湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为（ ）．
A．B．
C．D．
2.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
3.设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）
①； ②；
③； ④
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知正数，满足，且恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5.下列对应是从集合到集合的函数的是（ ）
A．
B．
C．是三角形，是圆，每一个三角形对应它的内切圆
D．是圆，是三角形，每一个圆对应它的外切三角形
6.已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知函数（且），对任意，，当时总有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
10.下列说法正确的是（ ）
A．很小的实数可以构成集合
B．集合与集合是同一个集合
C．由这些数组成的集合有个元素
D．集合是指第二或第四象限内的点集
11.下列说法正确的序号是（ ）
A．偶函数的定义域为，则
B．设，若，则实数的值为或
C．奇函数在上单调递增，且最大值为，最小值为，
则
D．若集合中至多有一个元素，则
12.设函数，其中表示中的最小者.说法正确的有（ ）
A. 函数为偶函数
B. 当时，有
C. 当时，
D. 当时，
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.己知集合，
，若，则实数的取值范围 .
14.若正实数，满足，则的最小值为_______．
15.已知命题；命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________．
16.已知函数若关于的方程有且仅有个不等实数根，则的取值范围是______.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，设命题，命题，已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值围.
18.已知正实数满足.
（1）求的最大值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.设函数.
（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；
（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
20.已知定义域为实数集的函数
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
（2）若不等式成立，求实数的取值范围.
21.为减少人员聚集，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当中有的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：
，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受的影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：
（1）当取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？
（2）已知上班族的人均上班时间计算公式为：，讨论的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)
22.若不恒为零的函数对任意，恒有．
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）若时，，证明在上单调递减；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数，恒有成立，求实数的取值范围．
参考答案及解析
1.答案：D
解析：
，解得，故不等式恒成立的一个充分不必要条件可以为．
故选：D.
2.答案：B
解析：
A. 的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
B. 与定义域都为，且解析式相同，故是同一函数；
C. 的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
D. 与解析式不同，故不是同一函数；
故选：B.
3.答案：B
解析：
由题意，函数是奇函数，可得的图象关于点对称，
所以，所以②正确；令，则，
又由是偶函数，所以的图象关于对称，
所以的图象关于对称，则有，令，
则，所以③正确.在中，将用替换，
则，在中，将用替换，
则，所以，再将用替换，
则，所以，所以①正确；对于④中，
由，无法推出其一定相等.
故选：B.
4.答案：B
解析：
因为正数满足，
所以
.因为
，
当且仅当时等号成立，
所以，即的最小值为.
若恒成立，则的最大值为.
故选：B.
5.答案：A
解析：
【分析】
根据函数的定义逐个分析可得答案.
【详解】
对于选项，符合函数的定义，故正确；
对于选项，集合的元素在集合中没有元素与之对应，故不正确；
对于选项，因为集合不是数集，故正确；
对于选项，因为集合不是数集，故不正确.
故选：A .
6.答案：B
解析：
是奇函数，关于点对称，函数图象左移个单位，可关于点对称.
故选：B.
7.答案：A
解析：
【分析】
由题意，函数在定义域上是增函数，列出不等式组，解出即可．
【详解】
∵对任意，，当时总有，
∴函数在定义域上是增函数，
∴，解得：．
故选：A．
8.答案：A
解析：
【分析】
分别讨论、、和情况下，单调性及的正负，综合分析，即可得答案.
【详解】
当时，在上单调递增，且，
所以在上单调递减，符合题意，
当时，无单调性，不符合题意，
当时，在上单调递减，且，不符合题意，
当时，在上单调递减，，符合题意，
还需，解得，
综上实数的取值的范围是.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.答案：A、B
解析：
当都大于零时，；
当中一个大于零，另一个小于零时，；
当都小于零时，．
根据元素与集合的关系，可知，，，．
故选：AB．
10.答案：C、D
解析：
A选项：很小的实数标准不确定，故不能构成集合；
B选项：其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，故不是同一集合．
C选项：因为，故这些数组成的集合有个元素．
D选项：因为，故点是第二或第四象限内的点．综上，CD正确．
故选：CD.
