2023-2024学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，不是轴对称图形的是
( )
A. B.
C. D.
2.将代数式x2+4x−1化成(x+p)2+q的形式( )
A. (x−2)2+3B. (x+2)2−4C. (x+2)2−5D. (x+2)2+4
3.不解方程，判断方程2x2−6x=7的根的情况是
( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定．
4.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC=50∘，则∠BDC的度数为
( )
A. 90∘B. 100∘C. 130∘D. 140∘
5.下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个圆B. 任何三角形有且只有一个内切圆
C. 长度相等的弧是等弧D. 三角形的外心是三条角平分线的交点
6.某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x满足方程52+521+x+521+x2=196，则x表示的意义是
( )
A. 该厂七月份生产面包数量的增长率
B. 该厂八月份生产面包数量的增长串
C. 该厂七、八月份平均每月生产面包数量的增长率
D. 该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率
7.如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，连接OC 与半圆相交于点D，则CD 的长为
( )
A. 2B. 3C. 1D. 2.5
8.如图，在▵ABC中，∠BAC=90∘,AB=AC=6，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连线DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG,FG，当AG=FG时，线段DE长为( )
A. 13B. 2 3C. 2 5D. 4
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.方程x2=3x的解为 ．
10.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线的距离为6cm，则直线与⊙O的位置关系是 ．
11.已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则该圆锥的侧面积为 ．
12.已知m是方程x2−x−1=0的一个根，则代数式5m2−5m+2023的值是 ．
13.如图，⊙O为▵ABP的外接圆，AB=2，∠APB=30∘，则⊙O半径长为 ．
14.如图，▵ABC中，∠A=40∘，∠C=60∘，⊙O与边AB，AC的另一个交点分别为D，E.则∠AED的大小为 °.
15.已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径= ．
16.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，则CD的长为 ．
17.已知等腰▵ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2−6x+a+1=0的两根．则a的值为 ．
18.如图，点A，B的坐标分别为A4,0,B0,4，C为坐标平面内一点，BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM,OM的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
解方程：
(1)x−52−36=0
(2)x2−6x+7=0
(3)x−12=3x−1
(4)x−22=4x+32
20.(本小题8分)
已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a−1=0．
(1)求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根；
(2)若方程有一个根大于3，求a的取值范围．
21.(本小题8分)
超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价6元，则平均每天销售数量为______件：
(2)为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？
22.(本小题8分)
一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm.请你帮忙计算纸杯的直径．
23.(本小题8分)
如图，已知▵ABC．

(1)请利用直尺和圆规，作▵ABC的外接圆⊙P.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)仅用无刻度的直尺，在⊙P上找两点D、E，使它们与点A、点B构成矩形ABDE．
24.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)当AB=5,BC=6时，求DE的长．
25.(本小题8分)
如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形．
①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分；
②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分；
③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分；
设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙
(1)请你写出阴影部分的面积S甲=________，(结果保留π)
(2)请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上．_______．
(3)由题(2)中面积的数量关系，可直接求得S丙(结果保留π)
26.(本小题8分)
小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图1，在⊙O中，C是AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则可以得到AE=BE，请证明此结论．

(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图2，古希腊数学家阿基米德发现，若PA、PB是⊙O的折弦，C是AB⌢的中点，CD⊥PA于点E.则AE=PE+PB.这就是著名的“阿基米德折弦定理”.那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在AE上截取AF=PB，连接CA、CF、PC、BC…请你按照小明的思路完成证明过程．

(3)如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D是AC上的一点，∠ABD=45∘，AE⊥BD于点E，则▵BDC的周长为_________．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、B、D都是轴对称图形，C是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，理解轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】将代数式前两项结合，加上一次项系数一半的平方即加上4，后面减去4保证与原式相等．
【详解】根据配方法，若二次项系数为1，则需要配一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x−1=x2+4x+4−4−1=(x+2)2−5，故选C．
【点睛】本题考查了配方法的应用．
3.【答案】B
【解析】【分析】利用根的判别式Δ=b2−4ac进行求解并判断即可．
【详解】解：∵2x2−6x=7
∴2x2−6x−7=0
原方程中，a=2，b=−6，c=−7，
∴Δ=b2−4ac=−62−4×2×−7=36+56=92>0，
∴原方程有两个不相等的实数根
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式Δ=b2−4ac是解答此题的关键，当判别式Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac5，所以直线与圆相离．
【详解】根据圆心到直线的距离是6大于圆的半径5，则直线和圆相离．
故答案为：相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系决定了其位置关系，熟练掌握其判断方法是解题的关键．
11.【答案】24πcm2
【解析】【详解】先求出圆锥底面圆的周长为6πcm，再根据扇形面积公式即可求解．
解：∵圆锥底面圆的直径6cm，
∴圆锥底面圆的周长为6πcm，
∴该圆锥的侧面积为12×6π×8=24πcm2．
故答案为：24πcm2
【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟知圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为底面圆周长是解题的关键．
12.【答案】2028
【解析】【分析】根据方程解的定义得到5m2−5m=5，进而整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵m是方程x2−x−1=0的一个根，
∴m2−m−1=0，
∴m2−m=1，
∴5m2−5m=5，
∴5m2−5m+2023=5+2023=2028，
故答案为：2028．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理得出∠AOB=60∘，证明▵AOB为等边三角形，进而求出直径．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：

