2022-2023年上海市浦东新区高一数学上学期期末试卷及答案

这是一份2022-2023年上海市浦东新区高一数学上学期期末试卷及答案，共6页。
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1. ____________.（用符号“”或“”填空）
【答案】
2. 已知集合，且，则实数a的值为____________.
【答案】或
3. 函数的定义域是__________.
【答案】
4. 是2的倍数，是6的倍数，则是的____________条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.
【答案】必要非充分
5. 用有理数指数幂的形式表示（其中）____________.
【答案】
6. 设，则关于x的不等式的解集是____________.
【答案】
7. 已知一元二次方程的两个实根为，则____________.
【答案】3
8. 请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.
①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式的所有正整数解.
【答案】①②④
9. 设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是____________.
①如果，且，那么；
②如果，且，那么；
③如果，那么；
④如果，那么.
【答案】①③④
10. 已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________.
【答案】9
11. 已知正数a和b满足，用a及b表示____________.
【答案】
12. 某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“，当且仅当时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意，恒成立，则b的取值范围____________.
【答案】
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
13. 下列函数与函数相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
14. 下列函数中，值域是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
15. 关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ）
A. 幂函数的图象一定经过和
B. 幂函数的图象一定关于y轴或原点对称
C. 幂函数的图象一定不经过第四象限
D. 两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点
【答案】C
16. 已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（ ）
A. 在上是严格增函数B. 若，则
C. 若，则D. 函数的最小值为2
【答案】A
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 解不等式.
【答案】
18. 已知集合，集合，用列举法表示集合.
【答案】
19. 要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）
【答案】居室的宽为5m时，居室的最大总面积是.
20. 小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知为正数，求证：.”得到以下解法：
构造函数，
因为，当且仅当时取等号；
所以对于函数可得，当且仅当时，
即，当且仅当时可取等号.
阅读上述材料，解决下列两个问题：
（1）若实数不全相等，请判断代数式“”的取值是正还是负；（直接写出答案，无需理由）
（2）求证：，并指出等号成立的条件.
【答案】（1）正
（2）
由（1）知：（当且仅当时取等号），
，
即（当且仅当时取等号）
21. 已知是定义在上的函数，对于上任意给定的两个自变量的值，当时，如果总有，就称函数为“可逆函数”.
（1）判断函数是否为“可逆函数”，并说明理由；
（2）已知函数在区间上是增函数，证明：是“可逆函数”；
（3）证明：函数是“可逆函数”的充要条件为“”.
【答案】
（1）
在上单调递减，在上单调递增，，
则与恒有两个不同的交点，记为，
则，，不符合“可逆函数”定义，
不是“可逆函数”.
（2）任取，则；
在区间上是增函数，，
又，，，
在区间上是增函数，则当时，恒成立，
是“可逆函数”.
（3）先证明充分性：当时，，则的定义域为；
任取且，
则，即，
为“可逆函数”，充分性成立；
再证明必要性：假设当是“可逆函数”时，，
构造关于的方程：，化简可得：，
显然与均不是方程的根，又，
解方程可得：，，且，
则，即，与是“可逆函数”矛盾，
假设不成立，即，必要性成立；