2020-2021学年天津河北区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2020-2021学年天津河北区九年级上学期数学期中试卷及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．
2. 平面直角坐标系内，与点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】与点P（−3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，−2），
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3. 抛物线的顶点坐标为( )
A. (-2, 2)B. (2, -2)C. (2, 2)D. (-2, -2)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】∵抛物线y=(x−2)2+2，
∴抛物线y=(x−2)2+2的顶点坐标为：(2,2)，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质.
4. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，利用规律可得答案．
【详解】解：将抛物线向左平移4个单位，可得：
再把向下平移1个单位得到的抛物线为：
故选D．
【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
5. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据每个队都要和除自己以外的球队比一场，并且要考虑到重复的情况，那么比赛场次用x表示应该是．
【详解】解：每个球队都要和除自己以外的球队比一场，
∴一共是场，
但是其中有重复的，
∴实际上是场，
可以列式．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．
6. 函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：选项A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；选项B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；选项C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；选项D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．故选C．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
7. 如图，经过圆心，于，若，，则所在圆的半径为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，连接OD，设半径为r，则OM=6-r;再由垂径定理求出MD的长，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，连接OD，设半径为r，则OM=6-r
∵
∴MD=CD=2
在Rt△MOD中，OD=r，OM=6-r，MD=2
∴,即，解得r=．
故答案为A．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求得MD的长是解答本题的关键．
8. 如图，、、是的切线，切点分别是、、，分别交、于、两点，若，则的度数（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AO，BO，OE由切线的性质可得，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB的度数，再由切线长定理即可求出COD的度数.
【详解】如图，连接AO，BO，OE，
∵PA、PB是O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90∘，
∵，
∴，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴，
故选B.
【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.
9. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可．
【详解】解：∵，
∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形
∴CD=BC=5
设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x
∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°
∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°
∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△CEF
∴ ,即，解得x=
∴CE=CD-DE=5-=．
故答案B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键．
10. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由对称轴即可判断；
②将c≤3a转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断；
③根据图象所体现的最大值即可判断；
④根据图象的最值结合对称轴即可判断．
【详解】①因为对称轴为，所以，即，故①正确；
②由①知，所以时，；
因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时，
又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误；
③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确；
④由图可知：，即，
又且，所以=，
所以，即，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键．
二、填空题：本大题共8个小题．
11. 若函数是二次函数，则m的值为______．
【答案】-3
【解析】
【详解】由题意得,
解得m=且m≠3,
所以m=-3，
故答案为-3.
12. 已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1
∴当，数值随的增大而减小．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．
13. 如图，设A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为________(用“>”连接)．
【答案】y1>y2>y3
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式确定其对称轴，根据三个点的横坐标到对称轴的距离，结合抛物线即可得到答案．
【详解】解：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1
∵点A和点B以及点C的横坐标分别为-2,1，2
∴点C距离x=-1最远，点A距离x=-1最近
又∵抛物线的开口向下
∴y1＞y2＞y3，
故答案为：y1＞y2＞y3.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
14. 如图，将绕点逆时针旋转得到．若落到边上，，则的度数为______．
【答案】80
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AB=AB',∠AB' C'=50°，再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'A=50°，最后根据平角的定义即可解答．
【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AB',∠AB' C'=50°.
∵AB=AB'，
∴∠B=∠BB'A=50°.
∵∠BB'A+∠AB' C'+∠CB' C' =180°.
∴∠CB'C'=180°-（∠BB'A+∠AB' C'）=80°．
故答案为80°．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．
15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为_____米．
【答案】2
【解析】
试题分析：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=，
所以水面宽度增加到米
考点：二次函数的应用．
16. 如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理解题关键．
17. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点的读数为135°，则的度数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，再根据图即可∠EOP＝135°，进一步可得出∠POB的度数，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【详解】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∵点的读数为135°，
∴∠EOP＝135°
∴∠POB＝180°-135°=45°
∴∠CBD＝∠POB＝45°，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
18. 如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径为作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接DP，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF的面积最小，利用三角函数求出DP的长，即可求得答案.
