，应改变第二行第4列中的方砖颜色，黑色方砖改为白色方砖．
【点拨】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式．
举一反三
【变式1】有两个盒子，分别装有若干个除颜色外都相同的球，第一个盒子装有4个红球和6个白球，第二个盒子装有6个红球和6个白球．分别从这两个盒子中各摸出1个球，请你通过计算来判断从哪一个盒子中摸出白球的可能性大．
【答案】第一个盒子摸出白球的可能性大
【分析】分别求得摸到两种球的概率后通过比较概率即可得到摸到的可能性大．
解： 第一个盒子摸出白球的可能性为
第二个盒子摸出白球的可能性为
∴第一个盒子摸出白球的可能性大
【点拨】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等．
【变式2】一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值．
【答案】（1）；（2）n＝6
【分析】（1）取出黑球的概率＝1﹣取出红球的概率；
（2）首先根据红球的个数和摸出红球的概率求得黑球的个数，然后根据概率公式列式求解即可．
解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1﹣＝；
故答案为：；
（2）设袋子中原有黑球x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝18，
经检验x＝18是原方程的根，
所以黑球有18个，
∵又放入了n个黑球，
根据题意得：，
解得：n＝6．
经检验：符合题意
【点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
类型三、用列举法求概率
3.一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
（1）解：共有3个球，其中红球1个，
∴摸到红球的概率等于；
（2）画树状图如下：
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率．
【点拨】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
举一反三
【变式1】某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）解：王明被安排到A小区进行服务的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：A，B，C，D表示四个小区，
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．
【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【变式2】神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
________，________；并补全条形统计图：
根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
【答案】(1)100，35，见分析(2)720名(3)
【分析】（1）根据A：航模制作的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；根据题意和m的值可以求得B：航天资料收集；C：航天知识竞赛人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）利用列表或树状图求概率即可
解：（1）由题意可得，m＝10÷10%＝100，n%＝100%-15%-10%-＝35%，
故答案为：100，35；
由题意可得：B：航天资料收集有：100×35%＝35（人）
C：航天知识竞赛有：100×15%＝15（人）
补全条形统计图如图所示：
（2）（名），
答：估计该校大约有720名学生选择参观科学馆．
（3）解法一 列表如下：
如上表，共有12种等可能的结果．其中恰好选中甲、乙两名同学的结果为2种：（甲，乙），（乙，甲）．
甲、乙恰好被分在一组的概率为．
解法二 画树状图为：
共有12种等可能的结果：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）．
甲、乙恰好被分在一组的结果为2种：（甲，乙），（乙，甲）．
甲、乙恰好被分在一组的概率为．
【点拨】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，利用列表或树状图求概率．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
类型四、几何概率
4.如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上．
在网格内作△DEF，使它与△ABC关于直线l对称（D、E、F分别是点A、B、C的对应点）．
如果在6×5的网格内任意找一点，这个点在△ABC和△DEF外的概率是多少？
【答案】(1)见分析(2)这个点在△ABC和△DEF外的概率是
【分析】（1）根据轴对称的定义，分别作出点A、点B、点C的对称点D、E、F，连接DE、EF、FD即可；
（2）计算两个三角形的面积以及除两个三角形以外的部分的面积即可．
（1）解：如图所示，△DEF即为所作．
（2）解：网格的面积为6×5＝30，
△ABC和△DEF外的面积为，
故这个点在△ABC和△DEF外的概率是．
【点拨】本题考查轴对称的性质，概率的计算，理解轴对称的性质以及概率的定义是正确解答的前提．
举一反三
【变式1】如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将所有可能结果和指针指向红色的结果列举出来，后者除以前者即可；
（2）将所有可能结果和指针指向红色或黄色的结果列举出来，后者除以前者即可；
（3）将所有可能结果和指针指向不是红色的结果列举出来，后者除以前者即可．
解：按颜色把7个扇形分别记为：，，，，，，．所有可能结果的总数为7，并且它们出现的可能性相等．
（1）指针指向红色（记为事件A）的结果有3种，即红1，红2，红3，因此
．
（2）指针指向红色或黄色（记为事件B）的结果有5种，即，，，，，因此
．
（3）指针不指向红色（记为事件C）的结果有4种，即，，，，因此
．
【点拨】本题考查了几何概率的求法，列举法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2】下面三个实验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率：
（1）在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如（1）图，请估计钉尖朝上的概率；
（2）如（2）图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率；
（3）有一个小球在如（3）图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为1的正方形，求小球最终停留在黑色区域的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用频率估计概率即可得到结论；
（2）根据概率公式求出概率即可；
（3）利用概率公式求出概率即可．
解：（1）如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为0.4．
（2）如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为．
（3）如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为：
∵，
∴．
【点拨】本题考查利用频率估计概率，几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
类型四、用频率估计概率
5.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=_____，b=____，c=____．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【答案】（1）7.5，8，8；（2）200人；（3）八年级的学生成绩更优异．
【分析】（1）由图表可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
解：（1）由图表可得：，，，
故答案为：7.5，8，8；
（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为：（人，
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3）八年级的合格率高于七年级的合格率，
八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【点拨】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
举一反三
【变式1】小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由频率定义即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案.
解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝.
【点拨】此题考查事件概率：列举法求事件的概率，还考查了频率的定义，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键.
【变式2】某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有 名；
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 ；
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是 ．
【答案】（1）；（2）补全条形统计图，见分析；阅读部分圆心角是108°，（3）选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为.
【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计全校爱好运动的学生人数；
（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比；
（3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．
解：（1）爱好运动的人数为，所占百分比为
共调查人数为：人，
爱好运动的学生人数所占的百分比为，
全校爱好运动的学生共有：人；
故答案为；
（2）∵爱好上网人数为：人，
∴爱好上网的人数所占百分比为，
爱好阅读人数为：人，
补全条形统计图，如图所示，
阅读部分圆心角是，
故答案为；
（3）爱好阅读的学生人数所占的百分比，
用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为；
故答案为．
【点拨】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息，本题属于中等题型．A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）