贵州省黔西南州兴义市义龙蓝天学校2023届高三一模数学（理）试题(含答案)

这是一份贵州省黔西南州兴义市义龙蓝天学校2023届高三一模数学（理）试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设,则复数z在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、已知集合,,则中元素的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
3、已知向量,满足,,,则( )
A.-2B.-1C.1D.2
4、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.㢦德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过16的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于16的概率是( )
A.B.C.D.
5、的展开式中的系数为40,则实数a的值为( )
A.4B.2C.1D.
6、设椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为.P是C上一点,且.若的面积为2,则( )
A.1B.2C.D.4
7、在中,,,,则( )
A.B.C.D.
8、如图,四边形ABCD为正方形,平面ABCD,,,则三棱锥的体积为( )
A.B.C.2D.
9、在正方体中,点M为平面内的一动点,是点M到平面的距离,是点M到直线BC的距离,且（为常数）,则点M的轨迹不可能是( )
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
10、已知函数是定义在R上的奇函数,且的图象关于对称.若,则( )
A.3B.2C.0D.50
11、设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,,,则三棱锥体积的最大值为( )
A.B.C.D.
12、已知,设函数,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、已知等差数列前9项的和为27,,则__________.
14、若样本数据,,···,的标准差为3,则数据,,···,的标准差为_____________.
15、在直线上取一点作抛物线的切线,切点分别为A,B,直线AB与与圆交于M,N两点,当最小时,D的横坐标是__________.
16、已知函数,下述四个结论：
①若,且在有且仅有5个零点,则在有且仅有3个极大值点;
②若,且在有且仅有4个零点,则在有且仅有2个极大值点;
③若,且在有且仅有5个零点,则在上单调递增;
④若,且在有且仅有2个零点和3个极值点,则的范围是.
其中所有正确结论的编号是__________.
三、解答题
17、记为数列的前n项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)证明：.
18、近段时间,因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习,为了研究学生网上学习的情况,某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查,其中男生与女生的人数之比为,男生中喜欢上网课的为,女生中喜欢上网课的为,得到如下列联表.
(1)请将列联表补充完整,试判断能否有的把握认为喜欢上网课与否与性别有关;
(2)从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法,随机抽取6人,现从6人中随机抽取2人,若所选2名学生中的女生人数为X,求X的分布列及数学期望.
附：,其中.
19、如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,.是底面的内接正三角形,P为DO上一点,.
(1)证明：平面平面PBC;
(2)求二面角的余弦值.
20、已知双曲线的离心率是,点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设,M为C上一点,N为圆上一点（M,N均不在x轴上）.直线AM,AN的斜率分别记为,且,判断：直线MN是否过定点？若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
21、已知函数（其中e是自然对数的底数）,曲线在点处的切线方程是,.
(1)求a,b;
(2)若在上恒成立,求m的取值范围.
22、在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,（t为参数且）,C与坐标轴交于A,B两点.
(1)求;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.
23、设a,b,c均为正数,且,证明：
(1);
(2).
参考答案
1、答案：D
解析：,,
故复数z在复平面内对应的点为,在第四象限.
故选：D.
2、答案：B
解析：集合中的元素为点集,由题意,可知集合A表示以为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B表示直线上所有的点组成的集合,又圆与直线相交于两点,,则中有2个元素.
故选B.
3、答案：D
解析：由题意得,即,
即,
故,
故乡：D.
4、答案：B
解析：不超过的素数有,,,,,共个,
随机选取两个不同的数,基本事件总数为,,,,,,,
,,,,,,,共有个基本事件.
记“选取两个数之和等于16”为事件A,
因为,所以其和等于16的有2个基本事件,
故概率为.
故选：B.
5、答案：C
解析：展开式的通项公式,,1,2···,5
则其展开式中的系数为,
的系数为,
又的展开式中的系数为40,
故,则,
故选：C.
6、答案：B
解析：设,,由,的面积为2,
可得, ①
由离心率为,可得,代入①式,可得.
故选：B.
7、答案：A
解析：由余弦定理可知,
解得,
所以,
又,
解得,
故选：A.
8、答案：C
解析：连接BD交AC于M,连接FM,,
,,,
易得,则有,
由四边形ABCD为正方形,则,又平面ABC,平面ABC,
则有,
,BD,平面BDEF, 则有平面BDEF,
平面BDEF,所以,
,AC,平面AFC,
故有平面AFC,
,
则有三棱锥的体积,
故选：C.
9、答案：A
解析：由条件作出正方体,并以A为原点,
直线AB、AD和分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系,如图所示：
设正方体的棱长为,点,
所以得,,
由,得,
所以,即①（）,
当时,①式化得：,
此时,点M的轨迹是抛物线;
当时,①式化得：,
即,
②,
当时,,则②式,是双曲线的方程,即点M的轨迹为双曲线;
当时,,则②式,是椭圆的方程,即点M的轨迹为椭圆;
故选：A.
10、答案：C
解析：因为函数是定义在R上的奇函数,
所以,且,
又的图象关于对称,则,
即①,则,,
在①中,令,得,
则,所以函数的周期为,即,
则有,
所以
,
故选：C.
11、答案：B
解析：如图,M是外心,即所在截面圆圆心,
设圆半径为r,O是球心,
因为,,
由余弦定理可得：,
所以,所以,则
,,
平面ABC,平面ABC,则,
所以,
当D是MO的延长线与球面交点时,三棱锥体积的最大,
此时棱锥的高为,,
所以棱锥体积为.
