广东省汕头市金山中学2023-2024学年高二上学期10月阶段数学试题（Word版附答案）

这是一份广东省汕头市金山中学2023-2024学年高二上学期10月阶段数学试题（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了 若复数z是的根，则， 已知随机事件，满足，，，则，下列命题中正确的是， 设函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
一.选择题（每题5分，共60分)
1. 国家射击运动员甲在某次训练中次射击成绩（单位：环）如：，则这组数据第百分位数为（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z是的根，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
3. 如图，在三棱柱中，分别是，的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（ ）
A. 内有无数条直线与平行B. 内的任何直线都与平行
C. 且D. 且
5.2021年12月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这次在琉璃河遗址新发现的铭文，不仅是A国建城最早的文字证据，更是北京建城最早的文字证据。考古学家对现场文物样本进行碳14年代学检测，检验出碳14的残留量约为初始量的69%。已知被测物中碳14的质量M随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），据此推测该遗址属于以下哪个时期（ ） （参考数据：）
A．西周B．两汉C．唐朝D．元朝
6. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
7. 已知是定义在R上的奇函数，，当时，，则（ ）
A. 1 B. 2C. D. 3
8. 在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则当取最小时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
（下面是多选题，每小题漏选2分，错选0分）
9.下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则与所在直线不一定平行
B. 向量、、共面即它们所在直线共面
C. 空间任意两个向量共面 D. 若，则存在唯一的实数λ，使
10. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为D．的最大值为
11. 在棱长为1的正方体中，点，分别是上底面和侧面的中心，则（ ）
A. B.
C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成的角为60°
12. 若，则下面不等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
14. 已知，则的值为 ．
15. 设实数满足，则函数的最大值是
16. 在长方体中，，过且与直线平行的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，当两个球的半径之和达到最大时，此时较小球的表面积为
三.解答证明题（共70分）
17. （10分）设，向量，，，且，.
(1)求； (2)求向量与夹角的大小．
18. （12分）已知正方体的棱长为2，设分别为
棱的中点. (1)证明：平面；
(2)求BQ与面BDP所成角的正弦值.
19. （12分）已知的内角所对的边分别为，满足．
（1）求证：；
（2）若为上一点，且，求的面积的最大值．
20. （12分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）；从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的平均数及第三四分位数（第75百分位数）是多少；（精确到0.1）
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
21. （12分）如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面．
(1)求证：平面；
(2)若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为．
22. （12分）已知函数（）.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若函数存在两个不同的零点与，求的取值范围.
高二第一学期数学阶段考试参考答案
一、第1-8题：CBDD，AADA 第9—12题：AC，AC，BCD，ACD
二、，，，
第8题解答：由题意，在空间直角坐标系中，，，，
设，为平面的法向量，
则，,，
则，
令则，故，
则点到平面的距离为，
所以，
则
又，，
即，
所以，代入
可得，
则
所以，则
故选：.
第12题解答：设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：ACD
第16题解答：如图所示：平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面上的情况，延长与交于点，作于点，

设，圆对应的半径为，根据三角形内切圆的性质，
在中，，，，
则，又当与重合时，取得最大值，
由内切圆等面积法求得，则
设圆对应的半径为，同理可得，
又，解得.
故，，
设，则，，
由对勾函数性质易知，函数单减，
所以当时，取得最大值，即两个球的半径之和达到最大，
此时，则，则，
，且，则小球的表面积为.
故答案为：.
三、解答题
17、【详解】（1）由题意，，，
可得，解得，
则，，所以，
故.
（2）因为，
所以，
故向量与的夹角为.
18、【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
由中位线可知且，
又因为且，
所以且，
所以为平行四边形，所以.
结合平面平面可知，平面.
（2）以 为原点， 所在直线分别为建立空间直角坐标系，如图


设面PBD的一个法向量为 ，由
即
取，可得
设BQ与面BDP所成角为 ，则
所以BQ与面BDP所成角的正弦值为 .
19、【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，即，
因为，，所以，
所以，所以或．
若，则；
若，则，舍去；
所以成立．
【小问2详解】
在中，因为，，所以，
由正弦定理得，即，所以．
在中，由正弦定理得，
因为，所以．因为，
又，所以，
所以的面积．
又，所以，所以，
所以当，即时，的面积最大值为2．
20、【小问1详解】
本次考试成绩的平均数约为
.
所以本次考试成绩的平均数.
设第三四分位数为m，由
解得
所以估计第三四分位数约为
【小问2详解】
第5组人数为，第6组人数为，
被抽取的成绩在内的4人，分别记为，，，；
成绩在内的3人，分别记为，，；则从这7人中随机抽取2人的情况为：
，
，，
共21种；
其中被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，，，，，共15种.
故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为.
21、【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∵且，，平面，
∴平面．
（2）因为平面平面，，，M是的中点，
∴，
取的中点O，连接，则平面，
取的中点N，连接，则，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
设，，
因为平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量为，
则，可得．
再由，则，
∴或（舍），
所以E为的靠近D点的五等分点．
22、【详解】（1）解法一：若时，求函数，
当时，，.
当时，，.
故.
解法二：若时，求函数；
画出和的图像如下图所示：
易得.
（2）解法一：
若，则，这与存在两个不同零点矛盾.
若，，因为存在两个不同的零点与，所以，得，此时，；
若，，
当时，即时，得，，
有，
令，则，
令，则在上单调递增，，则；
当，即时，有，
在上单调递减，上单调递增，
所以，无零点；
当时，只有一个零点；
故.
解法二：令，等价于存在两个不同的零点与
当时，有，不合题意.
当时，，因为存在两个不同的零点与，
所以，得，此时；
当时，
当，即时，得，，
有，
所以；
当，即时，有，在上单调递减，上单调递增，，无零点；
当时，只有一个零点；
故.