∵∠APB=30∘，
∴∠AOB=2∠APB=60∘，
∵OA=OB，
∴▵AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴⊙O半径长为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆周角的性质和等边三角形的性质与判定，解题关键是连接半径，证明三角形是等边三角形．
14.【答案】80
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠BDE，从而求得∠ADE的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形BCED内接于⊙O，∠C=60∘，
∴∠BDE=180∘−∠C=120∘，
∴∠ADE=180∘−∠BDE=60∘，
∵∠ADE+∠AED+∠A=180∘，∠A=40∘，
∴∠AED=80∘，
故答案为80．
15.【答案】6.5cm
【解析】【分析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半进行计算．
【详解】解：∵52+122=132，
∴ΔABC是直角三角形，
则ΔABC外接圆半径是斜边的一半，即为6.5cm；
故答案为：6.5cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟记直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．
16.【答案】4 2
【解析】【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角ΔOCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．
【详解】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM=12CD，
∵BE=1，AE=5，
∴OC=12AB=BE+AE2=1+52=3，
∴OE=OB−BE=3−1=2，
∵RtΔOME中，∠AEC=30∘，
∴OM=12OE=12×2=1，
在RtΔOCM中，
∵OC2=OM2+MC2，即32=12+CM2，解得CM=2 2，
∴CD=2CM=2×2 2=4 2．
故答案为：4 2．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．
17.【答案】7或8
【解析】【分析】①当m=n时，②m=4或n=4时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：①当m=n时，
∵m，n是关于x的方程x2−6x+a+1=0的两根，
∴Δ=(−6)2−4(a+1)=0，
解得，a=8，
∴关于x的方程为x2−6x+9=0，
解得：m=n=3，
∵m+n>4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
②m=4或n=4时，
∴4是关于x的方程x2−6x+a+1=0的根，
∴42−6×4+a+1=0，
解得：a=7，
∴关于x的方程为x2−6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∵m+n>4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．
故答案为：7或8．
18.【答案】1+2 2
【解析】【分析】先根据题意得到点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，如图，取OD=OA=4，连接CD，则OM是▵ACD的中位线，即可得到OM=12CD，从而得到OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，据此求解即可．
【详解】解：∵C为坐标平面内一点，BC=2，
∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，
如图，取OD=OA=4，连接CD，
∵点M为线段AC的中点，
∴OM是▵ACD的中位线，
∴OM=12CD，
∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，
此时在Rt△OBD中，BD= OD2+OB2=4 2，
∴CD=2+4 2，
∴OM的最大值是1+2 2．
故答案为：1+2 2．
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，坐标与图形，中位线定理，正确作出辅助线构造中位线是解题的关键．

19.【答案】(1)x−52−36=0
x−52=36
x−5=±6，
∴x=5±6
∴x1=11,x2=−1；
(2)x2−6x+7=0
x2−6x+9=2
x−32=2
x−3=± 2
∴x=3± 2，
∴x1=3+ 2,x2=3− 2；
(3)x−12=3x−1
x−12−3x−1=0
x−1x−1−3=0
∴x1=1,x2=4；
(4)x−22=4x+32
x−2=±2x+3
∴x−2=2x+3或x−2=−2x+3
∴x1=−8,x2=−43．

【解析】【分析】(1)利用直接开平方法解方程；
(2)利用配方法解方程；
(3)利用因式分解法解方程；
(4)利用直接开平方法解方程．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵Δ=b2−4ac=a2−4×1×(a−1)=a2−4a+4=(a−2)2≥0，
∴无论a取任何实数，此方程总有实数根．
(2)解：由(1)知Δ=a−22，
∴x=−a±(a−2)2×1，
∴x1=−1，x2=−a+1，
∵方程有一个根大于3，
∴−a+1>3，解得：a3，解得：a