新人教版高中数学教材例题课后习题变式含答案完整
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第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数例1 已知指数函数(,且),且,求,,的值.分析:要求,,的值,应先求出的解析式,即先求a的值.解:因为,且,则,解得,于是.所以,,,.例2 (1)在问题1中,如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入,A地景区的门票价格为150元,比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况.(2)在问题2中,某生物死亡10000年后,它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几?解:(1)设经过x年,游客给A,B两地带来的收入分别为和,则,.利用计算工具可得,当时,.当时,.结合图可知:当时,,当时,.当时,.这说明,在2001年,游客给A地带来的收入比B地多412000万元;随后10年,虽然,但的增长速度大于;根据上述数据,并考虑到实际情况,在2011年2月某个时刻就有,这时游客给A地带来的收入和B地差不多;此后,,游客给B地带来的收入超过了A地;由于增长得越来越快,在2015年,B地的收入已经比A地多347303万元了.(2)设生物死亡x年后,它体内碳14含量为.如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,那么.当时,利用计算工具求得.所以,生物死亡10000年后,它体内碳14含量衰减为原来的约30%.例3 比较下列各题中两个值的大小:(1),;(2),;(3),.分析:对于(1)(2),要比较两个值可以看作一个指数函数的两个函数值,因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较;对于(3),和不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性,以及“时,”这条性质把它们联系起来.解:(1)和可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数,所以指数函数是增函数.因为,所以.(2)同(1)理,因为,所以指数函数是减函数.因,所以.(3)由指数函数的性质知,,所以.例4 如图,某城市人口呈指数增长.(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);(2)该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?分析:(1)因为该城市人口呈指数增长,而同一指数函数的倍增期是相同的,所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.(2)要计算20年后的人口数,关键是要找到20年与倍增期的数量关系.解:(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过40年约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年,所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人.4.2.1 指数函数的概念练习1. 下列图象中,有可能表示指数函数的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质选择.【详解】由于(,且),所以A,B,D都不正确,故选C.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质,属于基础题.如指数函数图象恒过点,值域是.2. 已知函数,且,,求函数的一个解析式.【答案】【解析】【分析】用连乘法求,然后用归纳法归纳一个结论.【详解】由己知得,,,,,又.【点睛】本题考查指数函数的解析式,由于只知道一些函数值,并不知道函数的形式,因此可用归纳法思想归纳一个结论.3. 在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(可以使用计算工具)【答案】6.16倍【解析】【分析】根据平均增长率问题可得.【详解】设现在的蓝藻量为,经过30天后的蓝藻量为,则,,∴经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.【点睛】本题考查平均增长率问题,平均增长率问题的函数模型是.4.2.2 指数函数的图象和性质练习4. 在同一直角坐标系中画出函数和的图象,并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】根据指数函数图象与性质作图,由图观察对称性.【详解】和的图象如图,和的图象关于y轴对称【点睛】本题考查指数函数的图象,属于基础题.5. 比较下列各题中两个值的大小:(1);(2);(3).【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)由函数的单调性比较;(2)由函数的单调性比较;(3)与中间值 1比较.【详解】(1)函数在上是增函数,.(2)函数在上为减函数,.(3).【点睛】本题考查比较幂的大小,同底数的幂可利用指数函数的单调性比较,不同底数的幂可借助中间值为1比较大小.6. 体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晚期就急剧增加,画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.【答案】见解析【解析】【分析】定义域是.是增函数,开始图象较平缓,后来急剧上升,结合指数函数图可得.【详解】经时间,癌细胞数量为,图象如图.【点睛】本题考查增长问题,考查指数函数的应用.习题4.2复习巩固7. 求下列函数的定义域:(1);(2);(3);(4).【答案】(1)R;(2)R;(3)R;(4).【解析】【分析】根据指数幂成立的条件即可求函数的定义域.【详解】解:(1)函数的定义域为;(2)函数的定义域为;(3)函数的定义域为;(4)要使函数有意义,则,则函数的定义域为.【点睛】本题主要考查指数型函数的定义域,属于基础题.8. 一种产品原来的年产量是a件,今后m年内,计划使产量平均每年比上一年增加,写出年产量y(单位:件)关于经过的年数x的函数解析式.【答案】【解析】【分析】由题意可知函数模型为指数型,由此可得函数解析式.【详解】解:由题意,今后年内,年产量随时间变化的增长率为,又原来的年产量是a件,∴.【点睛】本题主要考查函数模型的建立,属于基础题.9. 比较满足下列条件的m,n的大小:(1); (2);(3);(4).【答案】(1);(2);(3);(4).【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小.【详解】解:(1)∵函数在上单调递增,且,∴;(2)∵函数在上单调递减,且,∴;(3)∵函数在上单调递减,且,∴;(4)∵函数在上单调递增,且,∴.【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小,属于基础题.10. 设函数,且.(1)求函数的增长率r;(2)求的值.【答案】(1)0.15;(2).【解析】【分析】(1)由题意得,由此可求得答案;(2)代入解析式即可求出.【详解】解:(1)由已知得,解得.所以增长率r约为0.15.(2)由(1)知,,∴.【点睛】本题主要考查指数的运算,属于基础题.综合运用11. 求下列函数可能的一个解析式:(1)函数的数据如下表:(2)函数的图象如图:【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数,设,再代入其中两点即可算出答案;(2)由图象可知函数模型为指数型,设,代入两点坐标即可求出答案.【详解】解:(1)设.把代入得,,解得,为可能的解析式;(2)设,将代入,得,解得,∴为一个可能的解析式.【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型,属于开放性的基础题.12. 比较下列各题中两个值的大小:(1),;(2),;(3),;(4),.【答案】(1);(2);(3);(4).【解析】【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】(1)由单调递增,,所以;(2)由单调递减,,所以;(3)由单调递增,,所以;(4)由单调递减,,所以.13. 当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后,那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗?【答案】能【解析】【分析】碳14的含量呈指数型变化,由此可得出结论.【详解】解:由题意,经过九个“半衰期后”,碳14的含量为,所以能探测到.【点睛】本题主要考查指数函数的应用,属于基础题.14. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a(单位:元),每期利率为r,本利和为y(单位:元),存期数为x.(1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.【答案】(1).(2)(元).【解析】【分析】(1)根据题意,结合复利的含义,分析可得本利和随变化的函数关系式;(2)根据(1)的函数表达式,代入数据即可计算5期后的本利和.【详解】解:(1)根据题意可得;(2)由(1)可知,当时,,∴5期后的本利和约为元.【点睛】本题主要考查指数函数的应用,属于基础题.拓广探索15. 已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交.(1)求该函数的解析式,并画出图象;(2)判断该函数的奇偶性和单调性.【答案】(1),图象见解析;(2)为偶函数,在上为减函数,在上为增函数.【解析】【分析】(1)由函数图象过原点可得,又由图象无限接近直线可得,由此可求出函数的解析式,去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象;(2)利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性,去掉绝对值得,根据单调性的性质即可求得函数的单调性.【详解】解:(1)由题意知,,,,∴,图象如图: (2)∵,∴,为偶函数,又,∴在上为减函数,在上为增函数.【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用,属于基础题.16. 已知f(x)=ax,g(x)=(a>0,且a≠1).(1)讨论函数f(x)和g(x)的单调性;(2)如果f(x)1时,x的取值范围是;当0