【详解】如图，连接DP，
∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(0，1)，
∴AB＝=，
∵过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，
∴DE＝DF，PE⊥DE，
∵PE＝PF，PD＝PD，
∴△PED≌△PFD(SSS)，
∵⊙P的半径为，
∴DE＝，
当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，
∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，
∴四边形PEDF面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】
利用配方法解方程即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键．
20. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）．(2) ﹣4≤y＜0．
【解析】
【分析】
（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论.
【详解】（1）把A（-1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得：，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，-4≤y＜0．
21. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
（1）求证：平分；
（2）若，，试求的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质可得，再证，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明即可；
（2）作于点，设的半径为，先证四边形是矩形，进而求得OE和AE，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：如图1：连接，
∵是切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图2，作于点，
设的半径为．
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，解得，
∴的半径是5．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等内容，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
22. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销意将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市要使每月销售牛奶的利润不低于800元，且获得尽可能大的销售量，则每箱牛奶的定价应是多少钱？
【答案】（1）y＝60+10x（1≤x≤12，且x为正整数）；（2）每箱牛奶的定价应是32元钱
【解析】
【分析】
（1）根据每降价1元，则每月的销量将增加10箱，可得每箱降价x元，则多卖10x箱，据此可列出函数关系式；根据36﹣x≥24及x为正整数，可得自变量x的取值范围；
（2）设每月销售牛奶的利润为w，则根据每箱的利润乘以销售量等于利润，可得关于x的二次函数，令w＝800，解方程，再根据问题的实际意义对方程的解作出取舍，则定价也可求得．
【详解】解：（1）由题意得：y＝60+10x，
∵36﹣x≥24
∴x≤12
∵x为正整数
∴1≤x≤12，且x为正整数；
（2）设每月销售牛奶的利润为w，
则w＝（36﹣x﹣24）（10x+60）＝﹣10x2+60x+720＝﹣10（x﹣3）2+810，
令w＝800得：﹣10（x﹣3）2+810＝800，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵要使每月销售牛奶的利润不低于800元，且获得尽可能大的销售量，
∴x＝4，
∵36﹣4＝32＞24（元），
∴每箱牛奶的定价应是32元钱．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出函数关系式是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得.
（Ⅰ）如图①，当旋转后满足轴时，求点C的坐标.
（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）点P坐标.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）如图①中，作CH⊥x轴于H．根据旋转的性质和三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ADCH是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
（Ⅱ）如图②中，作DK⊥AC于K．在Rt△ADC中，求出DK、AK即可解决问题；
（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．由题意PA=AP′，推出AP′+PD=PA+PD，根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．只要求出直线A′D的解析式即可解决问题；
【详解】解：（Ⅰ）如图①中，作轴于H.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴
（Ⅱ）如图②中，作于K.
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．
由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．
，
∴直线A′D的解析式为 ，
点P坐标
【点睛】本题考查了几何变换综合题、解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24. 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一上点．
（1）直接写出点，点，点的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），，，；（2）当时，三角形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）先根据一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后把、两点代入求解即可；
（2）过点作轴，与交于点，设，则，然后根据铅垂法进行求解即可；
（3）当时，分旋转后点与落在抛物线上时，分别画出图形，然后代入求出点和点的坐标，进而代入解析式求解即可，当时，利用同样的方法可求出m的另一个范围，从而得到答案．
【详解】解：（1）令，得，
∴，
令，得，解得：，
∴，
把、两点代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令，得，
解得：或，
∴；
（2）过点作轴，与交于点，如图1，
设，则，
∴，
∴当时，三角形面积最大，其最大值为2，
此时的坐标为；
（3）当，若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：
∵点，
∴，解得：（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
当时，当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．