2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的常数项是0，则a的值为
( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 12
2.在RtΔABC中，∠ACB=90∘，AC=6，AB=10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是
( )
A. 点A在⊙C内B. 点A在⊙C上C. 点A在⊙C外D. 无法确定
3.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是
( )
A. a=4，b=3，c=5，d= 3
B. a=1，b=2，c=3，d=4
C. a= 2，b=3，c=2，d= 3
D. a=2，b= 5，c=2 3，d= 15
4.以下命题中，①两个直角三角形一定相似；②两个等边三角形一定相似；③两个菱形一定相似；④任意两个矩形一定相似；⑤两个正六边形一定相似．其中真命题的个数是
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=3cm，则线段AC的长是
( )
A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm
6.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB=x米，则可列方程
( )
A. x(81−4x)=440B. x(78−2x)=440
C. x(81−2x)=440D. x(84−4x)=440
7.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84∘，则∠E等于
( )
A. 42∘B. 28∘C. 21∘D. 20∘
8.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，AB=6，BC=5，BE=2，点P是矩形内一动点，满足∠APB=90∘，连接PE绕点P逆时针旋转90∘至PF，连接CF，则CF的最小值为
( )
A. 3−2 2B. 6−6 2C. 5−3 2D. 1
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.在比例尺是1:20000的地图上，若某条道路长约为3cm，则它的实际长度约为 km．
10.若a4=b5，则2a+ba−b= ．
11.鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为10cm，则BP的长为 cm.(结果保留根号)
12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50∘，则∠CDB= ∘．
13.圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4；则∠A的度数为 ．
14.设x1，x2是方程2x2−6x+3=0的两根，则x12+x22的值是 ．
15.若x=m是一元二次方程x2+3x+1=0的一个解，则2023−4m2−12m的值为 ．
16.在ΔABC中，AB=8，AC=10，点M是AB的中点，点N为AC上一动点，当AN= 时，ΔAMN与ΔABC相似．
17.如图，已知A1，A2，……，An，An−1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn−1=1，分别过点A1，A2，…An，An−1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1，B2，…Bn，Bn−1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，……，AnBn−1，BnAn−1，依次相交于点P1，P2，P3，……，Pn，△A1B1P1，△A2B2P2，……，△AnBnPn的面积依次为S1，S2，……，Sn，则Sn为 ．
18.将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则ba的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
解方程：
(1)2(x−2)2=18；
(2)2x2−x−6=0．
20.(本小题8分)
在RtΔABC中，∠C=90∘.请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E.使∠BDE=45∘.(不写作法，保留作图痕迹)
21.(本小题8分)
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“双十一”促销活动，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该童装每天销售获利为1200元，每件童装应降价多少元？
(2)该童装每天的销售获利能达到2000元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E.连接BC，∠BCF=∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)求证：∠ACD=∠F；
(3)若AB=10，BC=6，请直接写出AD=__．
23.(本小题8分)
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是RtΔABC和RtΔBED边长，易知AE= 2c，这时我们把关于x的形如ax2+ 2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①2x2+ 5x+1=0__(填“是”或“不是”)；
②3x2+5 2x+4=0__(填“是”或“不是”)
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ 2cx+b=0必有实数根；
(3)若x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+ 2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求ΔABC面积．
24.(本小题8分)
综合与实践
动手操作：
如图1，在RtΔABC中，∠C=90∘，将ΔABC绕点A逆时针旋转90∘得到ΔAED.延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．
思考探究：
(1)∠CAF=__ ∘，∠EAG=__ ∘；
(2)若BC=( 2+1)AC，则
①∠DAG=__ ∘；
②FGGD=__；
开放拓展：
(3)如图2，若改变旋转角，已知AC=3，BC=4，当∠EAF=90∘时，请直接写出ΔAFB的面积为__．
25.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的⊙M交y轴于C，D两点，C为AE的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为(−2,0)，CD=8．
(1)求⊙M的半径；
(2)动点P在⊙M的圆周上运动，连接EP，交AB于点N．
①如图1，当EP平分∠AEB时，求PN⋅EP的值；
②如图2，过点D作⊙M的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，OPPQ是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．
【解答】解：由题意，a2−1=0a−1≠0,
解得：a=−1，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论．
【解答】解：∵RtΔABC中，∠ACB=90∘，AC=6，AB=10，
∴BC= AB2−AC2=8，
∵AC=6BP)，AB=10cm，
∴AP= 5−12AB= 5−12×10=(5 5−5)cm，
∴BP=AB−AP=10−(5 5−5)=(15−5 5)cm，
故答案为：(15−5 5)．
12.【答案】40
【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，∠CDB=∠A，然后利用互余计算出∠A，从而得到∠CDB的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CBA=50∘，
∴∠A=40∘，
∴∠CDB=∠A=40∘．
故答案为：40．
13.【答案】60∘
【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180∘，
∵∠A:∠B:∠C=2:3:4，
∴∠A=22+4×180∘=60∘．
故答案为：60∘．
14.【答案】6
【解析】【分析】根据根与系数的关系x1+x2=−ba，x1x2=ca直接代入求解即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2−6x+3=0的两根，
∴x1+x2=−−62=3，x1x2=32，
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×32=6，
故答案为：6．
15.【答案】2027
【解析】【分析】把x=m代入方程x2+3x+1=0中得：m2+3m+1=0，从而可得m2+3m=−1，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：把x=m代入方程x2+3x+1=0中得：m2+3m+1=0，
∴m2+3m=−1，
∴2023−4m2−12m=2023−4(m2+3m)
=2023−4×(−1)
=2023+4
=2027，
故答案为：2027．
16.【答案】5或165
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得比例关系进而得出AN的值．
【解答】解：∵ΔAMN和ΔABC相似时，
∴AMAB=ANAC或者ANAB=AMAC，
∵在ΔABC中，AB=8，AC=10，点M是AB的中点，
∴AM=12AB=4，
∴AMAB=ANAC，即48=AN10，
解得AN=5，
∵ANAB=AMAC，即AN8=410，
解得AN=165．
故答案为：5或165．
17.【答案】n22n+1
【解析】【分析】根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．
【解答】解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，
∴依题意得：B1(1,2)，B2(2,4)，B3(3,6)，…，Bn(n,2n)
∵A1B1//A2B2，
∴△A1B1P1∽△A2B2P1，
∴A1B1A2B2=12，
∴△A1B1P1与△A2B2P1对应高的比为：1:2，
∵A1A2=1，
∴A1B1边上的高为13，
∴S▵A1B1P1=13×12×2=13，
同理可得：S▵A2B2P2=45，S▵A3B3P3=97，
∴Sn=n22n+1．
故答案为：n22n+1．
18.【答案】15− 576
【解析】【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b−x，AB=4a−2b，首先证明x=3b−2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
【解答】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b−x，AB=4a−2b，
∵JR=DQ=5a−x，AB=2CD，
∴CD=2a−b，
∵KQ=PF，
∴x+2a−b+5a−x=5a+2b−x，
∴x=3b−2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90∘，
∴∠HFE+∠PFT=90∘，∠PFT+∠FTP=90∘，
∴∠EFH=∠FTP，
∴ΔEHF∽ΔFPT，
∴EHFP=HFPT，
∴4a5a+2b−(3b−2a)=3b−2a2b，
整理得，3b2−15ab+14a2=0，
∴b=15± 576a，
∵4a−2b>0，
∴ba