故选：B.
12、答案：A
解析：当时,,
若,必有,解得,所以,
若,满足,
所以;
当时,,即,
令,,
由得,得,
则在区间上单调递减,在区间上单调递增,
即,
综上所述,a的取值范围为.
故选：A.
13、答案：13
解析：等差数列前9项的和为27,,
,
解得,,
.
故答案为:13.
14、答案：6
解析：因为样本数据,,···,的标准差为3,故样本数据,,···,的方差为9,
则数据,,···,的方差为,
故数据,,···,的标准差为6,
故答案为：6.
15、答案：2
解析：设,,,,且直线AB的方程为,
联立抛物线,消去y可得：,
根据韦达定理可得：,,
由抛物线,求导可得：,
过,的切线方程为,
过,的切线方程为,
联立上式,整理可得：,
两式相减整理可得：,
因为,所以,且,
根据题意,可得,即,
则直线AB的方程为,由此该直线过定点,
由圆,可得,可得,
则圆心到直线的距离
当时,,当时,,则,
综合,当且仅当时d取最小值,时d取最大值;
由于直线与圆相交弦长,则d取最大值时,弦长取最小,可得直线AB的方程为,
所以D的横坐标.
故答案为：2.
16、答案：①③
解析：对于①,若,则,在有且仅有5个零点,如图,
其图象的右端点的横坐标在上,此时在有且仅有3个极大值点,故①正确;
对于②,若,则,在有且仅有4个零点,如图,
其图象的右端点的横坐标在上,则在有2个或3个极大值点,故②不正确;
对于③,若,令,,且,
在上有且仅有5个零点,在上有且仅有5个零点,
,当时,,
又,,,
在上单调递增.
在上单调递增,故③正确.
对于④,若,令,,且,
因为在有且仅有2个零点和3个极值点,
在上有且仅有2个零点和3个极值点,
,故④错误.
故答案为：①③.
17、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由已知①,
所以当时,②,
①②得,整理可得,则,,,···,,,
等式左右分别相乘得,
又,所以;
（2）由（1）得,
则,所以,
所以
,
又,所以,
所以,
即.
18、答案：(1)列联表见解析;没有的把握
(2)分布列见解析;
解析：（1）根据题意,男生人数为,女生人数为,
男生喜欢上网课的人数为 不喜欢上网课的人数为;
女生喜欢上网课的人数为 ,不喜欢上网课的人数为,
得到如下列联表：
故,
所以没有的把握认为喜欢上网课与否与性别与性别有关;
（2）从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法,抽样比为,
所以抽取的男生人数为,抽取的女生人数为,
故X的取值为0,1,2,
则,
,
,
所以X的分布列为：
所以.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）由题意知O是圆锥底面的圆心,,则平面ABC,为正三角形,
则,
设,由题设可得,,
是底面的内接正三角形,故,
,
因此,从而,
又,故,
,PB,平面PBC,
所以平面PBC,又平面PAC,
故平面平面PBC;
（2）如图,以O为原点,在平面ABC内过O点作AE的垂线作为x轴,
以OE,OD为y,z轴建立空间直角坐标系,
由（1）结论,不妨取,则,可得,
,
则,,
设是平面PCE的法向量,则,即,
令,则可取,
,,
设是平面APC的法向量,则,即,
令,则可取,
则,
由图知二面角的平面角为锐角,
故二面角的余弦值为.
20、答案：(1).
(2)直线MN过定点,定点为.
解析：（1）由双曲线的离心率是,
可得,,
又点在双曲线C上,即,解得,
故双曲线C的方程为.
（2）由题意可知,且AM的方程为 ,
联立,可得,,,
设,由题意可知该方程有一根为-1,
故,则,
AN的方程为,
联立,可得,,
设,由题意可知该方程有一根为-1,
故,则,
由于,即,由于,故,
故,,
所以直线MN的斜率为
,
故直线MN的方程为,
即,即,
由于,故,
即直线MN过定点.
21、答案：(1);
(2).
解析：（1）因为,
即切点为,
又因为,
所以,
又因为函数在点处的切线方程是,
所以,
解得;
（2）由（1）可知,
所以在上恒成立,
等价于在上恒成立,
即在上恒成立,
令,
则,
令,
则有,
所以在上单调递增,
又,因为,所以,
而,所以,,即,
,
所以存在唯一零点,使得,
当时,,,单调递减;
当时,,,单调递增;
所以,
由,可得,
所以,
所以,
令,则,
所以在上单调递增,
又因为,
所以,
所以,且,
所以,
所以,解得,
故实数m的取值范围为:.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）令,则,解得或（舍）,则,即.
令,则,解得或（舍）,则,即.
所以.
（2）由（1）可知,
则直线AB的方程为,即.
由,可得,直线AB的极坐标方程为.
23、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）由,得,
又由基本不等式可知当a,b,c均为正数时,,,,
当且仅当时,上述不等式等号均成立,
所以,
即,
所以,当且仅当时等号成立;
（2）因为a,b,c均为正数,
所以若证,
即证,
又,,,当且仅当时,不等式等号均成立,
则,
即,当且仅当时等号成立.
喜欢上网课
不喜欢上网课
合计
男生
女生
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢上网课
不喜欢上网课
合计
男生
40
30
70
女生
35
15
50
合计
75
45
120
X
0
1
2
P