11.答案：A、C
解析：
A：因为函数为偶函数，所以它的定义域关于原点对称，
有，故A正确；
B：，由得，
当时，；当时，；当时，；
所以的取值为，故B错误；
C：由为奇函数，，得，
所以，故C正确；
D：由A中至多有一个元素，得当时，，符合题意；
当时，，所以的取值为或，故D错误.
故选：AC.
12.答案：A、B、C
解析：
在同一坐标系中画出的图象（如图所示），
故的图象为图中粗线所示．
的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，此时有，故B成立．
从图象上看，当时，有成立，令，则，
故，故C成立．
取，则，，，故D不成立．
故选：ABC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.答案：
解析：
首先解出集合,若满足，则当时，和
恒成立，求的取值范围.
【详解】
，，
即当时，恒成立，
即 ，当时恒成立，
即 ，，而是增函数，
当时，函数取得最小值，
且当时，恒成立，
，解得：
综上：.
14.答案：
解析：
由，得，
因为，为正实数，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号（此时），
所以的最小值为，
故答案为：.
15.答案：
【分析】
解一元二次不等式求命题的解集，解一元一次方程求命题的解集，再由是的充分不必要条件列不等式组，求的取值范围.
【详解】
由题设，命题为，命题为，
若是的充分不必要条件，必有，解得．
故答案为：.
16.答案：
因为，
作出其图象如下：
因为关于的方程有且仅有个不等实数根，
所以函数的图象与直线有四个不同的交点，
由图象可知，当时，显然不满足题意；
当时，因为，，
横坐标为对应的空心点的坐标为.
由图象可得，当直线过点时，直线与函数的图象有五个不同的交点，此时；
当直线过点时，直线与函数的图象有三个不同的交点，此时；
因此，为使直线与函数的图象有四个不同的交点，
只需.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.答案：
【分析】
（1）由时，求得，得到，再结合集合的交集运算，即可求解；
（2）当时，得到，根据命题是命题的充分不必要条件，得到，列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）当时，，可得，
又由，所以.
（2）当时，可得.
因为命题是命题的充分不必要条件，则，可得，等号不能同时成立，
解得，所以实数的取值范围为.
18.
解析：
（1），所以，解得，
当且仅当取等号，∴的最大值为.
（2），
当且仅当，取等号，
∴，解得.
即的取值范围是.
19.答案：
【分析】
（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.
（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）据题意知，对于，有恒成立，
即恒成立，因此，
设，则，所以，
函数在区间上是单调递减的，
，∴
（2）由对于一切实数恒成立，可得，且，
由存在，使得成立可得，
∴，∴，
，
当且仅当时等号成立，∴.
20.答案：
【分析】
（1），进而判断函数为减函数，再根据函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）得，再解不等式即可得答案.
【详解】
（1），
因为函数为上的增函数，
所以可判断函数在上为单调递减函数，证明如下：
设且，
则
，
因为且，所以，
所以，即，
所以函数在上为单调递减函数.
（2）由（1）知函数在上为单调递减函数，
所以等价于，即
由于恒成立，
所以实数的取值范围为
21.答案：
解析：
（1）依题意得：①当时，，不符，
②当时，，
若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，
则，解得或，
即当或时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间.
（2）①当时，，
②当时，
即，
∵当时，单调递减，则，
当时，，
在上单调递减，；
在上单调递增，
∴当时单调递减，当时单调递增.
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均上班时间递减；
当大于的人自驾时，人均上班时间递增；当自驾人数等于时，人均上班时间最少.
22.答案：
【分析】
（1）根据函数奇偶性的定义即可证明；
（2）根据函数单调性的定义即可证明；
（3）结合函数的奇偶性以及函数的单调性找出自变量之间的关系，即可求解.
【详解】
（1）为奇函数；
证明：由题意知：的定义域为关于原点对称，
令，得，
解得： ， 令，
则，
∴，
故函数为奇函数；
（2）在上单调递减；
证明：任意取，且，则，
∴，
又，
即，
在上单调递减；
（3）对任意实数，恒有
等价于成立，
又∵在上单调递减，
，
即对任意实数，恒成立，
当时，即时，不恒成立；
当时，即时，
则，解得：
∴实数的取值范围为.