重庆市永川北山中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份重庆市永川北山中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了直线被曲线截得的弦长的最小值为，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题人：熊迎春 审题人：罗铧 曾涛
数学试题卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，且，则等于（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2.已知点，则线段的垂直平分线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.已知点分别是椭圆的左､右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A.20 B.16 C.18 D.14
6.已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.直线被曲线截得的弦长的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.2
8.已知点分别是椭圆和双曲线的公共焦点，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.直线的方向向量为，平面的法向量是，则
B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.平面经过三点，向量是平面的法向量，则
D.平面的一个法向量为，点在平面内，则点也在平面内
10.下列命题正确的是（ ）
A.经过定点的直线都可以用方程表示
B.点满足，则点的轨迹是一个椭圆
C.过点且与圆相切的直线有1条
D.已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A.四面体是鳖臑
B.与所成角的余弦值是
C.点到平面的距离为
D.点到直线的距离为
12.已知正方体的棱长为是侧面内任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A.若满足，则点的轨迹是一条线段
B.若到棱的距离等于到的距离的2倍，则点的轨迹是圆的一部分
C.若到棱的距离与到的距离之和为6，则点的轨迹的离心率为
D.若到棱的距离比到的距离大2，则点的轨迹的离心率为
三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.
13.已知点在直线上，则直线的倾斜角的大小为__________.
14.经过圆上一点且与圆相切的直线的一般方程为__________.
15.圆与圆的公共弦所在的直线的方程为__________，弦长为__________.
16.设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，则的面积为__________（用含或的式子表示即可）若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为__________.
四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知的顶点.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18.如图，在正方体中，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.在平面直角坐标系中，圆，四点.
（1）若三点的都在圆上，求圆的方程，并判断点与圆的位置关系；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为4，判断这样的直线有几条，并求出直线的方程.
20已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积.
21.如图，在多面体中，平面平面平面和均为正三角形，为线段的中点.
（1）求证：面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22.已知双曲线过点和点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）过的直线与双曲线交于两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由.
重庆市永川北山中学高2025届高二上半期测试数学
参考答案
6.B【解】【详解】设圆心坐标，由圆心与点
关于直线对称，得到直线与垂直，
结合的斜率为1，得直线的斜率为-1，
所以，化简得①
再由的中点在直线上，，
化简得②联立①②，可得，
所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标
准方程为.
7.D【解】过定点，
又可化为，
因此当圆心与连线垂直于直线
时，直线被曲线
截得的弦长最小，此时最小值为
.故选：D
8.D【解】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，
焦点坐标为，
不妨设为第一象限内的点，则，
，则，
由余弦定理得：
，
，又，
.故选：.
11.ABD
【解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则
，
对于，
因为，
所以，
即，
所以四面体的四个面都为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，故A正确；
对于，则与所
成角的余弦值为，故
B正确；对于，设平面
的法向量为，则，可取
，则点到平面的距离为
，故C错误；
对于D，，直线方
向上的单位向量是到的距
M到AC的距离
，故D正确故选：ABD.
12.ABC
【解】对于面，故此时
的轨迹为线段，即正确
对于，由正方体可知到棱的距离等
于到的距离的2倍，即在平面内，到点
的距离等于到点的距离的2倍，连接，以中
点为原点，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，
建立平面直角坐标系，如图，
设，
则，由可得
，整理得，，易知点的轨迹是圆的一部分，所以正确；
对于到棱的距离与到的距离之和为6，
可转化为在平面内，到点的距离与到点
的距离的和为6，大于，所以点的轨迹为
椭圆的一部分，其中，所以椭圆的离心
率，故C正确；
对于到棱的距离比到的距离大2，
转化为在平面内，，
所以点的轨迹是双曲线的一部分，该双曲线的实轴长为2，
焦距为，所以离心率，所以错误；故选：
15.；2
【解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为
，圆的标准方程为
，其圆心，半径；圆心
到公共弦的距离
所以公共弦长为.故答案为：2
16.依题意可知，即
.即，又，得
，得.故答
案为：.
17.【答案】（1）（2）
18.（1）证明见解析（2）
【解】（1）以点为原点，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的边长为2，则
，
所以，因为
，
所以.
（2）由（1）得
，
设平面的一个法向量为，由，
即，取，则，
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）在圆上；
（2）或
【解】（1）设圆方程为，
把三点坐标代入可得：，
解得，
所以圆方程是，
把点坐标代入可得：，故在圆上；
（2）有两条.
由（1）可知圆，则圆心，
半径，设圆心到该直线的距离为，
则
①当的斜率不存在时，，满足题意
②当的斜率存在时，设为，则
即
综上：或
20.解：（1）依题意，解得，所以
椭圆方程为；
（2）依题意，过且斜率为1的直
线为，设，
则消去整理得，
所以，
所以
21.【解】（1）取中点，连接，
在正和正中，，
则，
而平面平面，
平面平面平面，
平面，于是平面平面，
又平面，即有，
而.因此四边形是平行四边形，
则，又面面，
从而面
（2）由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
同理可得面的一个法向量为
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
22.（1）（2）是，定值为.
【解】（1）将点和点的坐标代入
，得，解得
所以双曲线的离心率.
（2）依题意可得直线的斜率存在，设：
.联立得，
设，则，
，
所以
.
，直线.设.
联立得，
则且
则
，
所以，所以为定值，定值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
A
C
B
D
D
AD
BD
ABD
ABC
13
14
15
16
；2
；