2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高三上学期第四次月考试题 数学（理）（解析版）

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A. 正数B. 负数C. 实部不为零的虚数D. 纯虚数
3. 已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 20B. 32C. D.
4. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
6. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 若数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知是等差数列前项和，且，则（ ）
A. 数列为递增数列B.
C. 的最大值为D.
11. 银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（ ）

A. B. C. D.
12. 若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若实数满足约束条件则的最大值为________．
14. 已知偶函数满足，则__________．
15. 在中，已知，，，则的值为________.
16. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线．

（1）画出直线的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；
（2）求三棱锥的体积．
18. 已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求的通项公式和前项和.公众号：全元高考
19. 为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块，，，有关部门划定了以D为圆心，为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为边上的点E，出口为边上的点F，施工要求与古树保护区边界相切，右侧的四边形将作为绿地保护生态区.（，长度精确到，面积精确到）

（1）若，求的长；
（2）当入口E在上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?
20. 已知向量.设函数.
（1）求函数的解析式及其单调递增区间；
（2）将图象向左平移个单位长度得到图象，若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围，并求的值.
21. 已知函数.
（1）若，使得成立，求实数取值范围；公众号：全元高考（2）证明：对任意的为自然对数的底数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点是上的一点，求点到直线的距离的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.