初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质图片课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质图片课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了复习引入，应用所具备的条件，证明线段相等，应用格式，∴PDPE，定理的作用，新知探究，典例精析，OP平分∠AOB，PD⊥OA于D等内容，欢迎下载使用。

性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
利用全等的知识，该如何证明这个结论呢？
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
判断点是否在角的平分线上.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
　角的平分线的性质与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的 距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离 就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离 相等的点，都应在角的平分线上．
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察 出什么结论？
结论：三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心，通常用字母I表示.
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？
结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为4，5，6，其三条角平分线交于点O，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO.
解：∵OA,OB,OC为三条角平分线， ∴点O到AB,AC,BC的距离相等为r,∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO =½·AB·r：½·BC·r：½·AC·r=4:5:6.
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　)A．点M B．点N C．点P D．点Q
如图，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条线段有什么关系？
解：如图13.5­-20，作PD⊥BC，垂足为D.∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD，在Rt△PDC和Rt△PEC中， PD＝PE， PC＝PC，∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC(HL)，∴CD＝CE.同理可证BD＝BF.∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.
如图，在△ABC中，请证明：(1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC；(2)设D为BC上的一点，连结AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，则AD为∠BAC 的平分线．
如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，点E在∠ACB 的平分线上，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数．　 
如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，垂足分别为点M，N，O.
∵AD为△ABC的角平分线， ∴PN=PO.∵BE为△ABC的角平分线， ∴PM=PO.∵CF为△ABC的角平分线， ∴PM=PN.∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC.
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC.∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°.∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED， ∠FBC=∠EDC， BC=DC， ∴△BCF≌△DCE（AAS）. ∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，点 P 在 AD 上，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：∵ D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，∴ 点 D 在∠EPF 的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵ PE∥AB，PF∥AC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴ AD 平分∠BAC．
如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处? 画出它的位置.
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法： ①点P在∠DBC的平分线上； ②点P在∠BCE的平分线上； ③点P在∠BAC的平分线上. 其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
证明：过点E作EF⊥AD于点F，∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF.∵E是BC的中点， ∴EC=EB.又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
2.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线.
3.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.求证：点P在∠MON的平分线上.
证明：过点P分别作PC⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为C，D， 则∠ACP=∠BDP=90°. 在四边形OCPD中， ∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°， ∴∠APB=∠CPD. ∴∠APB-∠APD =∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD. 在△APC和△BPD中， ∠APC=∠BPD， ∠ACP=∠BDP， AP=BP，∴△APC≌△BPD（AAS）. ∴PC=PD，即点P在∠MON的平分线上.